Inecuaciones y sistemas

Una desigualdad es una expresión que compara dos cantidades mediante los signos:

• $<$ (menor que)
• $>$ (mayor que)
• $\leq$ (menor o igual que)
• $\geq$ (mayor o igual que)

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas. A diferencia de las ecuaciones, donde solemos encontrar una solución única (como $x = 3$), en las inecuaciones la solución suele ser un conjunto infinito de números que forman un intervalo.

Para resolver inecuaciones, aplicamos reglas similares a las de las ecuaciones, pero con una excepción crítica:

1. Suma y resta: Si sumamos o restamos el mismo número en ambos miembros, la desigualdad se mantiene.
2. Multiplicación y división por positivos: Si multiplicamos o dividimos por un número $c > 0$, la desigualdad se mantiene.
3. El cambio de sentido: Si multiplicamos o dividimos ambos miembros por un número negativo, el sentido de la desigualdad debe invertirse.
   • Ejemplo: Si $-2x < 6$, al dividir por $-2$, obtenemos $x > -3$.

Las soluciones se expresan de tres formas: algebraica, gráfica y mediante intervalos.

Usa siempre paréntesis para el infinito ($\infty$ o $-\infty$), ya que nunca se alcanza.

Son de la forma $ax + b < 0$ (o cualquier otro signo de desigualdad). Se resuelven despejando la $x$.

Ejemplo: $3x - 5 \geq x + 7$

1. Agrupamos términos: $3x - x \geq 7 + 5 \Rightarrow 2x \geq 12$
2. Despejamos: $x \geq 6$
3. Solución: $[6, +\infty)$

Tienen la forma $ax^2 + bx + c > 0$. Para resolverlas, seguimos estos pasos:

1. Hallar las raíces: Resolvemos la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Dividir la recta real: Las raíces dividen la recta en intervalos.
3. Estudiar el signo: Elegimos un valor de cada intervalo y probamos en el polinomio.
4. Interpretación parabólica: Si $a > 0$, la parábola abre hacia arriba. Los valores positivos estarán en los extremos y los negativos entre las raíces.

Cuando el grado es mayor que 2, utilizamos la Regla de Ruffini para descomponer el polinomio en factores de primer grado.

• Ejemplo: $(x-1)(x+2)(x-3) < 0$.
• Marcamos los puntos críticos (1, -2, 3) en la recta.
• Creamos una tabla de signos para analizar cada factor y determinar dónde el producto total cumple la condición.

Son de la forma $\frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0$. ¡Cuidado! Nunca pases el denominador multiplicando al otro lado, porque no sabes si es positivo o negativo.

1. Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
2. El denominador nunca puede ser cero, por lo que sus raíces siempre irán con paréntesis (abiertas) en el intervalo.
3. Analizamos los signos en una tabla.

Tienen la forma $ax + by < c$. La solución no es un intervalo, sino un semiplano en el eje cartesiano.

1. Dibujamos la recta $ax + by = c$.
2. Si el signo es $<$ o $>$, la línea es discontinua. Si es $\leq$ o $\geq$, es continua.
3. Elegimos un "punto de prueba", normalmente el $(0,0)$, y vemos si cumple la desigualdad.

Si el punto $(0,0)$ cumple la desigualdad, sombreamos el lado de la recta donde está el origen. Si no, sombreamos el lado opuesto. El área sombreada representa el conjunto infinito de pares $(x, y)$ que son solución.

Es un conjunto de dos o más inecuaciones con la misma variable.

• Método: Resolvemos cada inecuación por separado.
• Solución: Es la intersección de las soluciones individuales (donde coinciden todos los colores en la recta real). Si no hay puntos comunes, el sistema no tiene solución.

Consisten en varias inecuaciones con $x$ e $y$. La solución es la región común a todos los semiplanos, llamada región factible.

1. Representamos cada recta.
2. Identificamos hacia dónde apunta cada desigualdad.
3. El recinto resultante puede ser abierto o cerrado (un polígono). Los vértices de este recinto son puntos clave que se hallan resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cortan.

Podemos encontrar sistemas donde una inecuación es lineal y la otra es cuadrática (una parábola o un círculo).

• Ejemplo: $\begin{cases} y > x^2 \\ y < x + 2 \end{cases}$
• La solución sería el área comprendida por encima de la parábola y por debajo de la recta.

La modelización consiste en pasar del lenguaje natural al lenguaje algebraico.

• "Como mínimo": $\geq$
• "No supera": $\leq$
• "Está entre A y B": $A < x < B$

En la vida real, los recursos son limitados. Las inecuaciones nos ayudan a definir los límites de lo que es posible. Por ejemplo, en logística, para calcular cuántos camiones se necesitan sin exceder un presupuesto, pero cumpliendo con una carga mínima.

Ejemplo de presupuesto: Un estudiante quiere comprar cuadernos ($2€$) y bolígrafos ($1€$). Tiene un presupuesto máximo de $10€$ y necesita al menos 3 cuadernos.

1. Definir variables: $x$ = cuadernos, $y$ = bolígrafos.
2. Restricciones:
   • $2x + y \leq 10$ (Dinero)
   • $x \geq 3$ (Cantidad mínima)
   • $y \geq 0$ (Lógica: no existen bolígrafos negativos)
3. Solución: La región del plano que cumple estas tres condiciones nos da todas las combinaciones posibles de compra.

Dominar las inecuaciones permite entender no solo dónde están los resultados exactos, sino también los márgenes de seguridad y las posibilidades dentro de un entorno con restricciones.