Resoudre graphiquement une equation ou une inequation

Une fonction est un processus mathématique qui associe à chaque valeur d'entrée (appelée variable indépendante) une et une seule valeur de sortie (appelée variable dépendante). On la note souvent $f: x \mapsto f(x)$ ou $y = f(x)$.

• Variable indépendante : C'est la valeur que l'on choisit. On la représente souvent par $x$.
• Variable dépendante : C'est le résultat de la fonction pour une valeur de $x$ donnée. On la représente souvent par $y$ ou $f(x)$.
• Image : Pour une fonction $f$ et un nombre $x$, l'image de $x$ par $f$ est la valeur $f(x)$. Il n'y a qu'une seule image pour un $x$ donné.
• Antécédent : Pour une fonction $f$ et un nombre $y$, un antécédent de $y$ par $f$ est un nombre $x$ tel que $f(x) = y$. Un nombre $y$ peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Exemple : Si $f(x) = x^2$, alors l'image de 2 est $f(2) = 2^2 = 4$. Les antécédents de 9 sont $-3$ et $3$ car $f(-3) = (-3)^2 = 9$ et $f(3) = 3^2 = 9$.

La représentation graphique d'une fonction $f$ est l'ensemble de tous les points $(x, f(x))$ dans un plan.

• Le plan cartésien : C'est un plan muni de deux axes perpendiculaires : l'axe des abscisses (horizontal, souvent noté $x$) et l'axe des ordonnées (vertical, souvent noté $y$). L'intersection des deux axes est l'origine $(0,0)$.
• Tracé de courbes à partir de points : Pour tracer la courbe d'une fonction, on calcule les images de plusieurs valeurs de $x$, ce qui nous donne des couples $(x, f(x))$. On place ensuite ces points dans le plan cartésien et on les relie pour former la courbe.
• Interprétation des axes :
  • L'axe des abscisses représente les valeurs de la variable indépendante $x$.
  • L'axe des ordonnées représente les valeurs de la variable dépendante $y$ (ou $f(x)$).

La représentation graphique est un outil puissant pour visualiser les relations entre $x$ et $f(x)$.

• Déterminer $f(x)$ à partir de $x$ (lecture de l'image) :

  1. Placez-vous sur l'axe des abscisses à la valeur $x$ donnée.
  2. Montez ou descendez verticalement jusqu'à rencontrer la courbe de la fonction.
  3. Lisez la valeur sur l'axe des ordonnées correspondant au point d'intersection. Cette valeur est $f(x)$. Exemple : Pour trouver $f(1)$, on part de $x=1$ sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée correspondante.

• Déterminer $x$ tel que $f(x) = y$ (lecture de l'antécédent) :

  1. Placez-vous sur l'axe des ordonnées à la valeur $y$ donnée.
  2. Tracez une droite horizontale passant par ce $y$.
  3. Identifiez tous les points où cette droite coupe la courbe de la fonction.
  4. Lisez les valeurs sur l'axe des abscisses correspondant à ces points d'intersection. Ce sont les antécédents de $y$.
  • Cas où il y a plusieurs antécédents : Il est courant qu'une valeur $y$ ait plusieurs antécédents. Par exemple, pour $f(x) = x^2$, si $y=4$, les antécédents sont $x=-2$ et $x=2$. Graphiquement, la droite $y=4$ coupe la parabole en deux points.
  • Cas où il n'y a pas d'antécédent : Si la droite horizontale ne coupe pas la courbe, il n'y a pas d'antécédent. Par exemple, pour $f(x) = x^2$, la droite $y=-1$ ne coupe pas la courbe car $x^2$ ne peut jamais être négatif.

Résoudre l'équation $f(x) = k$ signifie trouver toutes les valeurs de $x$ (les antécédents) pour lesquelles la fonction $f$ prend la valeur $k$.

• Signification de 'k' : $k$ est une constante, un nombre réel donné.
• Lien avec l'ordonnée : Dans le plan cartésien, $f(x)$ représente l'ordonnée des points de la courbe. Donc, $f(x) = k$ signifie que l'ordonnée des points recherchés est égale à $k$.
• Intersection avec une droite horizontale : L'ensemble des points dont l'ordonnée est $k$ est une droite horizontale d'équation $y = k$. Résoudre $f(x) = k$ revient donc à trouver les abscisses des points d'intersection entre la courbe de $f$ et la droite horizontale $y = k$.

1. Tracer la droite $y = k$ : Sur le même graphique que la courbe de $f$, tracez la droite horizontale qui passe par l'ordonnée $k$.
2. Identifier les points d'intersection : Repérez tous les points où la droite $y=k$ coupe la courbe de la fonction $f$.
3. Lire les abscisses des points d'intersection : Pour chaque point d'intersection, déterminez sa coordonnée $x$ en projetant le point sur l'axe des abscisses. Ces valeurs de $x$ sont les solutions de l'équation $f(x) = k$.

