Polinomios y expresiones algebraicas

Para entender un polinomio como $P(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7$, debemos identificar sus componentes:

• Términos: Cada uno de los sumandos. En este caso, $4x^3$, $-2x^2$, $x$ y $-7$.
• Grado: Es el mayor exponente al que está elevada la variable. En $P(x)$, el grado es 3.
• Coeficiente principal: El número que acompaña a la variable de mayor grado. Aquí es 4.
• Término independiente: El número que no tiene variable. Aquí es $-7$.

Un polinomio está ordenado si sus términos van de mayor a menor grado. Se dice que es completo si tiene todos los términos desde el grado máximo hasta el independiente. Si falta algún grado (por ejemplo, $x^2 + 5$), es un polinomio incompleto.

El valor numérico es el resultado que obtenemos al sustituir la variable $x$ por un número específico.

Ejemplo: Si $P(x) = 2x^2 - 5x + 1$, ¿cuál es su valor para $x = 2$? $P(2) = 2(2)^2 - 5(2) + 1 = 2(4) - 10 + 1 = 8 - 10 + 1 = -1$

Es fundamental respetar la jerarquía de operaciones: primero las potencias, luego multiplicaciones y finalmente sumas o restas.

1. Suma y Resta: Solo podemos sumar o restar monomios semejantes (aquellos que tienen la misma parte literal).
2. Producto: Para multiplicar dos polinomios, aplicamos la propiedad distributiva, multiplicando cada término del primero por todos los términos del segundo y sumando los resultados.
   • Ejemplo: $(x + 2)(x^2 - 3) = x \cdot x^2 + x \cdot (-3) + 2 \cdot x^2 + 2 \cdot (-3) = x^3 - 3x + 2x^2 - 6$.

Dividir polinomios es similar a dividir números enteros. Si tenemos un dividendo $D(x)$ y un divisor $d(x)$, buscamos un cociente $C(x)$ y un resto $R(x)$ tales que: $D(x) = d(x) \cdot C(x) + R(x)$ El grado del resto $R(x)$ debe ser siempre menor que el grado del divisor $d(x)$. Si el resto es 0, la división es exacta.

Es un método rápido para dividir un polinomio entre un binomio de la forma $(x - a)$.

Pasos:

1. Escribir los coeficientes del polinomio ordenado y completo (poniendo 0 donde falte un término).
2. Colocar el valor de $a$ (con el signo cambiado respecto al binomio) a la izquierda.
3. Bajar el primer coeficiente y multiplicar de forma sistemática.

Ejemplo para $(x^3 - 2x^2 + 3) \div (x - 2)$:

    |  1  -2   0   3
  2 |      2   0   0
 -------------------
    |  1   0   0 | 3  <-- Resto

El cociente sería $x^2$ y el resto $3$.

• Teorema del Resto: El resto de dividir $P(x)$ entre $(x - a)$ es igual al valor numérico $P(a)$. Esto permite saber el resto sin hacer la división.
• Teorema del Factor: Si $P(a) = 0$, entonces $(x - a)$ es un factor de $P(x)$. Esto significa que la división es exacta y que $a$ es una raíz del polinomio.

Es el primer paso siempre que sea posible. Buscamos el Máximo Común Divisor de los coeficientes y las variables comunes con el menor exponente.

• Ejemplo: $6x^4 - 9x^2 = 3x^2(2x^2 - 3)$.

Reconocer estos patrones ahorra mucho tiempo:

1. Cuadrado de una suma: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
2. Cuadrado de una diferencia: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
3. Suma por diferencia: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ (Diferencia de cuadrados)

Para factorizar un polinomio de grado mayor que 2:

1. Sacamos factor común si es posible.
2. Buscamos raíces enteras entre los divisores del término independiente usando Ruffini.
3. Si llegamos a un polinomio de segundo grado, podemos usar la fórmula general de la ecuación de segundo grado.

Un polinomio es irreducible cuando no se puede descomponer en factores de menor grado (como los números primos).

Para simplificar, debemos factorizar numerador y denominador y cancelar los factores comunes.

• Ejemplo: $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x} = \frac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)} = \frac{x+2}{x}$. Es vital recordar que el denominador no puede ser cero; los valores de $x$ que anulan al denominador no pertenecen al dominio de la expresión.

• Suma y resta: Necesitamos el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. $\frac{A}{B} \pm \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D \pm C \cdot B}{B \cdot D}$
• Multiplicación: Se multiplica en línea: $\frac{P}{Q} \cdot \frac{R}{S} = \frac{P \cdot R}{Q \cdot S}$.
• División: Se multiplica en cruz: $\frac{P}{Q} \div \frac{R}{S} = \frac{P \cdot S}{Q \cdot R}$.

Al trabajar con operaciones combinadas, seguimos la jerarquía:

1. Paréntesis y corchetes.
2. Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha).
3. Sumas y restas (reduciendo a común denominador). Siempre debemos simplificar el resultado final factorizando si es posible.

El álgebra nos permite traducir situaciones cotidianas a fórmulas.

• Geometría: Si el lado de un cuadrado es $(x + 3)$, su área es el polinomio $A(x) = (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$.
• Economía: Los costes de producción a menudo se expresan como polinomios donde $x$ es el número de unidades producidas.

La factorización es una herramienta poderosa para resolver ecuaciones de grado superior. Si tenemos $P(x) = 0$ y sabemos que $P(x) = (x-1)(x+2)(x-5)$, las soluciones son directas gracias a la propiedad del producto nulo:

• $x - 1 = 0 \rightarrow x = 1$
• $x + 2 = 0 \rightarrow x = -2$
• $x - 5 = 0 \rightarrow x = 5$

Hoy en día, herramientas como GeoGebra o calculadoras científicas avanzadas (CAS) permiten:

• Visualizar polinomios como funciones y localizar sus raíces (puntos donde cortan el eje X).
• Verificar factorizaciones complejas.
• Comprobar divisiones de polinomios extensas.

Resumen de estudio: