Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. Recordar sus propiedades es vital:

• Producto de potencias: $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$
• Cociente de potencias: $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
• Potencia de una potencia: $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$
• Exponente cero y negativo: $a^0 = 1$ (si $a \neq 0$) y $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
• Exponente fraccionario: $a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}$

El dominio de los exponentes negativos y fraccionarios es la clave para transformar raíces en potencias y poder resolver ecuaciones con mayor facilidad.

El logaritmo es el exponente al que hay que elevar una base para obtener un número determinado. $\log_a(x) = y \iff a^y = x$

Existen restricciones fundamentales que nunca debemos olvidar:

1. La base ($a$) debe ser positiva y distinta de 1 ($a > 0, a \neq 1$).
2. El argumento ($x$) debe ser estrictamente positivo ($x > 0$). No existen logaritmos de números negativos ni de cero en el conjunto de los números reales.

Los logaritmos más usados son:

• Logaritmos decimales: Base 10, se escriben simplemente como $\log(x)$.
• Logaritmos neperianos: Base el número $e$ ($e \approx 2,718$), se escriben como $\ln(x)$.

Estas reglas permiten "desarmar" expresiones complejas para despejar la incógnita:

Si logramos que ambos lados de la igualdad tengan la misma base, podemos igualar los exponentes directamente. Ejemplo: $2^{x+1} = 8$

1. Descomponemos 8 en factores primos: $8 = 2^3$.
2. Escribimos la ecuación: $2^{x+1} = 2^3$.
3. Igualamos exponentes: $x + 1 = 3 \implies x = 2$.

Cuando aparecen sumas o restas de potencias, solemos estar ante una estructura cuadrática encubierta. Ejemplo: $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$

1. Notamos que $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$.
2. Hacemos el cambio de variable: $t = 2^x$.
3. Sustituimos: $t^2 - 3t + 2 = 0$.
4. Resolvemos la ecuación de segundo grado: $t_1 = 2, t_2 = 1$.
5. Deshacemos el cambio:
   • $2^x = 2 \implies x = 1$
   • $2^x = 1 \implies x = 0$

Si las bases no se pueden igualar fácilmente (por ejemplo, $3^x = 7$), aplicamos logaritmos en ambos miembros.

1. Aplicamos $\log$: $\log(3^x) = \log(7)$.
2. Bajamos el exponente: $x \cdot \log(3) = \log(7)$.
3. Despejamos: $x = \frac{\log(7)}{\log(3)} \approx 1,77$.

Se resuelven aplicando la definición directamente o igualando argumentos. Ejemplo: $\log_2(x + 3) = 4$ Aplicamos la definición: $2^4 = x + 3 \implies 16 = x + 3 \implies x = 13$.

Si tenemos varios logaritmos, debemos agruparlos en uno solo usando las propiedades (producto, cociente, potencia). Ejemplo: $\log(x) + \log(x-3) = 1$

1. Agrupamos la suma como producto: $\log(x \cdot (x-3)) = 1$.
2. Como la base es 10: $x^2 - 3x = 10^1$.
3. Resolvemos $x^2 - 3x - 10 = 0$, obteniendo $x = 5$ y $x = -2$.

Es obligatorio comprobar las soluciones en la ecuación original. Los logaritmos de números negativos o cero no existen. En el ejemplo anterior:

• Para $x = 5$: $\log(5)$ y $\log(2)$ son válidos.
• Para $x = -2$: $\log(-2)$ no existe. Solución no válida.

Suelen resolverse mediante cambio de variable para transformarlos en sistemas lineales tradicionales. Ejemplo:

Hacemos $u = 2^x$ y $v = 3^y$. El sistema queda:

Sumando ambas: $3u = 12 \implies u = 4$. Luego $v = 3$. Deshacemos: $2^x = 4 \implies x=2$; $3^y = 3 \implies y=1$.

La estrategia principal es aplicar las propiedades para eliminar los logaritmos y obtener un sistema algebraico normal. Consejo: Si tienes $\log(x) - \log(y) = 2$, transfórmalo en $\log(\frac{x}{y}) = 2$, lo que equivale a $\frac{x}{y} = 10^2$.

En sistemas mixtos, donde una ecuación es logarítmica y la otra es lineal (ej. $x + y = 10$), despejamos una incógnita en la lineal y sustituimos en la logarítmica. Siempre debemos verificar que los resultados finales no anulen los argumentos de los logaritmos originales.

Muchos fenómenos siguen la fórmula $N = N_0 \cdot e^{kt}$.

• Interés compuesto: Cómo crece el dinero en una cuenta bancaria.
• Poblaciones: El crecimiento de bacterias en un cultivo suele ser exponencial mientras haya recursos.
• Carbono 14: Utilizado en arqueología para datar fósiles mediante la desintegración radiactiva.

El ojo y el oído humano perciben estímulos de forma logarítmica, no lineal.

• Escala Richter: Un terremoto de magnitud 7 es 10 veces más intenso que uno de magnitud 6.
• El pH: Mide la acidez. Un cambio de una unidad en el pH significa que la concentración de iones de hidrógeno ha variado 10 veces.
• Decibelios (dB): Miden la intensidad del sonido.

Para resolver problemas reales:

1. Identificar variables: ¿Qué es $x$ (tiempo, cantidad)?
2. Plantear la ecuación: Traducir "el doble cada hora" como base 2.
3. Resolver: Aplicar logaritmos si la incógnita está en el tiempo (exponente).
4. Coherencia: Un tiempo negativo o una población negativa suelen indicar un error en el planteamiento o una solución matemática que no tiene sentido físico.