Decomposer un nombre entier

Notre façon de compter utilise le système décimal. Cela veut dire que l'on groupe les choses par paquets de 10. On utilise 10 chiffres pour écrire tous les nombres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Dans un nombre, chaque chiffre a une place, un rang. Cette place nous dit combien il y a d'unités, de dizaines, de centaines, etc. Voici un tableau pour bien comprendre :

Exemple : Dans le nombre $2~456$, le $2$ est dans les unités de mille.

La place d'un chiffre dans un nombre change sa valeur. Exemple :

• Dans $30$, le $3$ vaut 3 dizaines (c'est $3 \times 10 = 30$).
• Dans $300$, le $3$ vaut 3 centaines (c'est $3 \times 100 = 300$). Le même chiffre $3$ n'a pas la même valeur !

Décomposer un nombre, c'est l'écrire comme une somme. Pour $245$ :

• $2$ est le chiffre des centaines, il vaut $200$.
• $4$ est le chiffre des dizaines, il vaut $40$.
• $5$ est le chiffre des unités, il vaut $5$. Donc, $245 = 200 + 40 + 5$. C'est une somme des valeurs de chaque chiffre.

On ajoute les unités de mille. Exemple : Pour $1~234$ :

• $1$ est le chiffre des unités de mille, il vaut $1~000$.
• $2$ est le chiffre des centaines, il vaut $200$.
• $3$ est le chiffre des dizaines, il vaut $30$.
• $4$ est le chiffre des unités, il vaut $4$. Donc, $1~234 = 1~000 + 200 + 30 + 4$.

On continue avec les dizaines et centaines de mille. Exemple : Pour $123~456$ : $123~456 = 100~000 + 20~000 + 3~000 + 400 + 50 + 6$. C'est la même idée, on décompose chiffre par chiffre.

On peut aussi décomposer un nombre en utilisant des multiplications. Pour $245$ :

• $2$ centaines, c'est $2 \times 100$.
• $4$ dizaines, c'est $4 \times 10$.
• $5$ unités, c'est $5 \times 1$. Donc, $245 = (2 \times 100) + (4 \times 10) + (5 \times 1)$.

On ajoute les unités de mille. Exemple : Pour $1~234$ : $1~234 = (1 \times 1~000) + (2 \times 100) + (3 \times 10) + (4 \times 1)$.

Pour $123~456$ : $123~456 = (1 \times 100~000) + (2 \times 10~000) + (3 \times 1~000) + (4 \times 100) + (5 \times 10) + (6 \times 1)$. C'est une autre façon d'écrire la décomposition !

Pour lire les grands nombres, on les sépare en classes par groupes de trois chiffres.

• La première classe à droite est la classe des unités simples.
• La deuxième classe est la classe des milliers.

Exemple : Pour $123~456$ :

• On a $123$ dans la classe des milliers.
• On a $456$ dans la classe des unités simples. Donc, $123~456$ se lit "cent vingt-trois mille quatre cent cinquante-six". On peut dire que $123~456 = 123$ milliers et $456$ unités.

Toutes ces méthodes servent à mieux comprendre les nombres. On peut passer de l'une à l'autre. Exemple : $123~456 = (1 \times 100~000) + (2 \times 10~000) + (3 \times 1~000) + 456$. Ou bien : $123~456 = 123~000 + 456$.

C'est le contraire de décomposer. On a la somme et on cherche le nombre. Exemple : $200 + 40 + 5 = 245$.

On calcule d'abord les multiplications, puis on additionne. Exemple : $(2 \times 100) + (4 \times 10) + (5 \times 1) = 200 + 40 + 5 = 245$.

On met les chiffres des milliers, puis les chiffres des unités. Exemple : $123$ milliers et $456$ unités $\rightarrow 123~456$. On place $123$ dans la classe des milliers et $456$ dans la classe des unités simples.