Expresiones algebraicas y polinomios

El lenguaje algebraico utiliza letras (normalmente $x, y, a, b$) combinadas con números y signos de operación. Su objetivo es generalizar propiedades aritméticas.

• Variables: Son las letras que representan valores desconocidos.
• Constantes: Son los números fijos que no cambian de valor.

Para traducir del lenguaje natural al simbólico, debemos identificar las operaciones clave:

El álgebra es el arte de escribir frases matemáticas de forma abreviada y precisa.

El valor numérico es el resultado que obtenemos al sustituir las letras por números específicos y realizar las operaciones indicadas.

Pasos para calcularlo:

1. Sustituir cada variable por el valor asignado (usar paréntesis si el número es negativo).
2. Respetar la jerarquía de operaciones: primero potencias, luego multiplicaciones/divisiones y finalmente sumas/restas.

Ejemplo: Hallar el valor de $3x^2 - 5x + 2$ para $x = -2$. $3 \cdot (-2)^2 - 5 \cdot (-2) + 2$ $3 \cdot 4 + 10 + 2 = 12 + 10 + 2 = 24$

Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número y una o varias letras elevadas a exponentes naturales.

Consta de dos partes fundamentales:

• Coeficiente: El número que multiplica a las letras (incluye el signo).
• Parte literal: Las letras con sus exponentes.
• Grado: Es la suma de los exponentes de las letras que forman la parte literal.

Ejemplo: En el monomio $-5x^2y^3$:

• Coeficiente: $-5$
• Parte literal: $x^2y^3$
• Grado: $2 + 3 = 5$

Decimos que dos monomios son semejantes si tienen exactamente la misma parte literal (mismas letras con los mismos exponentes).

Para sumar o restar monomios, es obligatorio que sean semejantes. Si no lo son, la operación se deja indicada.

Regla: Se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. $7x^2 + 3x^2 = (7+3)x^2 = 10x^2$ $5ab - 8ab = -3ab$

Si tenemos varios términos, agrupamos los que son semejantes entre sí. A esto se le llama reducción de términos semejantes.

A diferencia de la suma, para multiplicar o dividir no es necesario que los monomios sean semejantes.

• Producto: Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las letras iguales (aplicando las propiedades de las potencias). $(3x^2) \cdot (4x^3) = 12x^{2+3} = 12x^5$
• Cociente: Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las letras iguales. $\frac{15x^6}{3x^2} = 5x^{6-2} = 5x^4$

Para elevar un monomio a una potencia, elevamos el coeficiente a dicha potencia y multiplicamos cada exponente de la parte literal por el exponente exterior (potencia de una potencia).

$(-2x^3y)^3 = (-2)^3 \cdot (x^3)^3 \cdot y^3 = -8x^9y^3$ Recuerda que si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo.

Un polinomio es la suma o resta de varios monomios no semejantes. Cada monomio se llama término.

• Término independiente: Es el término que no tiene parte literal (solo número).
• Grado del polinomio: Es el grado del término de mayor grado.
• Polinomio completo: Aquel que tiene todos los términos desde el grado máximo hasta el grado cero.

Ejemplo: $P(x) = 4x^3 - 2x + 7$

• Es un trinomio (3 términos).
• Su grado es 3.
• Es incompleto porque falta el término en $x^2$.

Para sumar polinomios, agrupamos los términos del mismo grado. Podemos hacerlo en línea o colocando uno debajo del otro en columnas.

Resta: Para restar un polinomio, sumamos al primero el opuesto del segundo (cambiamos todos los signos de los términos del polinomio que resta).

$(5x^2 - 3x + 2) - (2x^2 + x - 5) = 5x^2 - 3x + 2 - 2x^2 - x + 5 = 3x^2 - 4x + 7$

Se aplica la propiedad distributiva: el monomio multiplica a cada uno de los términos del polinomio.

$3x \cdot (2x^2 - 5x + 4) = (3x \cdot 2x^2) - (3x \cdot 5x) + (3x \cdot 4) = 6x^3 - 15x^2 + 12x$

Para multiplicar dos polinomios, multiplicamos cada término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo. Después, reducimos los términos semejantes obtenidos.

Ejemplo: $(2x + 3) \cdot (x - 5)$

1. $2x \cdot x = 2x^2$
2. $2x \cdot (-5) = -10x$
3. $3 \cdot x = 3x$
4. $3 \cdot (-5) = -15$ Resultado: $2x^2 - 10x + 3x - 15 = 2x^2 - 7x - 15$

Existen productos que aparecen con tanta frecuencia que usamos fórmulas directas para ahorrar tiempo.

1. Cuadrado de una suma: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ (Cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo más cuadrado del segundo).
2. Cuadrado de una diferencia: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Ejemplo: $(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

Esta identidad es fundamental para simplificar expresiones y se conoce como diferencia de cuadrados.

3. Suma por diferencia: $(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2$

El resultado de una suma por diferencia siempre es una resta de dos cuadrados.

Ejemplo: $(2x + 5) \cdot (2x - 5) = (2x)^2 - 5^2 = 4x^2 - 25$

Extraer factor común es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Consiste en identificar qué factores (números o letras) se repiten en todos los términos de un polinomio y "sacarlos" fuera de un paréntesis.

Para los coeficientes, buscamos el Máximo Común Divisor (MCD). Para las letras, buscamos las que se repiten en todos los términos con el menor exponente.

Pasos:

1. Identificar el factor común (número y/o letras).
2. Escribir el factor común seguido de un paréntesis.
3. Dividir cada término original entre el factor común para obtener lo que va dentro del paréntesis.

Ejemplo: $6x^4 - 9x^2$

• El MCD de 6 y 9 es 3.
• La letra repetida con menor exponente es $x^2$.
• Factor común: $3x^2$.
• Operación: $3x^2 \cdot (2x^2 - 3)$.

La extracción de factor común es vital para:

• Simplificar fracciones algebraicas: Al convertir sumas en productos, podemos tachar factores comunes en el numerador y denominador.
• Resolver ecuaciones: Por ejemplo, en $x^2 - 5x = 0$, extraemos $x(x - 5) = 0$, lo que nos indica que las soluciones son $x=0$ y $x=5$.
• Cálculo rápido: Facilita operaciones aritméticas complejas al agrupar términos.