Fracciones equivalentes y comparación

Decimos que dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad o valor, aunque sus números (numerador y denominador) sean diferentes.

• Mismo valor numérico: Si dividimos el numerador entre el denominador, el resultado decimal es idéntico.
• Igualdad de proporciones: Representan la misma proporción de la unidad. Por ejemplo, comerse $\frac{1}{2}$ de una pizza es exactamente lo mismo que comerse $\frac{2}{4}$ de esa misma pizza.

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte de la unidad.

¿Cómo podemos saber rápidamente si dos fracciones son equivalentes sin tener que dibujarlas? Usamos la regla de los productos cruzados.

Para las fracciones $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$, multiplicamos el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda:

$a \cdot d = b \cdot c$

Ejemplo práctico: ¿Son equivalentes $\frac{2}{5}$ y $\frac{4}{10}$?

1. Multiplicamos en cruz: $2 \cdot 10 = 20$
2. Multiplicamos el otro par: $5 \cdot 4 = 20$
3. Como $20 = 20$, las fracciones son equivalentes.

La mejor forma de "ver" la equivalencia es mediante modelos visuales:

• Modelos rectangulares: Imagina dos chocolates iguales. Si divides uno en 2 trozos y coges 1, y el otro lo divides en 4 y coges 2, verás que has sombreado la misma área.
• Modelos circulares: En un círculo, $\frac{1}{4}$ representa un "quesito". Si dividimos cada cuarto a la mitad, tendremos octavos. Así, $\frac{1}{4}$ ocupa el mismo espacio que $\frac{2}{8}$.

La clave es que la unidad de referencia debe ser del mismo tamaño en ambas comparaciones.

La amplificación consiste en hacer los términos de la fracción más grandes. Para ello, multiplicamos el numerador y el denominador por el mismo número natural (distinto de cero).

$\frac{2}{3} \xrightarrow{\cdot 4} \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$

Podemos obtener infinitas fracciones equivalentes por amplificación, simplemente siguiendo la serie de los números naturales.

La simplificación es el proceso inverso: hacemos los términos más pequeños. Dividimos el numerador y el denominador por un divisor común.

Para simplificar bien, es muy útil recordar los criterios de divisibilidad:

• Entre 2: Si terminan en cifra par.
• Entre 3: Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
• Entre 5: Si terminan en 0 o 5.

Ejemplo: $\frac{12}{18} \xrightarrow{: 2} \frac{6}{9} \xrightarrow{: 3} \frac{2}{3}$

Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar más. Esto ocurre cuando el numerador y el denominador no tienen divisores comunes (son primos entre sí).

Para llegar directamente a la fracción irreducible en un solo paso, podemos dividir ambos términos por su Máximo Común Divisor (MCD).

La fracción irreducible es la forma más sencilla y clara de representar un valor fraccionario.

No es fácil comparar "manzanas con naranjas". Si las partes de la unidad son de distinto tamaño, no podemos saber a simple vista cuál es mayor. La homogeneización consiste en transformar las fracciones para que todas las partes midan lo mismo.

Es el método más eficaz, especialmente cuando trabajamos con más de dos fracciones.

1. Calculamos el mcm de los denominadores. Este será el nuevo denominador común.
2. Para cada fracción, dividimos el mcm entre el denominador antiguo y multiplicamos el resultado por el numerador antiguo.

Ejemplo: Reducir $\frac{3}{4}$ y $\frac{5}{6}$

• $mcm(4, 6) = 12$
• Nueva fracción 1: $(12 : 4) \cdot 3 = 9 \rightarrow \frac{9}{12}$
• Nueva fracción 2: $(12 : 6) \cdot 5 = 10 \rightarrow \frac{10}{12}$

Este método es más rápido para parejas de fracciones:

1. El nuevo denominador es el producto de los dos denominadores.
2. El numerador de la primera se multiplica por el denominador de la segunda.
3. El numerador de la segunda se multiplica por el denominador de la primera.

Para $\frac{2}{5}$ y $\frac{3}{7}$:

• Denominador: $5 \cdot 7 = 35$
• Fracciones: $\frac{2 \cdot 7}{35} = \frac{14}{35}$ y $\frac{3 \cdot 5}{35} = \frac{15}{35}$

Si los denominadores son iguales, las partes en las que se ha dividido la unidad son del mismo tamaño. Por lo tanto:

• Es mayor la que tiene el numerador más grande.

Ejemplo: $\frac{7}{10} > \frac{3}{10}$ porque tener 7 partes de algo es más que tener solo 3.

Este caso es contraintuitivo y requiere atención. Si los numeradores son iguales, estamos repartiendo la misma cantidad de cosas.

• Es mayor la que tiene el denominador más pequeño.

Lógica de reparto: Si repartes 2 tartas entre 3 personas ($\frac{2}{3}$), cada una recibe más trozo que si repartes esas mismas 2 tartas entre 8 personas ($\frac{2}{8}$).

Para comparar estas fracciones, debemos usar los pasos aprendidos anteriormente:

1. Reducir las fracciones a común denominador.
2. Comparar los nuevos numeradores.
3. Utilizar los signos matemáticos correspondientes: $>$ (mayor que), $<$ (menor que) o $=$ (igual).

Para comparar fracciones con distinto denominador, primero debemos igualarlos mediante el mcm.

Podemos clasificar las fracciones según su relación con el número 1 (la unidad completa):

En la recta numérica, las fracciones propias se sitúan entre el 0 y el 1, mientras que las impropias se sitúan a la derecha del 1. Esto nos da una estrategia de estimación rápida: cualquier fracción impropia siempre será mayor que cualquier fracción propia.