Tracer la droite representative dune fonction affine

Une fonction affine est une fonction $f$ qui, à tout nombre réel $x$, associe un nombre réel $f(x)$ de la forme :

$f(x) = ax + b$

où $a$ et $b$ sont des nombres réels fixés.

• $a$ est appelé le coefficient directeur (ou pente) de la droite. Il indique la direction et l'inclinaison de la droite.
• $b$ est appelé l'ordonnée à l'origine. C'est la valeur de $f(x)$ lorsque $x=0$, c'est-à-dire le point où la droite coupe l'axe des ordonnées.

La représentation graphique d'une fonction affine est toujours une droite.

Il est important de savoir reconnaître une fonction affine.

• $f(x) = 2x + 3$ : Ici, $a=2$ et $b=3$.
• $g(x) = -x + 5$ : Ici, $a=-1$ et $b=5$.
• $h(x) = 0.5x$ : Ici, $a=0.5$ et $b=0$. C'est un cas particulier appelé fonction linéaire.
• $k(x) = -4$ : Ici, $a=0$ et $b=-4$. C'est un cas particulier appelé fonction constante.

Distinction avec fonctions linéaires : Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine où $b=0$. Sa forme est $f(x) = ax$. Sa droite passe toujours par l'origine du repère $(0;0)$.

Distinction avec fonctions non affines : Toute fonction dont l'expression n'est pas de la forme $ax+b$ n'est pas affine.

• $f(x) = x^2$ (fonction carrée) : non affine car il y a un $x^2$.
• $g(x) = \frac{1}{x}$ (fonction inverse) : non affine car $x$ est au dénominateur.
• $h(x) = \sqrt{x}$ (fonction racine carrée) : non affine car il y a une racine.

Ces calculs sont essentiels pour trouver des points à placer sur le graphique.

• Calcul d'une image : Pour calculer l'image d'un nombre $x_0$ par une fonction $f$, il suffit de remplacer $x$ par $x_0$ dans l'expression de $f(x)$.

  • Exemple : Soit $f(x) = 2x+3$. L'image de $x=1$ est $f(1) = 2(1)+3 = 5$. Le point correspondant est $(1;5)$.
  • L'image de $x=0$ est $f(0) = 2(0)+3 = 3$. Le point correspondant est $(0;3)$. C'est l'ordonnée à l'origine.

• Calcul d'un antécédent : Pour trouver l'antécédent d'un nombre $y_0$ par une fonction $f$, il faut résoudre l'équation $f(x) = y_0$.

  • Exemple : Soit $f(x) = 2x+3$. Cherchons l'antécédent de $y_0=7$. $2x+3 = 7$ $2x = 7-3$ $2x = 4$ $x = \frac{4}{2} = 2$.
  • L'antécédent de 7 est 2. Le point correspondant est $(2;7)$.

Chaque calcul d'image ou d'antécédent vous donne les coordonnées d'un point appartenant à la droite représentative de la fonction.

Un repère orthogonal est constitué de deux droites graduées perpendiculaires, appelées axes, qui se coupent en un point appelé l'origine $O$.

• L'axe horizontal est l'axe des abscisses (souvent noté $Ox$). Il est associé à la variable $x$.
• L'axe vertical est l'axe des ordonnées (souvent noté $Oy$). Il est associé à la variable $y$ ou $f(x)$.

Conditions pour un bon repère :

1. Les axes sont perpendiculaires.
2. Ils se coupent à l'origine $O(0;0)$.
3. Chaque axe est gradué de manière régulière. L'unité de graduation doit être clairement indiquée ou déduite (par exemple, 1 cm pour 1 unité).
4. Les unités peuvent être différentes sur les deux axes si nécessaire (par exemple, 1 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées), mais cela doit être précisé.

Un point dans un repère est défini par ses coordonnées $(x; y)$.

• $x$ est l'abscisse du point (déplacement horizontal par rapport à l'origine).
• $y$ est l'ordonnée du point (déplacement vertical par rapport à l'origine).

Méthode de placement :

1. Pour placer le point $A(x_A; y_A)$, partez de l'origine $O(0;0)$.
2. Déplacez-vous horizontalement sur l'axe des abscisses jusqu'à la valeur $x_A$.
3. À partir de cette position, déplacez-vous verticalement (vers le haut si $y_A > 0$, vers le bas si $y_A < 0$) jusqu'à la valeur $y_A$.
4. Marquez le point.

Exemple : Pour placer le point $P(2; -3)$ :

1. Partir de $(0;0)$.
2. Se déplacer de 2 unités vers la droite sur l'axe des abscisses.
3. Descendre de 3 unités.
4. Marquer le point.

Un point $(x; y)$ appartient à la courbe représentative d'une fonction $f$ si et seulement si son ordonnée $y$ est égale à l'image de son abscisse $x$ par la fonction $f$, c'est-à-dire si $y = f(x)$.

