Polígonos y transformaciones

El triángulo es la unidad básica de los polígonos. Su construcción requiere conocer tres datos independientes (lados, ángulos o rectas notables).

• Puntos Notables:
  1. Baricentro (G): Punto de corte de las medianas (segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto). Divide a cada mediana en dos segmentos, donde la distancia al vértice es el doble que al lado: $AG = 2 \cdot GM_a$.
  2. Incentro (I): Punto de corte de las bisectrices. Es el centro de la circunferencia inscrita (tangente a los lados).
  3. Circuncentro (O): Punto de corte de las mediatrices. Es el centro de la circunferencia circunscrita (pasa por los vértices).
  4. Ortocentro (H): Punto de corte de las alturas.

La Recta de Euler es una propiedad fundamental que establece que en cualquier triángulo no equilátero, el ortocentro, el baricentro y el circuncentro están alineados.

Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados:

• Paralelogramos: Lados paralelos dos a dos (cuadrado, rectángulo, rombo, romboide). Sus diagonales se bisecan mutuamente.
• Trapecios: Solo dos lados paralelos (bases). Pueden ser rectángulos, isósceles o escalenos.
• Trapezoides: Ningún lado paralelo.

Condiciones de Inscribibilidad:

• Un cuadrilátero es inscribible en una circunferencia si sus ángulos opuestos son suplementarios ($\alpha + \gamma = 180^\circ$).
• Un cuadrilátero es circunscribible (admite una circunferencia tangente a sus lados) si la suma de sus lados opuestos es igual: $a + c = b + d$ (Teorema de Pitot).

Son aquellos que tienen todos sus lados y ángulos iguales. La relación fundamental en un polígono de $n$ lados se basa en el triángulo sagital formado por el radio ($R$), la apotema ($a$) y el lado ($L$): $R^2 = a^2 + (\frac{L}{2})^2$

Para la construcción de polígonos estrellados, debemos unir los vértices de un polígono regular de $n$ lados siguiendo un paso $p$, siempre que $n$ y $p$ sean primos entre sí y $1 < p < n/2$.

• Igualdad: Dos figuras son iguales si sus lados y ángulos correspondientes son idénticos. Se pueden obtener por traslación, giro o simetría.
• Semejanza: Dos figuras son semejantes si sus ángulos son iguales y sus lados son proporcionales. La relación entre sus longitudes se define por la razón de semejanza $k$.
  • Relación de áreas: Si la razón de semejanza es $k$, la razón de sus áreas es $k^2$.

Dos figuras son equivalentes si tienen la misma área aunque tengan distinta forma.

• Cuadratura del triángulo: Para hallar un cuadrado equivalente a un triángulo de base $b$ y altura $h$, el lado del cuadrado $l$ será la media proporcional entre $b/2$ y $h$: $l = \sqrt{\frac{b}{2} \cdot h}$.
• Este concepto es vital para transformar polígonos complejos en otros más sencillos (triángulos) para facilitar el cálculo de superficies.

La potencia de un punto $P$ respecto a una circunferencia de centro $O$ y radio $r$ es un valor constante: $W = d^2 - r^2$, donde $d$ es la distancia $PO$.

• Eje Radical: Es el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto a dos circunferencias. Es siempre una recta perpendicular a la línea de centros.
• Centro Radical: Punto que tiene igual potencia respecto a tres circunferencias. Es el punto donde se cortan los tres ejes radicales.

Son movimientos rígidos que conservan la forma y el tamaño (isometrías).

• Traslación: Definida por un vector $\vec{v}$. Todos los puntos se desplazan en la misma dirección, sentido y distancia.
• Giro: Definido por un centro $O$ y un ángulo $\alpha$. El centro de giro es el único punto invariante de la transformación.

• Simetría Central: Equivale a un giro de $180^\circ$. El centro de simetría es el punto medio entre cualquier punto y su imagen.
• Simetría Axial: Transformación respecto a un eje $e$. Los segmentos que unen puntos homólogos son perpendiculares al eje y este los corta en su punto medio.

Transformación que hace corresponder a cada punto $A$ otro $A'$ alineado con un centro fijo $O$, tal que $\frac{OA'}{OA} = k$.

• Si $k > 0$, la homotecia es directa (figuras al mismo lado de $O$).
• Si $k < 0$, la homotecia es inversa (figuras a lados opuestos de $O$).

Una homología queda definida por un centro $O$, un eje $e$ y un par de puntos homólogos $(A, A')$.

• Propiedades:
  1. Los puntos homólogos están alineados con el centro $O$.
  2. Las rectas homólogas se cortan siempre en el eje de homología.
  3. Las Rectas Límite ($RL$ y $RL'$) son el lugar geométrico de los puntos cuyos homólogos están en el infinito.

La afinidad es una homología cuyo centro se encuentra en el infinito.

• Elementos: Eje de afinidad y dirección de afinidad ($d$).
• Los segmentos que unen puntos afines son paralelos a la dirección de afinidad.
• Se utiliza frecuentemente para dibujar elipses a partir de circunferencias, ya que la afinidad conserva el paralelismo pero no los ángulos ni las distancias.

La homología permite resolver problemas de tangencias complejos (como el caso de una circunferencia tangente a dos rectas y que pase por un punto) transformándolos en configuraciones más simples donde los elementos son paralelos o concurren en puntos accesibles.

• Si $k > 0$, los puntos están al mismo lado de $O$.
• Circunferencia de Puntos Invariantes (CPI): Si $k$ es positivo, los puntos cuya distancia al centro es $\sqrt{k}$ son dobles (se transforman en sí mismos).
• La inversión no conserva las distancias, pero es una transformación conforme (conserva los ángulos de intersección).

La forma de la figura inversa depende de si la figura original pasa por el centro de inversión $O$:

La inversión es la herramienta más potente para resolver el Problema de Apolonio (dibujar circunferencias tangentes a otras tres). Al elegir el centro de inversión en un punto de tangencia o en un centro de una circunferencia dada, podemos convertir circunferencias en rectas, simplificando drásticamente la búsqueda de soluciones.

El éxito en inversión depende de elegir un centro $O$ estratégico que reduzca el número de circunferencias en el problema transformado.