Funciones exponenciales y logarítmicas

Una función exponencial es aquella en la que la variable independiente $x$ aparece en el exponente. Su forma general es: $f(x) = a^x$ Donde $a$ es un número real positivo y distinto de uno ($a > 0$ y $a \neq 1$).

Las características principales que siempre debemos recordar son:

• Dominio: Todos los números reales, $Dom(f) = \mathbb{R}$. Podemos darle a $x$ cualquier valor.
• Recorrido: Solo números reales positivos, $Im(f) = (0, +\infty)$. La función nunca toca ni cruza el eje $X$.
• Puntos de corte: Siempre corta al eje $Y$ en el punto $(0, 1)$, ya que $a^0 = 1$. No corta al eje $X$.
• Monotonía:
  • Si $a > 1$, la función es estrictamente creciente.
  • Si $0 < a < 1$, la función es estrictamente decreciente.

Al dibujar una función exponencial, observamos una curva que cambia de inclinación rápidamente.

1. Asíntota horizontal: El eje $X$ (la recta $y = 0$) actúa como una asíntota horizontal. La curva se acerca mucho a ella pero nunca la alcanza.
2. Puntos clave: Para dibujar con precisión, siempre calculamos $(0, 1)$ y $(1, a)$.
3. Transformaciones: Si tenemos $f(x) = a^x + k$, la gráfica se desplaza verticalmente $k$ unidades. Si tenemos $f(x) = a^{x-h}$, se desplaza horizontalmente $h$ unidades.

En matemáticas y ciencias, la base más importante es el número irracional $e \approx 2,71828...$. La función $f(x) = e^x$ se denomina función exponencial natural. Es crucial en procesos de crecimiento continuo, como el interés compuesto de forma instantánea o el crecimiento de colonias de bacterias en condiciones ideales. Su comportamiento es idéntico a cualquier función con $a > 1$, pero sus propiedades analíticas facilitan cálculos avanzados en cursos superiores.

El logaritmo es, por definición, la operación inversa a la potenciación. Si tenemos una potencia $a^y = x$, el logaritmo nos permite despejar el exponente: $\log_a x = y \iff a^y = x$

• Logaritmos decimales: Cuando la base es 10, se escribe simplemente $\log x$.
• Logaritmos neperianos: Cuando la base es el número $e$, se escribe $\ln x$.
• Restricciones: No existe el logaritmo de un número negativo ni de cero. Además, la base $a$ debe ser positiva y distinta de 1.

Estas reglas son herramientas esenciales para simplificar expresiones y resolver ecuaciones:

La función logarítmica $f(x) = \log_a x$ es la inversa de la función exponencial. Esto significa que sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante ($y = x$).

• Dominio: $(0, +\infty)$. Solo acepta valores positivos.
• Asíntota vertical: El eje $Y$ (la recta $x = 0$).
• Puntos de corte: Siempre corta al eje $X$ en $(1, 0)$.
• Crecimiento: Si $a > 1$ es creciente; si $0 < a < 1$ es decreciente.

Si conseguimos que ambos lados de la igualdad tengan la misma base, podemos igualar directamente los exponentes.

• Ejemplo: $2^{x+1} = 8$.
• Como $8 = 2^3$, escribimos $2^{x+1} = 2^3$.
• Por tanto, $x+1 = 3 \implies x = 2$.

Se utiliza cuando aparecen sumas o restas de potencias. La estructura suele recordar a una ecuación de segundo grado.

• Ejemplo: $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$.
• Hacemos el cambio ==$t = 2^x$==. Como $4^x = (2^x)^2$, la ecuación queda: $t^2 - 3t + 2 = 0$.
• Resolvemos la ecuación de segundo grado obteniendo $t_1 = 2$ y $t_2 = 1$.
• Deshacemos el cambio:
  1. $2^x = 2 \implies x = 1$.
  2. $2^x = 1 \implies x = 0$.

Cuando las bases no se pueden igualar fácilmente (por ejemplo, $3^x = 7$), aplicamos logaritmos en ambos miembros:

1. $\log(3^x) = \log(7)$
2. $x \cdot \log(3) = \log(7)$
3. $x = \frac{\log 7}{\log 3} \approx 1,77$

Si tenemos un único logaritmo igualado a un número, aplicamos la definición directamente.

• Ejemplo: $\log_2 (x-3) = 4$.
• Aplicamos la base al resultado: $x-3 = 2^4$.
• $x-3 = 16 \implies x = 19$.

Si hay varios logaritmos, usamos las propiedades para agruparlos en uno solo a cada lado.

• Ejemplo: $\log x + \log 2 = \log 10$.
• Agrupamos: $\log(2x) = \log 10$.
• Eliminamos los logaritmos (inyectividad): $2x = 10 \implies x = 5$.

Es obligatorio comprobar las soluciones en la ecuación original. Como no existen logaritmos de números negativos, cualquier valor de $x$ que haga que el argumento sea $\leq 0$ debe ser descartado.

Se usa para calcular cuánto dinero tendremos en el banco tras varios años. La fórmula es: $C_f = C_i \cdot (1 + r)^t$ Donde $C_f$ es el capital final, $C_i$ el inicial, $r$ el rédito (en decimal) y $t$ el tiempo. Si queremos despejar el tiempo $t$, necesitaremos usar logaritmos.

Las poblaciones de seres vivos suelen crecer de forma exponencial si tienen recursos. La fórmula general es $N = N_0 \cdot e^{kt}$.

• Desintegración radiactiva: Los elementos químicos pierden masa con el tiempo. La vida media es el tiempo necesario para que la cantidad de sustancia se reduzca a la mitad.

A veces los valores en la naturaleza son tan grandes o tan pequeños que usamos logaritmos para manejarlos:

1. Escala Richter: Mide la magnitud $M$ de un terremoto. Un aumento de 1 grado en la escala significa que la energía liberada es unas 32 veces mayor.
2. El pH: Mide la acidez de una sustancia. $pH = -\log[H^+]$.
3. Sonido (Decibelios): La intensidad sonora se mide en una escala logarítmica porque el oído humano percibe el sonido de esa manera.