Determiner le coefficient directeur d'une droite a partir des coordonnees de deux de ses points

Une fonction affine est une fonction $f$ que l'on peut écrire sous la forme : $f(x) = ax + b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels fixés.

Sa représentation graphique dans un repère orthonormé est toujours une droite.

• Le nombre $a$ est appelé le coefficient directeur (ou la pente) de la droite. Il nous informe sur l'inclinaison de la droite.
• Le nombre $b$ est appelé l'ordonnée à l'origine. C'est la valeur de $y$ lorsque $x=0$, c'est-à-dire le point où la droite coupe l'axe des ordonnées.

L'équation réduite d'une droite non verticale est très similaire à la forme d'une fonction affine : $y = mx + p$ Dans cette équation :

• $m$ est le coefficient directeur (ou pente) de la droite. Il indique de combien $y$ varie quand $x$ augmente de 1.
• $p$ est l'ordonnée à l'origine. C'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées (où $x=0$).

Autrement dit, pour une droite, $m$ est l'équivalent de $a$ pour une fonction affine, et $p$ est l'équivalent de $b$. ==Retiens bien cette forme $y=mx+p$, elle est essentielle !==

Il existe quelques cas de droites qui ont des équations particulières :

• Droites horizontales : Ce sont des droites parallèles à l'axe des abscisses. Leur équation est de la forme $y = \text{constante}$.
  • Exemple : $y = 4$.
  • Leur coefficient directeur est toujours nul ($m=0$). En effet, pour une droite horizontale, $y$ ne change pas quelle que soit la valeur de $x$.
• Droites verticales : Ce sont des droites parallèles à l'axe des ordonnées. Leur équation est de la forme $x = \text{constante}$.
  • Exemple : $x = -2$.
  • Une droite verticale n'admet pas de coefficient directeur. On dit que sa pente est indéfinie. Pourquoi ? Parce que pour ces droites, une variation de $y$ ne correspond à aucune variation de $x$ (ou plutôt, $x$ ne change pas). Elles ne peuvent pas être représentées par une fonction affine $y=mx+p$.
• Droites passant par l'origine : L'origine du repère est le point $(0,0)$. Si une droite passe par l'origine, cela signifie que lorsque $x=0$, $y=0$. En remplaçant dans $y = mx + p$, on obtient $0 = m(0) + p$, ce qui implique $p=0$.
  • Leur équation réduite est donc de la forme $y = mx$.
  • Ces fonctions sont appelées des fonctions linéaires.

Le coefficient directeur $m$ représente la pente de la droite. Il indique la raideur de la droite et sa direction.

• Imagine que tu marches sur la droite :
  • Si $m$ est positif, tu "montes" (la droite monte de gauche à droite).
  • Si $m$ est négatif, tu "descends" (la droite descend de gauche à droite).
  • Si $m$ est nul, tu es sur du plat (la droite est horizontale).

Plus précisément, le coefficient directeur est le taux de variation de $y$ par rapport à $x$. Cela signifie que pour chaque augmentation d'une unité de $x$, la valeur de $y$ augmente (ou diminue) de $m$ unités. $m = \frac{\text{variation de } y}{\text{variation de } x}$ C'est ce qu'on appelle aussi le "dénivelé" divisé par la "distance horizontale".

L'analyse du signe et de la valeur absolue de $m$ nous donne des informations cruciales sur la droite :

• Si $m > 0$ : La droite est croissante. Elle "monte" de gauche à droite. Plus $m$ est grand et positif, plus la droite est raide et monte rapidement.
  • Exemple : $y = 3x + 1$ (plus raide) vs $y = 0.5x + 1$ (moins raide).
• Si $m < 0$ : La droite est décroissante. Elle "descend" de gauche à droite. Plus $m$ est petit (plus sa valeur absolue est grande) et négatif, plus la droite est raide et descend rapidement.
  • Exemple : $y = -4x + 2$ (plus raide) vs $y = -x + 2$ (moins raide).
• Si $m = 0$ : La droite est horizontale. Elle est parallèle à l'axe des abscisses. C'est une fonction constante.
  • Exemple : $y = 5$.

