Números racionales y decimales

Un número racional es aquel que puede expresarse como el cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción $\frac{a}{b}$, donde $a$ es el numerador y $b$ es el denominador (siendo $b \neq 0$). El conjunto de todos estos números se designa con la letra $\mathbb{Q}$.

• Representación en la recta numérica: Para representar una fracción, dividimos cada unidad en tantas partes iguales como indique el denominador y tomamos las que señale el numerador.
• Fracciones equivalentes: Dos fracciones $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ son equivalentes si representan la misma cantidad. Se cumple que $a \cdot d = b \cdot c$.
• Simplificación y fracción irreducible: Simplificar consiste en dividir numerador y denominador por un mismo número. Una fracción es irreducible cuando el máximo común divisor entre numerador y denominador es 1.

Para comparar fracciones con distinto denominador, el método más eficaz es la reducción a común denominador mediante el mínimo común múltiplo (m.c.m.).

1. Calculamos el m.c.m. de los denominadores.
2. Transformamos cada fracción en una equivalente con ese denominador común.
3. Comparamos los numeradores: a mayor numerador, mayor es la fracción.

Propiedad de densidad: A diferencia de los números enteros, entre dos números racionales siempre existe otro número racional. Esto significa que los números racionales son densos en la recta numérica.

Para resolver operaciones complejas, debemos seguir estrictamente la jerarquía de operaciones:

1. Paréntesis y corchetes (de dentro hacia fuera).
2. Potencias y raíces.
3. Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha).
4. Sumas y restas.

Ejemplo de producto y cociente:

• Producto: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$
• Cociente: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$ (multiplicación en cruz).

Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción, obtenemos un número decimal. Estos se clasifican en:

1. Decimal exacto: Tiene un número limitado de cifras decimales (ej. $0,75$).
2. Decimal periódico puro: La parte decimal se repite infinitamente justo después de la coma (ej. $0,333... = 0,\widehat{3}$).
3. Decimal periódico mixto: Existe una parte decimal que no se repite (anteperiodo) antes de la parte que se repite (periodo) (ej. $0,1666... = 0,1\widehat{6}$).

La estructura del denominador de la fracción irreducible determina el tipo de decimal: si solo tiene factores 2 y 5, es exacto; si no tiene ni 2 ni 5, es periódico puro; si tiene 2 o 5 y otros factores, es periódico mixto.

El paso de decimal a fracción se realiza mediante la fracción generatriz:

• Exacto: Numerador igual al número sin coma; denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales.
  • $1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$
• Periódico puro: Numerador igual al número completo menos la parte entera; denominador tantos nueves como cifras tenga el periodo.
  • $2,\widehat{3} = \frac{23 - 2}{9} = \frac{21}{9} = \frac{7}{3}$
• Periódico mixto: Numerador igual al número completo (sin coma) menos la parte no periódica; denominador tantos nueves como cifras tenga el periodo seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo.

En la vida real, a menudo trabajamos con aproximaciones:

• Redondeo: Si la primera cifra eliminada es 5 o mayor, sumamos 1 a la última cifra conservada.
• Truncamiento: Simplemente eliminamos las cifras a partir de un orden determinado.

Al aproximar, cometemos errores:

1. Error absoluto ($E_a$): Valor absoluto de la diferencia entre el valor real ($V_r$) y el valor aproximado ($V_a$). $E_a = |V_r - V_a|$.
2. Error relativo ($E_r$): Cociente entre el error absoluto y el valor real. Suele expresarse en porcentaje y mide la calidad de la aproximación.

Una potencia de base racional $\left(\frac{a}{b}\right)^n$ es el resultado de elevar tanto el numerador como el denominador al exponente $n$.

• Exponente negativo: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$. Invertimos la fracción para cambiar el signo del exponente.
• Propiedades clave:
  • $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$
  • $a^n : a^m = a^{n-m}$
  • $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$

Se utiliza para escribir números muy grandes o muy pequeños de forma compacta. Tiene la forma: $a \cdot 10^n$ Donde $1 \leq |a| < 10$ (el coeficiente $a$ solo tiene una cifra entera distinta de cero) y $n$ es un número entero.

• Ejemplo grande: $602.000.000 = 6,02 \cdot 10^8$
• Ejemplo pequeño: $0,000045 = 4,5 \cdot 10^{-5}$

Para operar en notación científica, multiplicamos los coeficientes y sumamos los exponentes de las potencias de 10, ajustando el resultado final si es necesario.

La raíz cuadrada de una fracción se calcula como la raíz del numerador entre la raíz del denominador: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ Si la raíz no es exacta y no puede expresarse como fracción, estamos ante un número irracional (como $\sqrt{2}$ o $\pi$). El conjunto de los números racionales e irracionales forma los números reales ($\mathbb{R}$).

La mayoría de los problemas se resuelven identificando qué fracción del total representa una cantidad.

• Fracción de una cantidad: Para hallar $\frac{3}{4}$ de 200, multiplicamos $(200 \cdot 3) / 4 = 150$.
• Hallar el total: Si sabemos que $\frac{2}{5}$ de una deuda son 80€, el total se calcula como $(80 \cdot 5) / 2 = 200€$.

Un porcentaje es una fracción con denominador 100.

• Aumentos porcentuales: Se multiplica por $(1 + i)$. Ejemplo: Un aumento del 20% supone multiplicar por $1,20$.
• Disminuciones porcentuales: Se multiplica por $(1 - i)$. Ejemplo: Un descuento del 15% supone multiplicar por $0,85$.
• Interés simple: Se calcula con la fórmula $I = C \cdot r \cdot t$, donde $C$ es el capital, $r$ el rédito (en decimal) y $t$ el tiempo.

Para asegurar el éxito en la resolución de problemas, sigue estos pasos:

1. Estimación: Antes de calcular, piensa si el resultado debería ser mayor o menor que los datos iniciales.
2. Análisis de coherencia: ¿Tiene sentido que el precio de un pantalón rebajado sea de 5000€? Si no es lógico, revisa los pasos.
3. Uso de la calculadora: Utilízala para verificar operaciones complejas, pero asegúrate de entender qué operación estás pidiendo al dispositivo que realice.