Sistemas de ecuaciones lineales

Cualquier sistema de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas puede representarse de forma compacta mediante matrices. Consideremos el sistema:

Este sistema se expresa matricialmente como $A \cdot X = B$, donde:

• Matriz de coeficientes ($A$): Contiene los coeficientes de las incógnitas. Es de dimensión $m \times n$.
• Matriz ampliada ($A^*$ o $A|B$): Es la matriz $A$ a la que se le añade la columna de los términos independientes. Su dimensión es $m \times (n+1)$.
• Vector de términos independientes ($B$): Columna con los valores al otro lado del igual.

Dependiendo del número de soluciones, clasificamos los sistemas en:

1. Sistema Compatible Determinado (SCD): Tiene una única solución.
2. Sistema Compatible Indeterminado (SCI): Tiene infinitas soluciones.
3. Sistema Incompatible (SI): No tiene ninguna solución.

Un sistema es homogéneo cuando todos los términos independientes son cero ($B = 0$). Estos sistemas tienen una característica especial: siempre son compatibles, ya que admiten al menos la solución trivial ($x_1=0, x_2=0, \dots, x_n=0$).

• Si el determinante de la matriz $A$ es distinto de cero, solo existe la solución trivial.
• Si el determinante es cero, el sistema es SCI y el espacio de soluciones tendrá una dimensión mayor que cero.

El rango de una matriz es el número de filas (o columnas) linealmente independientes. En la práctica, se calcula buscando el mayor menor complementario cuyo determinante sea distinto de cero.

• Si el rango de $A$ es $r$, significa que hay $r$ ecuaciones que aportan información útil y no son combinación lineal de las demás.

El Teorema de Rouché-Frobenius establece la relación entre el rango de la matriz de coeficientes ($rg(A)$) y el rango de la matriz ampliada ($rg(A^*)$):

El rango de la matriz ampliada nunca puede ser menor que el de la matriz de coeficientes, ya que $A$ está contenida en $A^*$.

Cuando nos encontramos ante un SCI, el número de soluciones es infinito. Para expresarlas, utilizamos parámetros libres (normalmente letras griegas como $\lambda, \mu$). El número de parámetros necesarios, también llamado grados de libertad, se calcula como: $\text{Grados de libertad} = n - rg(A)$ Donde $n$ es el número de incógnitas. La solución general se escribe expresando unas incógnitas en función de estos parámetros.

Es aplicable solo a sistemas cuadrados ($n=m$) que son SCD (es decir, $|A| \neq 0$). La solución para cada incógnita $x_i$ se obtiene mediante: $x_i = \frac{|A_i|}{|A|}$ Donde $A_i$ es la matriz resultante de sustituir la columna $i$ de $A$ por la columna de términos independientes $B$.

Consiste en aplicar operaciones elementales de fila para transformar la matriz ampliada en una matriz escalonada.

1. Intercambiar filas.
2. Multiplicar una fila por un número distinto de cero.
3. Sumar a una fila otra fila multiplicada por un número. Tras obtener la forma escalonada, se utiliza la sustitución regresiva para hallar los valores de las incógnitas empezando por la última fila.

Si el sistema es SCD y la matriz $A$ es invertible ($|A| \neq 0$), podemos despejar el vector de incógnitas en la ecuación matricial $AX = B$: $X = A^{-1} \cdot B$ Para ello, primero debemos calcular la matriz inversa mediante el método de la matriz adjunta: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^t$.

El objetivo es determinar el tipo de sistema según los valores de una variable desconocida (ej. $k$ o $a$). El procedimiento estándar es:

1. Calcular el determinante de la matriz de coeficientes $|A|$ en función del parámetro.
2. Igualar a cero el determinante para encontrar los valores críticos.
3. Analizar el rango de $A$ y $A^*$ para cada valor crítico por separado usando el Teorema de Rouché-Frobenius.

Tras la discusión, se suele pedir resolver el sistema para el caso general (SCD) o para un valor específico.

• En el caso SCD general, la solución suele quedar expresada como una fracción donde el parámetro aparece en el denominador.
• Es vital identificar los valores que invalidan el sistema (aquellos que hacen que el denominador sea cero) antes de operar.

Aunque son menos frecuentes, requieren un análisis más riguroso. Se suelen utilizar condiciones de compatibilidad simultáneas, observando cómo la variación de un parámetro puede condicionar el rango necesario en el otro para que el sistema tenga solución.

El paso más crítico es la identificación de incógnitas.

• Paso 1: Leer atentamente y asignar letras ($x, y, z$) a las cantidades desconocidas.
• Paso 2: Plantear las ecuaciones basándose en las restricciones del enunciado (precios totales, mezclas, edades, etc.).
• Paso 3: Verificar la coherencia de las unidades.

1. Ingeniería Eléctrica: Las Leyes de Kirchhoff generan sistemas de ecuaciones lineales para calcular las intensidades de corriente en cada rama de un circuito complejo.
2. Química: El ajuste de reacciones químicas (estequiometría) se basa en asegurar que el número de átomos de cada elemento sea el mismo en reactivos y productos, lo que resulta en un sistema homogéneo.
3. Economía: Modelos de oferta y demanda o análisis de costes de producción.

Cada ecuación lineal con tres incógnitas ($ax + by + cz = d$) representa un plano en el espacio. La solución del sistema nos indica cómo se cortan esos planos:

• SCD: Los tres planos se cortan en un único punto.
• SCI: Los planos se cortan en una recta o son el mismo plano (coincidentes).
• SI: Los planos no tienen ningún punto común (pueden ser paralelos o formar un "prisma").

Ejemplo práctico: Si resolvemos un sistema y obtenemos que es incompatible, geométricamente sabemos que no existe ningún punto en el espacio que pertenezca a todos los planos a la vez.