La valeur absolue de $m$ ($|m|$) indique la raideur de la droite. Plus $|m|$ est grand, plus la droite est "verticale" (raide). Plus $|m|$ est petit (proche de 0), plus la droite est "horizontale" (douce).

Il existe un lien direct entre le coefficient directeur $m$ et l'angle $\alpha$ que forme la droite avec l'axe des abscisses (mesuré dans le sens trigonométrique). Ce lien est donné par la fonction tangente : $m = \tan(\alpha)$ où $\alpha$ est l'angle d'inclinaison de la droite avec l'axe des abscisses (l'axe des $x$).

• Si $m > 0$, alors $\alpha$ est un angle aigu ($0 < \alpha < 90^\circ$).
• Si $m < 0$, alors $\alpha$ est un angle obtus ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$).
• Si $m = 0$, alors $\alpha = 0^\circ$ (droite horizontale).

Attention : Cette relation est très utile, mais elle a ses limites. Pour les droites verticales, $m$ n'est pas défini, et $\tan(90^\circ)$ n'est pas défini non plus. C'est cohérent ! En Première, il est surtout important de comprendre que $m$ est la pente, et que $\tan(\alpha)$ est une façon de la quantifier via l'angle.

Soient deux points distincts $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ qui appartiennent à une droite non verticale. Le coefficient directeur $m$ de cette droite est donné par la formule : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ Cette formule est fondamentale ! Elle exprime le fait que le coefficient directeur est le rapport entre la variation des ordonnées (la "montée" ou "descente") et la variation des abscisses (le "déplacement horizontal"). On peut aussi l'écrire : $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ où $\Delta y$ (delta y) représente la différence des ordonnées et $\Delta x$ (delta x) représente la différence des abscisses.

Il est crucial que $x_B \neq x_A$ pour que cette formule soit applicable. Si $x_B = x_A$, cela signifie que les deux points ont la même abscisse, et donc la droite est verticale, et n'a pas de coefficient directeur.

Apprenons à utiliser cette formule avec des exemples concrets.

Exemple 1 : Points à coordonnées entières Soient les points $A(1, 2)$ et $B(3, 8)$.

1. Identifions les coordonnées : $x_A = 1$, $y_A = 2$, $x_B = 3$, $y_B = 8$.
2. Appliquons la formule : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$.
3. Le coefficient directeur est $m = 3$.

Vérification graphique (mentale ou sur papier quadrillé) :

• Le point $A$ est à $(1,2)$.
• Le point $B$ est à $(3,8)$.
• Pour aller de $A$ à $B$, on avance de $3-1=2$ unités en $x$ et on monte de $8-2=6$ unités en $y$.
• La pente est bien $\frac{6}{2} = 3$. La droite monte rapidement.

Exemple 2 : Points avec coordonnées négatives Soient les points $C(-2, 5)$ et $D(4, -1)$.

1. Identifions les coordonnées : $x_C = -2$, $y_C = 5$, $x_D = 4$, $y_D = -1$.
2. Appliquons la formule : $m = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{-1 - 5}{4 - (-2)} = \frac{-6}{4 + 2} = \frac{-6}{6} = -1$.
3. Le coefficient directeur est $m = -1$.

Vérification graphique : La droite est décroissante, ce qui est cohérent avec $m=-1$. Pour chaque unité de $x$ vers la droite, $y$ diminue d'une unité.

La formule $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ est très puissante, mais elle a des limites et nécessite des précautions.

