Estadística y probabilidad básica

Para realizar un estudio estadístico, primero debemos definir sobre quién vamos a investigar:

• Población: Es el conjunto completo de todos los elementos (personas, objetos, eventos) que queremos estudiar.
• Muestra: Es un subconjunto representativo de la población que seleccionamos para obtener la información cuando la población es demasiado grande.

Dependiendo de lo que preguntemos, las variables estadísticas pueden ser:

1. Cualitativas: Expresan cualidades o características que no se pueden medir con números (ej. color de ojos, deporte favorito).
2. Cuantitativas: Se expresan mediante números. Se dividen en:
   • Discretas: Toman valores aislados, generalmente números enteros (ej. número de hermanos: 1, 2, 3...).
   • Continuas: Pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo (ej. la altura de una persona: 1,65 m).

Una vez recogidos los datos, los organizamos en tablas. Supongamos que preguntamos a 20 alumnos cuántos libros han leído en el último mes:

• Frecuencia absoluta ($f_i$): Número de veces que aparece un dato. La suma de todas las $f_i$ debe ser igual al tamaño de la muestra ($N$).
• Frecuencia relativa ($h_i$): Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos: $h_i = \frac{f_i}{N}$. La suma total debe ser 1.
• Frecuencia acumulada ($F_i$): Es la suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o iguales al valor considerado.
• Porcentaje (%): Se obtiene multiplicando la frecuencia relativa por 100 ($h_i \cdot 100$).

La suma de todas las frecuencias relativas siempre debe ser igual a 1, lo cual nos asegura que no hemos cometido errores en el cálculo.

Para que los resultados de una muestra sean válidos para toda la población, la muestra debe ser representativa.

• Muestreo aleatorio simple: Todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos (como un sorteo).
• Sesgos: Un sesgo es un error en la selección que hace que la muestra no represente bien a la población. Por ejemplo, preguntar sobre hábitos de lectura solo a personas que están en una biblioteca produciría un sesgo de selección.

• Diagrama de barras: Se representan los datos en el eje X y las frecuencias en el eje Y mediante barras de la misma anchura.
• Pictogramas: Son similares a las barras pero usan dibujos alusivos al tema del estudio.
• Diagrama de sectores: Un círculo dividido en "quesitos". El ángulo de cada sector se calcula con la fórmula: $\text{Ángulo} = \frac{f_i \cdot 360^\circ}{N}$

• Histogramas: Se usan para variables continuas o datos agrupados en intervalos. A diferencia del diagrama de barras, las columnas están juntas.
• Polígonos de frecuencias: Se obtienen uniendo los puntos medios de la parte superior de las barras de un diagrama o histograma.
• Diagrama de líneas: Muy útil para ver la evolución de una variable a lo largo del tiempo (ej. la temperatura a lo largo de una semana).

No todos los gráficos que vemos en prensa o internet son correctos. Al analizar un gráfico debemos fijarnos en:

1. La escala de los ejes: A veces se "acorta" el eje Y para que las diferencias parezcan más grandes de lo que son.
2. El origen: Si el eje no empieza en cero, la proporción visual se pierde.
3. La proporcionalidad: En los pictogramas, el área del dibujo debe ser proporcional a la frecuencia.

Indican dónde se sitúa el "centro" de los datos:

• Media aritmética ($\bar{x}$): Es la suma de todos los datos dividida por el número total de datos: $\bar{x} = \frac{\sum f_i \cdot x_i}{N}$.
• Moda ($M_o$): Es el valor con mayor frecuencia absoluta. En datos agrupados, hablamos de clase modal.
• Mediana ($M_e$): Es el valor que ocupa la posición central cuando los datos están ordenados de menor a mayor. Si el número de datos es par, la mediana es la media de los dos valores centrales.

Nos dicen si los datos están muy juntos o muy separados respecto a la media.

• Rango o recorrido: Diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo.
• Desviación media: Promedio de las distancias de cada dato a la media.

Una desviación media baja indica que los datos son muy homogéneos y que la media es muy representativa del grupo.

La media no siempre es la mejor medida. Si tenemos valores muy extremos (valores atípicos), la media se ve muy afectada, mientras que la mediana permanece estable. Por ejemplo, si en un grupo de amigos de 14 años hay una persona de 60 años, la media de edad subirá mucho, pero la mediana seguirá siendo 14.

• Determinista: Sabemos qué va a pasar (tirar una piedra y que caiga).
• Aleatorio: No podemos predecir el resultado exacto (lanzar un dado).
• Espacio muestral ($E$): Conjunto de todos los resultados posibles. En un dado, $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

• Suceso elemental: Un solo resultado (ej. sacar un 5).
• Suceso compuesto: Varios resultados (ej. sacar un número par: $\{2, 4, 6\}$).
• Suceso seguro: Siempre ocurre ($P=1$).
• Suceso imposible: Nunca ocurre ($P=0$).
• Sucesos contrarios: El contrario de A ($\bar{A}$) es el que ocurre cuando no ocurre A.

Para experimentos donde todos los resultados tienen la misma probabilidad (equiprobables), usamos la Regla de Laplace: $P(A) = \frac{\text{Número de casos favorables}}{\text{Número de casos posibles}}$

La probabilidad siempre es un número comprendido entre 0 y 1 (o entre 0% y 100%).

1. Tablas de doble entrada: Ideales para experimentos que consisten en dos acciones (ej. lanzar dos dados).
2. Diagramas de árbol: Muy útiles para experimentos sucesivos (ej. lanzar una moneda y luego un dado). Cada rama representa una posibilidad.

Cuando realizamos dos experimentos seguidos:

• Con reemplazamiento: El primer objeto se devuelve antes de la segunda extracción. Las probabilidades no cambian.
• Sin reemplazamiento: El primer objeto NO se devuelve. Esto cambia el número total de casos posibles para la segunda extracción.

La probabilidad nos ayuda a tomar decisiones racionales. Un juego es equitativo si todos los jugadores tienen la misma probabilidad de ganar. En la vida real, entender la probabilidad nos permite evaluar riesgos en seguros, medicina o finanzas, evitando basar nuestras decisiones solo en la intuición o "la suerte".