Sistemas de ecuaciones lineales

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una igualdad algebraica de primer grado que relaciona dos valores desconocidos, generalmente representados por las letras $x$ e $y$. Su forma general es:

$ax + by = c$

Donde:

• $x, y$: Son las incógnitas.
• $a, b$: Son los coeficientes (números que acompañan a las letras).
• $c$: Es el término independiente (el número que está solo).

Se llaman "lineales" porque el exponente de las incógnitas es siempre 1. Si alguna incógnita estuviera al cuadrado, ya no sería una ecuación lineal.

A diferencia de las ecuaciones con una sola incógnita (como $2x = 4$), una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. Cada solución es un par ordenado $(x, y)$ que, al sustituirse en la ecuación, hace que la igualdad sea cierta.

Ejemplo: En la ecuación $x + y = 5$:

• El par $(2, 3)$ es solución porque $2 + 3 = 5$.
• El par $(1, 4)$ es solución porque $1 + 4 = 5$.
• El par $(0, 5)$ es solución porque $0 + 5 = 5$.

Para comprobar si un punto es solución, simplemente sustituimos los valores y verificamos si el resultado es idéntico al término independiente.

Cada ecuación lineal representa una recta en el plano cartesiano. Para dibujarla, seguimos estos pasos:

1. Despejar la incógnita $y$: Transformamos la ecuación para que quede como $y = ...$
2. Tabla de valores: Damos valores arbitrarios a $x$ (por ejemplo, 0, 1 y 2) y calculamos sus correspondientes valores de $y$.
3. Dibujar los puntos: Representamos los pares $(x, y)$ en los ejes de coordenadas y los unimos.

Cualquier punto que pertenezca a esa recta será una solución válida de la ecuación.

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos ecuaciones que deben cumplirse al mismo tiempo. Se representan unidas por una llave:

$\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$

Resolver el sistema significa encontrar el par de valores $(x, y)$ que sea solución común a ambas ecuaciones.

Dependiendo de cuántas soluciones tenga el sistema, lo clasificamos en tres tipos:

Si dibujamos las dos rectas de un sistema en un mismo plano, podemos visualizar el tipo de sistema:

• Rectas secantes: Se cortan en un punto. Este punto es la solución única (SCD).
• Rectas paralelas: Nunca se cortan. No hay solución (SI).
• Rectas coincidentes: Son la misma recta, una encima de la otra. Hay infinitas soluciones (SCI).

Este método consiste en "despejar y cambiar". Es ideal cuando una de las incógnitas tiene coeficiente 1 o -1.

Pasos:

1. Despejar una incógnita en una de las dos ecuaciones (la que parezca más fácil).
2. Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.
3. Resolver la ecuación de primer grado resultante para hallar una incógnita.
4. Calcular la otra incógnita sustituyendo el valor hallado en el despeje del paso 1.

Consiste en despejar la misma letra en ambas ecuaciones para luego compararlas.

Pasos:

1. Despejar la misma incógnita (por ejemplo, la $x$) en las dos ecuaciones.
2. Igualar las dos expresiones resultantes.
3. Resolver la ecuación para hallar una de las incógnitas.
4. Sustituir ese valor en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar la segunda incógnita.

No hay un método obligatorio, pero ser inteligente al elegir ahorra tiempo:

• Usa sustitución si ves una incógnita "sola" (coeficiente 1), por ejemplo: $x + 3y = 7$.
• Usa igualación si la misma incógnita es fácil de despejar en ambas o ya viene despejada.
• Evita despejar incógnitas que generen fracciones complejas desde el principio si tienes otras opciones.

Es, a menudo, el método más rápido. Consiste en preparar las ecuaciones para que, al sumarlas, una incógnita desaparezca.

Pasos:

1. Elegir una incógnita para eliminar.
2. Multiplicar una o ambas ecuaciones por números adecuados para que los coeficientes de esa incógnita sean iguales pero de signo contrario.
3. Sumar las dos ecuaciones miembro a miembro. La incógnita elegida se cancelará ($0$).
4. Resolver la ecuación resultante y hallar el otro valor.

A veces, tras hallar la primera incógnita, resulta tedioso sustituir para hallar la segunda (porque salen fracciones feas). En ese caso, aplicamos la doble reducción: repetimos el proceso de reducción desde el principio, pero eliminando la otra incógnita. Esto permite calcular $x$ e $y$ de forma independiente.

Antes de aplicar cualquier método, debemos dejar el sistema en su forma reducida. Esto implica:

1. Quitar paréntesis usando la propiedad distributiva.
2. Quitar denominadores calculando el mínimo común múltiplo (m.c.m.).
3. Pasar los términos con $x$ e $y$ a la izquierda y los números a la derecha.
4. Agrupar términos semejantes.

Resolver un problema requiere traducir el lenguaje natural al lenguaje matemático.

• "La suma de dos números es 20" $\rightarrow x + y = 20$
• "El doble de uno más el triple del otro" $\rightarrow 2x + 3y$
• "Un número supera a otro en 5 unidades" $\rightarrow x = y + 5$

En los problemas de edades, es vital recordar que el tiempo pasa para todos igual. Si $x$ es la edad de Juan e $y$ la de Ana:

• "Hace 3 años..." $\rightarrow (x - 3)$ y $(y - 3)$
• "Dentro de 10 años..." $\rightarrow (x + 10)$ y $(y + 10)$

• Mezclas: Se basan en la cantidad total ($x + y = \text{total}$) y en el valor o concentración ($P_1x + P_2y = \text{Valor total}$).
• Geometría: Muy comunes con rectángulos. Si $x$ es la base e $y$ la altura, el perímetro es $2x + 2y = P$.

Una vez hallada la solución $(x, y)$, es obligatorio preguntarse: ¿Tiene sentido?

1. Coherencia: Si el problema pide el número de personas, el resultado no puede ser $2,5$ ni un número negativo.
2. Comprobación: Sustituye los valores en el enunciado original (no en tus ecuaciones, por si te equivocaste al plantearlas).
3. Interpretación: Responde con una frase clara que incluya las unidades (euros, años, metros, etc.).

Recuerda: Un sistema no está terminado hasta que has comprobado que la solución cumple todas las condiciones del problema.