Selon la fonction $f$ et la valeur de $k$, le nombre de solutions peut varier :

• Aucune solution : La droite $y=k$ ne coupe pas la courbe de $f$. L'ensemble des solutions est vide : $\emptyset$.
• Une solution unique : La droite $y=k$ coupe la courbe de $f$ en un seul point.
• Plusieurs solutions : La droite $y=k$ coupe la courbe de $f$ en plusieurs points.

• Fonctions linéaires et affines : Pour une fonction linéaire ($f(x) = ax$) ou affine ($f(x) = ax+b$), la courbe est une droite. La droite $y=k$ coupera généralement cette droite en un seul point (sauf si $a=0$ et $k \neq b$).
• Fonctions quadratiques : Pour une fonction quadratique ($f(x) = ax^2+bx+c$, une parabole), la droite $y=k$ peut couper la parabole en 0, 1 (si elle est tangente au sommet) ou 2 points.
• Valeurs approchées : La lecture graphique donne souvent des valeurs approchées des solutions, surtout si les points d'intersection ne tombent pas sur des graduations exactes. Pour des valeurs exactes, une résolution algébrique est nécessaire.

Résoudre l'équation $f(x) = g(x)$ signifie trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles les fonctions $f$ et $g$ ont la même image.

• Points d'intersection de deux courbes : Graphiquement, cela correspond aux points où les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ se rencontrent. À ces points, les deux fonctions ont la même ordonnée pour la même abscisse.
• Abscisses communes : Les solutions de l'équation sont les abscisses $x$ de ces points d'intersection.
• Ordonnées égales : Au niveau des points d'intersection, les $y$-coordonnées sont identiques pour les deux courbes.

1. Tracer les courbes de $f$ et $g$ : Dessinez les représentations graphiques des deux fonctions $f$ et $g$ sur le même repère.
2. Localiser les points d'intersection : Identifiez tous les points où la courbe de $f$ et la courbe de $g$ se croisent.
3. Déterminer les abscisses des points : Pour chaque point d'intersection, lisez la valeur de son abscisse sur l'axe des $x$. Ces abscisses sont les solutions de l'équation $f(x) = g(x)$.

• Absence d'intersection : Si les courbes ne se coupent jamais, l'équation n'a pas de solution.
• Tangence : Si les courbes se touchent en un seul point sans se croiser (elles sont tangentes), il y a une solution unique.
• Intersections multiples : Les courbes peuvent se croiser en plusieurs points, indiquant plusieurs solutions distinctes.

Résoudre une inéquation comme $f(x) > k$ signifie trouver toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles la valeur de la fonction $f(x)$ est strictement supérieure à $k$. De même, $f(x) < k$ signifie trouver les $x$ pour lesquels $f(x)$ est strictement inférieure à $k$.

• Signification de 'supérieur' ou 'inférieur' : Ces termes indiquent une relation de position verticale entre la courbe de la fonction et la droite horizontale $y=k$.
• Position de la courbe par rapport à la droite $y = k$ :
  • $f(x) > k$ : La courbe de $f$ est au-dessus de la droite $y=k$.
  • $f(x) < k$ : La courbe de $f$ est en-dessous de la droite $y=k$.
  • $f(x) \ge k$ : La courbe de $f$ est au-dessus ou touche la droite $y=k$.
  • $f(x) \le k$ : La courbe de $f$ est en-dessous ou touche la droite $y=k$.
• Intervalle de solutions : Les solutions d'une inéquation sont généralement des intervalles ou des unions d'intervalles de valeurs de $x$.

1. Tracer la droite $y = k$ : Dessinez la droite horizontale $y=k$ sur le même graphique que la courbe de $f$.
2. Identifier les parties de la courbe au-dessus/en-dessous :
   • Pour $f(x) > k$, identifiez les sections de la courbe de $f$ qui sont strictement au-dessus de la droite $y=k$.
   • Pour $f(x) < k$, identifiez les sections de la courbe de $f$ qui sont strictement en-dessous de la droite $y=k$.
3. Lire les intervalles d'abscisses correspondants : Pour chaque section identifiée, déterminez l'intervalle des valeurs de $x$ (sur l'axe des abscisses) qui correspondent à cette section. Ces intervalles constituent l'ensemble des solutions. Les points d'intersection avec la droite $y=k$ sont les bornes de ces intervalles.

• Utilisation des crochets pour les intervalles :
  • Les parenthèses ( ou ) indiquent que la borne est exclue de l'intervalle (pour les inégalités strictes $>$ ou $<$, ou si la fonction n'est pas définie à ce point).
  • Les crochets [ ou ] indiquent que la borne est incluse dans l'intervalle (pour les inégalités larges $\ge$ ou $\le$).
• Inclusion ou exclusion des bornes :
  • Pour $f(x) > k$ ou $f(x) < k$, les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)=k$ (les abscisses des points d'intersection) sont exclues des solutions.
  • Pour $f(x) \ge k$ ou $f(x) \le k$, ces valeurs sont incluses.
  • L'infini $(-\infty, +\infty)$ est toujours exclu (parenthèses).
• Union d'intervalles : Si la solution est composée de plusieurs intervalles discontinus, on les relie par le symbole d'union $\cup$. Exemple : Si la courbe est au-dessus de $y=k$ pour $x \in [-3, -1]$ et pour $x \in [2, 5]$, l'ensemble solution est $[-3, -1] \cup [2, 5]$.

