Aritmética mercantil y porcentajes

El concepto de porcentaje representa una parte de un total dividido en 100 unidades. Para calcular el $r\%$ de una cantidad $C$, multiplicamos $C \cdot \frac{r}{100}$.

Sin embargo, en aritmética mercantil es más eficiente utilizar el índice de variación (IV):

• Aumento porcentual: Si una cantidad aumenta un $r\%$, el índice de variación es $IV = 1 + \frac{r}{100}$.
• Disminución porcentual: Si una cantidad disminuye un $r\%$, el índice de variación es $IV = 1 - \frac{r}{100}$.

Ejemplo: Si unas zapatillas de 80 € tienen un descuento del 20%, el $IV = 1 - 0,20 = 0,80$. El precio final será $80 \cdot 0,80 = 64$ €.

En la vida real, a menudo se aplican varios porcentajes de forma sucesiva. Es un error común sumar los porcentajes directamente. Para hallar el resultado final, debemos multiplicar los índices de variación de cada etapa.

El índice de variación global se obtiene multiplicando los índices individuales: $IV_{total} = IV_1 \cdot IV_2 \cdot IV_3 \dots$

Ejemplo: Un producto de 100 € sube un 10% y luego baja un 10%.

1. $IV_1 = 1,10$
2. $IV_2 = 0,90$
3. $IV_{total} = 1,10 \cdot 0,90 = 0,99$ El precio final es $100 \cdot 0,99 = 99$ €. ¡No se queda igual, ha bajado un 1%!

A veces conocemos el resultado final y queremos saber cuál era la cantidad inicial. Para ello, despejamos en la fórmula: $\text{Cantidad Final} = \text{Cantidad Inicial} \cdot IV \implies \text{Cantidad Inicial} = \frac{\text{Cantidad Final}}{IV}$

Es crucial no aplicar el porcentaje sobre el valor final para intentar volver atrás, ya que la base del cálculo ha cambiado.

El interés simple es aquel que se calcula siempre sobre el capital inicial. Los intereses generados no se acumulan para producir nuevos intereses en el siguiente periodo.

La fórmula principal es: $I = C_0 \cdot r \cdot t$ Donde:

• $C_0$: Capital inicial.
• $r$: Rédito o tipo de interés (en decimal).
• $t$: Tiempo (en las mismas unidades que el rédito, normalmente años).

Si el tiempo viene en meses, dividimos por 12; si viene en días, por 360 (año comercial).

En el interés compuesto, los intereses se suman al capital al final de cada periodo, generando nuevos intereses (capitalización).

La fórmula del capital final ($C_f$) es: $C_f = C_0 \cdot (1 + r)^t$

La diferencia fundamental es que en el interés compuesto, el crecimiento es exponencial, mientras que en el simple es lineal.

A menudo, los intereses se abonan mensualmente o trimestralmente. En estos casos, debemos ajustar el rédito ($r$) y el tiempo ($t$):

• Si es mensual: $r$ se divide por 12 y $t$ se multiplica por 12.
• Si es trimestral: $r$ se divide por 4 y $t$ se multiplica por 4.

La fórmula general sería: $C_f = C_0 \cdot (1 + \frac{r}{k})^{k \cdot t}$, donde $k$ es el número de periodos al año.

Cuando contratamos un producto financiero, vemos dos siglas:

1. TIN (Tipo de Interés Nominal): Es el interés informativo que no incluye gastos ni comisiones.
2. TAE (Tasa Anual Equivalente): Es el indicador más real, ya que incluye las comisiones, gastos y la frecuencia de los pagos.

La TAE permite comparar objetivamente diferentes préstamos o depósitos, independientemente de sus condiciones particulares.

Una anualidad es un pago fijo realizado a intervalos regulares (normalmente meses, a pesar del nombre).

• Anualidades de capitalización: Para ahorrar una cantidad futura mediante ingresos periódicos.
• Anualidades de amortización: Para devolver un préstamo (como una hipoteca).

En España, el sistema más común es el francés, donde la cuota mensual es constante. Al principio se pagan más intereses y poco capital, y al final ocurre lo contrario.

Hoy en día, el uso de herramientas digitales es esencial. En una hoja de cálculo (Excel o Google Sheets), podemos usar funciones como =PAGO() para calcular la cuota de una hipoteca o =VF() para ver cuánto ahorraremos en el futuro. Estas herramientas permiten realizar simulaciones y entender cómo una pequeña subida del tipo de interés afecta al coste total de un préstamo.

El IVA es un impuesto indirecto que grava el consumo. En España existen tres tipos principales:

• General (21%): La mayoría de productos.
• Reducido (10%): Alimentos en general, transporte, hostelería.
• Superreducido (4%): Productos de primera necesidad (pan, leche, libros).

Para calcular el precio con IVA: $P_{final} = \text{Base Imponible} \cdot (1 + \text{IVA})$.

El IRPF es un impuesto directo y progresivo (paga más porcentaje quien más gana). En una nómina, la empresa retiene una parte del sueldo para ingresarlo en Hacienda en nombre del trabajador.

• Salario Bruto: Dinero total que paga la empresa.
• Salario Neto: Dinero que recibe el trabajador tras restar la Seguridad Social y la retención del IRPF.

Una factura debe contener siempre:

1. Datos del emisor y receptor.
2. Base imponible: Suma de los precios de los productos antes de impuestos.
3. Descuentos: Se restan de la base.
4. Cuota tributaria: El importe del IVA calculado sobre la base.
5. Total factura: Suma de base imponible e impuestos.

Consiste en dividir una cantidad de forma que quien más aporta (o más tiene), más recibe. Para resolverlo, sumamos las magnitudes de reparto y calculamos la constante de proporcionalidad ($k$): $k = \frac{\text{Total a repartir}}{\text{Suma de magnitudes}}$ Luego, multiplicamos cada magnitud individual por $k$.

En este caso, quien tiene la magnitud más alta recibe la parte más pequeña (por ejemplo, repartir un premio en función de las faltas de asistencia). El truco es hacer un reparto directo a los inversos de los números dados ($\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2} \dots$).

Se trata de calcular el precio o la pureza resultante al combinar diferentes sustancias. La fórmula clave es la media ponderada: $P_{medio} = \frac{C_1 \cdot P_1 + C_2 \cdot P_2}{C_1 + C_2}$ Donde $C$ es la cantidad y $P$ es el precio o la ley (pureza) de cada componente.

La clave en las mezclas es entender que el valor total del conjunto es la suma de los valores individuales de sus componentes.