Trazados geométricos fundamentales

• Mediatriz: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento ($AB$). Propiedad: es la perpendicular al segmento en su punto medio.
• Bisectriz: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados de un ángulo. Divide al ángulo en dos partes iguales.
• Arco Capaz: Es el lugar geométrico de los puntos desde los cuales se ve un segmento $AB$ bajo un mismo ángulo $\alpha$.
  • Construcción: Se traza la mediatriz de $AB$. Desde $A$ se dibuja una recta con el ángulo $(90^\circ - \alpha)$. La intersección con la mediatriz es el centro del arco.

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de uno fijo llamado centro.

1. Propiedades de cuerdas: La mediatriz de cualquier cuerda pasa siempre por el centro de la circunferencia.
2. Ángulos en la circunferencia:
   • Ángulo central: Su vértice es el centro. Su medida es igual al arco que abarca.
   • Ángulo inscrito: Su vértice está en la circunferencia. Mide la mitad del arco que abarca ($\beta = \frac{\alpha}{2}$).
   • Ángulo semiinscrito: Formado por una cuerda y una tangente. Mide la mitad del arco correspondiente a la cuerda.
3. Potencia de un punto ($P$): Es el valor constante del producto de las distancias desde $P$ a los puntos de intersección de cualquier recta que pase por $P$ con la circunferencia. $K = PA \cdot PB = d^2 - r^2$

La resolución de problemas complejos se basa en la intersección de lugares geométricos. Si buscamos un punto que cumpla dos condiciones, hallaremos el lugar geométrico de cada una; el punto de corte será la solución.

• Centros de circunferencias: Para hallar una circunferencia tangente a dos rectas, el centro debe estar en la bisectriz del ángulo que forman.
• Construcción de triángulos: Si conocemos el lado $c$ y el ángulo opuesto $C$, el vértice restante debe estar en el arco capaz de $C$ sobre el segmento $c$.

• Teorema de Tales: Si varias rectas paralelas cortan a dos rectas secantes, los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a los segmentos determinados en la otra.
• Tercera proporcional: Dados dos segmentos $a$ y $b$, buscamos $x$ tal que $\frac{a}{b} = \frac{b}{x}$.
• Cuarta proporcional: Dados $a, b, c$, buscamos $x$ tal que $\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$.
• Media proporcional: Es el segmento $x$ tal que $x = \sqrt{a \cdot b}$. Se resuelve mediante:
  • Teorema de la altura: $h^2 = m \cdot n$ (en un triángulo rectángulo).
  • Teorema del cateto: $b^2 = c \cdot m$.

Dos figuras son semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados son proporcionales. La homotecia es una transformación geométrica plana que relaciona figuras semejantes respecto a un punto fijo llamado centro de homotecia ($O$).

• Razón de homotecia ($k$): Es la relación $k = \frac{OA'}{OA}$.
  • Si $k > 0$, la homotecia es directa (figuras al mismo lado de $O$).
  • Si $k < 0$, la homotecia es inversa (figuras a lados opuestos de $O$).

La escala es la relación entre la medida del dibujo y la realidad: $E = \frac{Dibujo}{Realidad}$.

• Escala transversal: Permite obtener precisiones de hasta la centésima de unidad mediante un trazado de rejilla oblicua.
• Escalímetro: Regla graduada con diferentes escalas predeterminadas para lectura directa.

Los puntos notables de un triángulo son fundamentales para el diseño técnico:

1. Baricentro (G): Intersección de las medianas. Es el centro de gravedad.
2. Incentro (I): Intersección de las bisectrices. Centro de la circunferencia inscrita.
3. Circuncentro (O): Intersección de las mediatrices. Centro de la circunferencia circunscrita.
4. Ortocentro (H): Intersección de las alturas.

La Recta de Euler contiene al ortocentro, baricentro y circuncentro en cualquier triángulo no equilátero.

Los cuadriláteros se dividen en:

• Paralelogramos: Cuadrado, rectángulo, rombo y romboide. Lados opuestos paralelos.
• No paralelogramos: Trapecios (dos lados paralelos) y trapezoides (ninguno paralelo).

Propiedades clave:

• Inscriptible: Un cuadrilátero puede inscribirse en una circunferencia si sus ángulos opuestos suman $180^\circ$.
• Circunscriptible: Puede circunscribirse si la suma de sus lados opuestos es igual ($a+c = b+d$).

Son figuras con todos sus lados y ángulos iguales.

• Métodos específicos: Basados en relaciones geométricas exactas (ej. el lado del hexágono es igual al radio de su circunferencia circunscrita).
• Método general: Procedimiento aproximado para construir polígonos de $n$ lados dividiendo el diámetro de la circunferencia.
• Polígonos estrellados: Se obtienen uniendo vértices de un polígono regular de forma no consecutiva (salto de vértices).

1. Traslación: Desplazamiento de una figura según un vector $\vec{v}$.
2. Giro: Rotación alrededor de un punto $O$ con un ángulo determinado.
3. Simetría:
   • Axial: Respecto a un eje (conserva la forma pero invierte el sentido).
   • Central: Respecto a un punto (equivalente a un giro de $180^\circ$).
4. Equivalencia: Dos figuras son equivalentes si tienen la misma área aunque distinta forma. Es común transformar un polígono en un triángulo de igual superficie para facilitar cálculos.

Existen dos leyes fundamentales que rigen todos los trazados:

1. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio que pasa por el punto de tangencia ($T$) es perpendicular a la recta.
2. Si dos circunferencias son tangentes entre sí, sus centros ($C_1, C_2$) y el punto de tangencia ($T$) están siempre alineados.

Casos comunes:

• Rectas tangentes exteriores: Se resuelven restando los radios de las circunferencias ($R-r$).
• Rectas tangentes interiores: Se resuelven sumando los radios ($R+r$).

Un enlace es la unión de líneas (rectas o arcos) de forma que no existan picos o discontinuidades, aplicando los principios de tangencia.

• Óvalo: Curva cerrada y plana compuesta por cuatro arcos de circunferencia tangentes entre sí. Tiene dos ejes de simetría.
• Ovoide: Curva cerrada con un solo eje de simetría, compuesta por un arco de circunferencia, dos arcos de circunferencia laterales y un semicírculo.
• Espirales: Curvas abiertas generadas por el movimiento de un punto que se aleja de un centro mientras gira. La voluta es una espiral compuesta por arcos de circunferencia tangentes.

Nota de estudio: Para resolver cualquier ejercicio de tangencias, el primer paso es siempre identificar los lugares geométricos donde pueden encontrarse los centros de las circunferencias buscadas.