Résoudre l'inéquation $f(x) > g(x)$ signifie trouver toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe de la fonction $f$ est strictement au-dessus de la courbe de la fonction $g$.

• Position relative des deux courbes : On compare la position verticale des deux courbes.
• Quand la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$ : C'est la condition $f(x) > g(x)$.
• Quand la courbe de $f$ est en-dessous de celle de $g$ : C'est la condition $f(x) < g(x)$.

1. Tracer les deux courbes $f$ et $g$ : Représentez graphiquement les deux fonctions sur le même repère.
2. Identifier les points d'intersection (bornes) : Les points où $f(x) = g(x)$ sont cruciaux. Ils définissent les bornes des intervalles où l'une des fonctions est supérieure à l'autre.
3. Déterminer les intervalles où $f$ est supérieure (ou inférieure) à $g$ :
   • Pour $f(x) > g(x)$, identifiez les portions de l'axe des abscisses pour lesquelles la courbe de $f$ est visiblement située au-dessus de celle de $g$.
   • Pour $f(x) < g(x)$, identifiez les portions de l'axe des abscisses pour lesquelles la courbe de $f$ est située en-dessous de celle de $g$.
   • Mettez en évidence ces portions sur l'axe des $x$.

• $f(x) \ge g(x)$ vs $f(x) > g(x)$ :
  • Pour une inégalité stricte ($>$ ou $<$ ), les abscisses des points d'intersection (où $f(x) = g(x)$) sont exclues des solutions. On utilise des parenthèses ( ou ).
  • Pour une inégalité large ($\ge$ ou $\le$), les abscisses des points d'intersection sont incluses dans les solutions. On utilise des crochets [ ou ].
• Impact sur l'inclusion des bornes : L'utilisation correcte des crochets est essentielle pour la validité de l'ensemble solution.

Exemple : Si les courbes se coupent en $x=-2$ et $x=3$, et que $f(x) > g(x)$ entre ces deux valeurs, alors :

• La solution de $f(x) > g(x)$ est $S = (-2, 3)$.
• La solution de $f(x) \ge g(x)$ est $S = [-2, 3]$.

La résolution graphique est un outil polyvalent pour :

• Problèmes d'optimisation : Trouver le maximum ou le minimum d'une fonction (par exemple, le profit maximal, le coût minimal) en observant le sommet ou le point le plus bas/haut de la courbe.
• Comparaison de coûts/revenus : Déterminer quand une option est plus rentable qu'une autre en comparant leurs courbes de coût ou de revenu. Par exemple, à partir de quel volume de production une entreprise devient-elle rentable ($Recettes(x) > Coûts(x)$).
• Modélisation de phénomènes : Analyser l'évolution de grandeurs physiques, biologiques ou économiques. Par exemple, quand une population dépasse un certain seuil, ou quand la concentration d'un produit chimique devient dangereuse.

• Limites de la méthode graphique : La résolution graphique est excellente pour une première approche, pour visualiser le problème et estimer les solutions. Cependant, elle est souvent limitée en précision. Les lectures sont sujettes à l'épaisseur du trait, à la qualité du tracé et à l'échelle du graphique.
• Importance de la clarté du tracé : Un graphique bien tracé, avec des graduations claires et une échelle appropriée, permet une meilleure estimation des solutions.
• Estimation et valeurs approchées : Les solutions obtenues graphiquement sont souvent des valeurs approchées. Lorsque des valeurs exactes sont requises, une résolution algébrique (par le calcul) est indispensable.

• Confondre abscisses et ordonnées : Toujours bien distinguer ce que l'on cherche :
  • Pour $f(x)=k$, on cherche les $x$ (abscisses) des points d'ordonnée $k$.
  • Quand on lit une image $f(a)$, on part de l'abscisse $a$ pour trouver l'ordonnée $f(a)$.
• Oublier des solutions : Pour les équations et inéquations, assurez-vous d'identifier tous les points d'intersection ou toutes les sections de la courbe qui satisfont la condition. Il est facile d'en manquer si le graphique n'est pas assez étendu ou détaillé.
• Mauvaise interprétation des inégalités :
  • Strictes vs. Larges : Bien faire la différence entre $>$ (ou $<$) qui exclut les bornes, et $\ge$ (ou $\le$) qui les inclut. Cela affecte les crochets des intervalles.
  • Au-dessus vs. En-dessous : Pour $f(x) > g(x)$, on cherche quand $f$ est au-dessus de $g$. Pour $f(x) < g(x)$, on cherche quand $f$ est en-dessous de $g$.
• Erreurs d'échelle : Ne pas respecter l'échelle des axes peut fausser complètement la représentation et donc les solutions.
• Tracé imprécis : Un tracé à main levée approximatif peut mener à des erreurs de lecture significatives. Utilisez toujours une règle et un crayon bien taillé.