Funciones lineales y representación gráfica

Una función es una relación entre dos magnitudes o variables, de manera que a cada valor de la primera (llamada variable independiente) le corresponde un único valor de la segunda (llamada variable dependiente).

• Variable independiente ($x$): Es la que fijamos libremente. Se representa en el eje horizontal.
• Variable dependiente ($y$): Es la que "depende" del valor que tome la $x$. Se representa en el eje vertical.
• Dominio: Es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente ($x$).
• Recorrido (o Imagen): Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente ($y$).

Una relación solo es función si a cada $x$ le corresponde un solo valor de $y$. Si para un valor de $x$ hubiera dos resultados distintos, no sería una función matemática.

Existen cuatro maneras principales de presentar una relación funcional:

1. Enunciado verbal: Una descripción con palabras. Ejemplo: "El precio de las manzanas es de 2 euros por kilo".
2. Tabla de valores: Una lista organizada de pares de números $(x, y)$.
3. Expresión algebraica: Una fórmula matemática que relaciona ambas variables. Ejemplo: $y = 2x$.
4. Gráfica: La representación visual en unos ejes de coordenadas.

Para representar funciones, utilizamos el plano cartesiano, formado por dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas $(0,0)$.

• Eje de Abscisas: Es el eje horizontal (Eje $X$).
• Eje de Ordenadas: Es el eje vertical (Eje $Y$).
• Cuadrantes: Los ejes dividen el plano en cuatro zonas numeradas en sentido antihorario (I, II, III y IV).

Para localizar un punto $P(x, y)$, primero nos movemos horizontalmente según el valor de $x$ y luego verticalmente según el valor de $y$.

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La función lineal es el tipo más sencillo de función. Su expresión algebraica es $y = mx$, donde $m$ es un número real llamado pendiente.

• Proporcionalidad directa: Si duplicamos $x$, se duplica $y$. Existe una razón constante entre ellas.
• Paso por el origen: Todas estas funciones pasan obligatoriamente por el punto $(0,0)$, ya que si $x=0$, entonces $y = m \cdot 0 = 0$.
• La pendiente ($m$): Indica la inclinación de la recta.

La pendiente $m$ representa la razón de cambio: cuánto aumenta o disminuye la $y$ por cada unidad que aumenta la $x$.

• Si $m > 0$: La función es creciente (al aumentar $x$, aumenta $y$).
• Si $m < 0$: La función es decreciente (al aumentar $x$, disminuye $y$).
• Si $m = 0$: La función es constante (una línea horizontal).

Para calcular la pendiente a partir de dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$, usamos la fórmula: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Para dibujar una función lineal, al saber que pasa por el $(0,0)$, solo necesitamos un punto adicional.

1. Elegimos un valor para $x$ (por ejemplo, $x=1$).
2. Calculamos $y$ mediante la fórmula $y = mx$.
3. Marcamos el punto $(1, m)$ y el $(0,0)$ en el plano.
4. Unimos ambos puntos con una línea recta infinita.

La pendiente determina la "rapidez" con la que sube o baja la recta: a mayor valor absoluto de $m$, más vertical es la gráfica.

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La función afín es una generalización de la función lineal. Su fórmula es $y = mx + n$. Aquí aparecen dos parámetros fundamentales:

• $m$: La pendiente (igual que en la lineal).
• $n$: La ordenada en el origen.

A diferencia de la lineal, la función afín no suele pasar por el origen $(0,0)$ a menos que $n=0$.

El valor $n$ nos indica dónde corta la recta al eje $Y$.

• El punto de corte siempre es $(0, n)$.
• Si $n$ es positivo, la recta se desplaza hacia arriba.
• Si $n$ es negativo, la recta se desplaza hacia abajo.

Para representar $y = mx + n$, es recomendable seguir estos pasos:

1. Identificar $n$: Marcar directamente el punto $(0, n)$ en el eje vertical.
2. Crear una tabla de valores: Dar uno o dos valores a $x$ para obtener otros puntos.
   • Ejemplo para $y = 2x + 1$:
     • Si $x=0 \rightarrow y=1$ (Punto $A(0,1)$)
     • Si $x=1 \rightarrow y=3$ (Punto $B(1,3)$)
3. Dibujar la recta que pasa por esos puntos.

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Cuando la pendiente es cero ($m=0$), la ecuación se reduce a $y = n$ (o $y = k$).

• Su gráfica es una recta horizontal paralela al eje $X$.
• No importa cuánto valga $x$, el valor de $y$ siempre es el mismo.
• Ejemplo: $y = 3$. Todos los puntos serán $(x, 3)$.

Al comparar dos funciones $y = m_1x + n_1$ y $y = m_2x + n_2$:

• Paralelas: Tienen la misma pendiente ($m_1 = m_2$) pero distinta ordenada en el origen. Nunca se cortan.
• Secantes: Tienen distinta pendiente ($m_1 \neq m_2$). Se cortan en un único punto.
• Coincidentes: Tienen misma pendiente y misma ordenada. Son la misma recta.

Si nos dan un dibujo y queremos hallar la fórmula:

1. Miramos el corte con el eje $Y$ para hallar $n$.
2. Elegimos otro punto exacto de la cuadrícula y calculamos cuánto sube/baja ($y$) al avanzar a la derecha ($x$) para hallar $m$.
3. Escribimos la forma $y = mx + n$.

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Las funciones lineales y afines son perfectas para describir situaciones donde hay un coste fijo y un coste variable.

En problemas reales, los ejes tienen nombres específicos (Tiempo en segundos, Distancia en metros, Temperatura en ºC). Es vital:

• Observar las unidades de medida en cada eje.
• Identificar si la gráfica crece o decrece y qué significa eso (¿se enfría el objeto? ¿se aleja el coche?).
• Detectar tramos constantes (donde no hay cambio).

Ejemplo típico: Comparación de tarifas.

• Compañía A: 0€ de cuota y 0,50€/min. $\rightarrow y = 0,50x$
• Compañía B: 10€ de cuota y 0,10€/min. $\rightarrow y = 0,10x + 10$

Al representarlas gráficamente, el punto donde se cortan nos indica a partir de cuántos minutos nos conviene cambiar de compañía. Este tipo de análisis permite tomar decisiones basadas en datos matemáticos precisos.