Pour tracer la droite d'une fonction affine, on peut créer un tableau de valeurs :

Chaque colonne $(x_i; y_i)$ représente les coordonnées d'un point appartenant à la droite.

Exemple pour $f(x) = 2x+3$:

Ces points sont $(-1;1)$, $(0;3)$, $(1;5)$ et $(2;7)$.

C'est la méthode la plus simple et la plus directe.

1. Choisir deux valeurs distinctes pour $x$, par exemple $x_1$ et $x_2$.
   • Il est souvent pratique de choisir $x=0$ car $f(0)=b$ donne l'ordonnée à l'origine.
   • Choisissez une deuxième valeur simple, par exemple $x=1$ ou $x=2$, pour obtenir un point facilement calculable.
2. Calculer les images $f(x_1)$ et $f(x_2)$ correspondantes. Cela vous donne deux points : $A(x_1; f(x_1))$ et $B(x_2; f(x_2))$.
3. Placer ces deux points dans le repère.
4. Tracer la droite qui passe par ces deux points à l'aide d'une règle. Prolongez la droite au-delà des points pour qu'elle couvre une partie significative du repère.

Exemple avec $f(x) = -2x + 4$:

1. Choisissons $x_1 = 0$ et $x_2 = 2$.
2. $f(0) = -2(0) + 4 = 4$. Point $A(0;4)$. $f(2) = -2(2) + 4 = -4 + 4 = 0$. Point $B(2;0)$.
3. Placer $A(0;4)$ et $B(2;0)$.
4. Tracer la droite passant par $A$ et $B$.

Cette méthode est très visuelle et rapide une fois maîtrisée.

1. Placer l'ordonnée à l'origine : Le point $(0; b)$ est le premier point à placer. Il se trouve sur l'axe des ordonnées.
2. Utiliser le coefficient directeur $a$ : Le coefficient directeur $a$ représente une pente. On peut l'écrire comme une fraction $a = \frac{\Delta y}{\Delta x}$, où $\Delta y$ est le déplacement vertical et $\Delta x$ le déplacement horizontal.
   • Si $a$ est un entier, par exemple $a=2$, on peut l'écrire $\frac{2}{1}$. Cela signifie que pour 1 unité de déplacement horizontal vers la droite ($\Delta x = +1$), on monte de 2 unités verticalement ($\Delta y = +2$).
   • Si $a$ est négatif, par exemple $a=-3$, on peut l'écrire $\frac{-3}{1}$. Cela signifie que pour 1 unité de déplacement horizontal vers la droite ($\Delta x = +1$), on descend de 3 unités verticalement ($\Delta y = -3$).
   • Si $a$ est une fraction, par exemple $a=\frac{2}{3}$, cela signifie que pour 3 unités de déplacement horizontal vers la droite ($\Delta x = +3$), on monte de 2 unités verticalement ($\Delta y = +2$).
3. À partir du point $(0; b)$, appliquez le déplacement donné par le coefficient directeur pour trouver un deuxième point.
4. Tracer la droite passant par ces deux points.

Exemple avec $f(x) = \frac{1}{2}x - 1$:

1. L'ordonnée à l'origine est $b=-1$. Placer le point $P_1(0;-1)$.
2. Le coefficient directeur est $a=\frac{1}{2}$. Cela signifie :
   • Je me déplace de 2 unités vers la droite (dénominateur).
   • Je monte de 1 unité (numérateur).
3. À partir de $P_1(0;-1)$ :
   • Je me déplace de 2 unités vers la droite (j'arrive à $x=2$).
   • Je monte de 1 unité (j'arrive à $y=0$).
   • Cela me donne le deuxième point $P_2(2;0)$.
4. Tracer la droite passant par $P_1(0;-1)$ et $P_2(2;0)$.

Pour un tracé précis et fiable :

• Utiliser un troisième point de contrôle : Calculez un troisième point avec la méthode des deux points. Si ce troisième point est aligné avec les deux premiers, votre tracé est probablement correct. S'il ne l'est pas, vérifiez vos calculs.
• Utiliser une règle et un crayon bien taillé : C'est la base pour un tracé net.
• Lisibilité du graphique : Assurez-vous que les axes sont nommés, les graduations claires et que la droite est bien visible.

La précision du tracé est cruciale pour l'interprétation graphique et la résolution de problèmes.

• Forme : $f(x) = ax$.
• Caractéristique graphique : La droite représentative passe toujours par l'origine du repère $(0;0)$.
• Méthode de tracé :
  1. Placez le point $(0;0)$.
  2. Calculez un deuxième point, par exemple $f(1)=a$, ce qui donne $(1;a)$.
  3. Tracez la droite passant par ces deux points.
• Exemple : $f(x) = 3x$. Points $(0;0)$ et $(1;3)$.

