Proporcionalidad directa e inversa

En matemáticas, una razón es el cociente indicado entre dos números o cantidades comparables. Se escribe en forma de fracción, $\frac{a}{b}$, pero se lee "a es a b". A diferencia de una fracción común, los términos de una razón pueden ser números decimales.

Cuando igualamos dos razones, obtenemos una proporción. Decimos que $a, b, c$ y $d$ forman una proporción si: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ Esta igualdad se lee: "$a$ es a $b$ como $c$ es a $d$".

• Términos de una proporción:
  • Extremos: Son el primer y el último número ($a$ y $d$).
  • Medios: Son los números intermedios ($b$ y $c$).

La regla de oro de las proporciones establece que, en toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. $a \cdot d = b \cdot c$

Esta propiedad es extremadamente útil para el cálculo del término desconocido. Si nos falta uno de los cuatro valores, podemos despejarlo fácilmente:

1. Multiplicamos los dos números que forman la pareja completa (ya sean medios o extremos).
2. Dividimos el resultado por el número que queda solo.

Ejemplo: En $\frac{x}{10} = \frac{6}{4}$, calculamos $x = \frac{10 \cdot 6}{4} = \frac{60}{4} = 15$.

Una magnitud es cualquier propiedad que se pueda medir y expresar con un número (el peso, la longitud, el precio, el tiempo). En la vida cotidiana, las magnitudes suelen estar relacionadas:

• El precio que pagas depende de los kilos de fruta que compras.
• El tiempo que tardas en llegar a un sitio depende de la velocidad.

Decimos que hay una relación de dependencia cuando el valor de una magnitud influye en el valor de la otra. No todas las relaciones son proporcionales; para que lo sean, deben cumplir reglas específicas de crecimiento o decrecimiento que estudiaremos a continuación.

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Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por un número, la otra queda multiplicada por ese mismo número (y si dividimos una, la otra también se divide).

• Constante de proporcionalidad directa ($k$): Es el cociente entre los valores correspondientes de las magnitudes. $k = \frac{y}{x}$ En una tabla de valores directos, si dividimos cada pareja de datos, el resultado siempre es el mismo.

La regla de tres simple directa es un procedimiento para resolver problemas donde conocemos tres valores y buscamos un cuarto.

Esquema de resolución:

1. Identificar las magnitudes y colocarlas en columnas.
2. Comprobar que son directas (a más cantidad de A, más cantidad de B).
3. Multiplicar en cruz y dividir por el tercero.

Ejemplo: Si 3 kg de naranjas cuestan 4,50 €, ¿cuánto costarán 5 kg? $\text{Kg} \longrightarrow \text{Euros}$ $3 \longrightarrow 4,50$ $5 \longrightarrow x$ $x = \frac{5 \cdot 4,50}{3} = 7,50 \text{ €}$

Este método consiste en calcular primero cuánto vale una sola unidad de la magnitud conocida. Es muy intuitivo y útil para el cálculo mental.

1. Dividimos el valor total entre el número de unidades para hallar el valor unitario.
2. Multiplicamos ese valor unitario por el número de unidades que queremos calcular.

El método de reducción a la unidad es la base lógica de la constante de proporcionalidad, permitiendo resolver problemas sin memorizar fórmulas de cruz.

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Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar una (doble, triple...), la otra disminuye en la misma proporción (mitad, tercio...).

• Constante de proporcionalidad inversa: En este caso, lo que se mantiene constante no es el cociente, sino el producto de las magnitudes. $k = x \cdot y$

Cuando las magnitudes son inversas (por ejemplo, más obreros tardan menos tiempo), el cálculo cambia.

Algoritmo de resolución:

1. Colocar los datos en columnas.
2. Multiplicar los datos de la fila superior (en línea horizontal).
3. Dividir por el dato restante de la fila inferior.

Ejemplo: 2 pintores tardan 6 horas en pintar un muro. ¿Cuánto tardarán 3 pintores? $\text{Pintores} \longrightarrow \text{Horas}$ $2 \longrightarrow 6$ $3 \longrightarrow x$ $x = \frac{2 \cdot 6}{3} = 4 \text{ horas.}$

La representación visual ayuda a distinguir rápidamente el tipo de relación:

• Proporcionalidad Directa: Su gráfica es siempre una línea recta que pasa por el origen de coordenadas $(0,0)$.
• Proporcionalidad Inversa: Su gráfica es una curva llamada hipérbola, que se acerca a los ejes sin llegar a tocarlos nunca.

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Un porcentaje es una razón cuyo denominador es 100. El símbolo $\%$ representa una fracción decimal.

• $15\% = \frac{15}{100} = 0,15$

Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por el porcentaje en forma decimal (número índice). El 100% siempre representa el total o la unidad completa.

En la vida real, los porcentajes se usan para modificar cantidades iniciales:

• Aumentos (IVA, propinas, intereses): Se suma el porcentaje al 100%. Por ejemplo, un aumento del 21% significa pagar el 121% del precio original (multiplicar por 1,21).
• Disminuciones (Rebajas, descuentos): Se resta el porcentaje al 100%. Un descuento del 20% significa pagar el 80% (multiplicar por 0,80).

El número por el que multiplicamos para obtener el resultado final se llama índice de variación.

A veces se aplican varios porcentajes seguidos sobre una misma cantidad. Nunca se deben sumar los porcentajes directamente. Ejemplo: Si algo baja un 10% y luego sube un 10%, no se queda igual.

1. Primer índice: 0,90
2. Segundo índice: 1,10
3. Índice total: $0,90 \cdot 1,10 = 0,99$ (es decir, el precio final es un 99% del inicial, ha bajado un 1%).

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Hablamos de proporcionalidad compuesta cuando intervienen más de dos magnitudes relacionadas entre sí. Por ejemplo: el consumo de gas de una calefacción depende del número de radiadores, de las horas de uso y de la temperatura exterior.

Debemos analizar la relación de la magnitud que contiene la incógnita con cada una de las demás por separado, manteniendo las otras constantes.

Para resolver estos problemas, organizamos los datos en columnas, situando la magnitud con la incógnita ($x$) al final.

1. Identificamos si cada relación con la incógnita es Directa (D) o Inversa (I).
2. Escribimos la proporción igualando la fracción de la incógnita al producto de las fracciones de las demás magnitudes.
3. Si una relación es inversa, invertimos su fracción (le damos la vuelta).

$\frac{\text{Magnitud 1 (D)}}{\dots} \cdot \frac{\text{Magnitud 2 (I invers.)}}{\dots} = \frac{\text{Incógnita}}{\dots}$

Consiste en dividir una cantidad en partes que sean proporcionales a otros números (llamados índices de reparto).

• Directos: A mayor índice, mayor parte recibida (ej. repartir un premio según los puntos obtenidos).
• Inversos: A mayor índice, menor parte recibida (ej. repartir una tarea según las faltas cometidas).

Para resolverlos, sumamos los índices y calculamos la constante de reparto, que luego multiplicamos por cada índice individual para hallar cada parte.