• Forme : $f(x) = b$.
• Caractéristique graphique : La droite représentative est une droite horizontale. Elle est parallèle à l'axe des abscisses.
• Méthode de tracé :
  1. Placez le point $(0; b)$ sur l'axe des ordonnées.
  2. Tracez une droite horizontale passant par ce point.
• Exemple : $f(x) = 2$. La droite passe par $(0;2)$ et est horizontale. Tous les points de cette droite ont pour ordonnée 2 (par exemple $(1;2)$, $(-3;2)$).

• Influence de $a$ (coefficient directeur) :
  • Si $a > 0$, la droite monte (elle est croissante). Plus $a$ est grand, plus la droite est "raide".
  • Si $a < 0$, la droite descend (elle est décroissante). Plus $a$ est petit (plus sa valeur absolue est grande), plus la droite est "raide".
  • Si $a = 0$, la droite est horizontale (fonction constante).
• Influence de $b$ (ordonnée à l'origine) :
  • La valeur de $b$ détermine le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.
  • Un changement de $b$ déplace la droite verticalement sans changer son inclinaison.

Comparaison de plusieurs droites :

• Deux droites avec le même coefficient directeur $a$ (mais $b$ différents) sont parallèles.
• Deux droites avec des coefficients directeurs différents sont sécantes (elles se coupent en un point).

1. Équation du type $f(x) = k$ (où $k$ est une constante) :

   • Tracez la droite représentative de $f(x)$.
   • Tracez la droite horizontale d'équation $y = k$.
   • La solution de l'équation est l'abscisse du point d'intersection de ces deux droites.
   • Exemple : Résoudre $2x+3 = 7$. Tracez $y=2x+3$ et $y=7$. Le point d'intersection est $(2;7)$, donc la solution est $x=2$.

2. Équation du type $f(x) = g(x)$ (intersection de deux droites) :

   • Tracez la droite représentative de $f(x)$.
   • Tracez la droite représentative de $g(x)$.
   • La solution de l'équation est l'abscisse du point d'intersection de ces deux droites.
   • Exemple : Résoudre $2x+3 = -x+6$. Tracez $y=2x+3$ et $y=-x+6$. Le point d'intersection est $(1;5)$, donc la solution est $x=1$.

La lecture graphique donne des solutions approximatives. Pour des solutions exactes, il faut résoudre par le calcul.

1. Inéquation du type $f(x) > k$ :

   • Tracez la droite $y=f(x)$ et la droite horizontale $y=k$.
   • Recherchez la partie de la droite $y=f(x)$ qui est au-dessus de la droite $y=k$.
   • L'ensemble des solutions est l'intervalle des abscisses correspondant à cette partie.
   • Exemple : Résoudre $2x+3 > 7$. La droite $y=2x+3$ est au-dessus de $y=7$ pour $x > 2$. L'ensemble solution est $]2; +\infty[$.

2. Inéquation du type $f(x) < g(x)$ :

   • Tracez la droite $y=f(x)$ et la droite $y=g(x)$.
   • Recherchez la partie où la droite $y=f(x)$ est en dessous de la droite $y=g(x)$.
   • L'ensemble des solutions est l'intervalle des abscisses correspondant à cette partie.
   • Exemple : Résoudre $2x+3 < -x+6$. La droite $y=2x+3$ est en dessous de $y=-x+6$ pour $x < 1$. L'ensemble solution est $]-\infty; 1[$.

Les fonctions affines sont partout dans la vie réelle pour modéliser des situations où une quantité varie de manière constante par rapport à une autre.

• Coût total en fonction de la quantité : Si un produit coûte 5€ par unité et qu'il y a des frais de livraison de 10€, le coût total $C(x)$ pour $x$ unités est $C(x) = 5x + 10$.
  • $a=5$ est le coût par unité (coût marginal).
  • $b=10$ est le coût fixe (frais de livraison).
• Distance en fonction du temps : Un véhicule roule à 80 km/h et a déjà parcouru 50 km. La distance totale $D(t)$ après $t$ heures est $D(t) = 80t + 50$.
  • $a=80$ est la vitesse (pente).
  • $b=50$ est la distance initiale.
• Consommation d'eau/électricité : Un abonnement coûte 15€ par mois plus 0.20€ par litre consommé. $C(x) = 0.20x + 15$.

Interprétation des paramètres $a$ et $b$ dans le contexte :

• Le coefficient directeur $a$ représente un taux de variation ou un coût par unité. C'est la quantité ajoutée (ou retirée) pour chaque unité de $x$ supplémentaire.
• L'ordonnée à l'origine $b$ représente une valeur initiale, un coût fixe, ou une quantité de départ, c'est-à-dire la valeur de la fonction lorsque $x=0$.

Comprendre ces interprétations vous permet de mieux visualiser le comportement des phénomènes modélisés par des fonctions affines.