• Points ayant la même abscisse ($x_A = x_B$) :

  • Si $x_A = x_B$, alors le dénominateur $x_B - x_A$ serait égal à 0. Or, la division par zéro est impossible.
  • Dans ce cas, les points $A$ et $B$ sont à la verticale l'un de l'autre. La droite qui les relie est une droite verticale.
  • Comme mentionné précédemment, une droite verticale n'a pas de coefficient directeur. Sa pente est indéfinie.
  • Exemple : $A(2, 1)$ et $B(2, 5)$. La droite est $x=2$. Pas de coefficient directeur.

• Points ayant la même ordonnée ($y_A = y_B$) :

  • Si $y_A = y_B$, alors le numérateur $y_B - y_A$ est égal à 0.
  • Dans ce cas, $m = \frac{0}{x_B - x_A} = 0$ (tant que $x_B \neq x_A$).
  • Les points $A$ et $B$ sont à la même hauteur. La droite qui les relie est une droite horizontale.
  • Son coefficient directeur est nul ($m=0$).
  • Exemple : $A(1, 3)$ et $B(5, 3)$. La droite est $y=3$. Son coefficient directeur est $m=0$.

• Erreurs courantes de calcul :

  • Inversion des coordonnées : S'assurer de toujours soustraire les ordonnées ensemble et les abscisses ensemble, et de garder le même ordre (par exemple, toujours $y_B - y_A$ et $x_B - x_A$, pas $y_B - y_A$ et $x_A - x_B$).
  • Erreurs de signe : Faire très attention aux signes, surtout avec les coordonnées négatives. Un $x_B - (-x_A)$ devient $x_B + x_A$.
  • Confusion entre $m$ et $p$ : Rappelle-toi que $m$ est la pente, $p$ est l'ordonnée à l'origine.

C'est une application très fréquente du coefficient directeur. Si tu as deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$, tu peux trouver l'équation complète de la droite $y = mx + p$.

Étapes :

1. Calculer le coefficient directeur $m$ : Utilise la formule $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
2. Calculer l'ordonnée à l'origine $p$ :
   • Tu sais que l'équation de la droite est $y = mx + p$.
   • Tu connais maintenant $m$.
   • Tu sais que la droite passe par les points $A$ et $B$. Tu peux donc utiliser les coordonnées de l'un de ces points (par exemple $A$) pour trouver $p$.
   • Remplace $x$ par $x_A$ et $y$ par $y_A$ dans l'équation : $y_A = m x_A + p$.
   • Résous pour $p$ : $p = y_A - m x_A$.
3. Écrire l'équation réduite : Une fois que tu as $m$ et $p$, tu peux écrire l'équation $y = mx + p$.

1. Calcul de $m$ : On l'a déjà fait : $m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$.
2. Calcul de $p$ : Utilisons le point $A(1, 2)$ et $m=3$. $y_A = m x_A + p$ $2 = 3(1) + p$ $2 = 3 + p$ $p = 2 - 3 = -1$.
3. Équation réduite : L'équation de la droite est $y = 3x - 1$. Tu peux vérifier avec le point $B(3,8)$ : $8 = 3(3) - 1 \implies 8 = 9 - 1 \implies 8 = 8$. Ça marche !

Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si la droite passant par $A$ et $B$ a le même coefficient directeur que la droite passant par $B$ et $C$ (ou $A$ et $C$).

Étapes :

1. Calculer le coefficient directeur de la droite $(AB)$ : $m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
2. Calculer le coefficient directeur de la droite $(BC)$ : $m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B}$.
3. Comparer les coefficients directeurs :
   • Si $m_{AB} = m_{BC}$, alors les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
   • Si $m_{AB} \neq m_{BC}$, alors les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

Précautions : Ce raisonnement ne fonctionne que si les droites ne sont pas verticales. Si l'une des droites est verticale (par exemple $x_A = x_B$), alors il faut vérifier si $x_A = x_B = x_C$. Si c'est le cas, les points sont alignés sur une droite verticale.

1. $m_{AB} = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$.
2. $m_{BC} = \frac{11 - 8}{4 - 3} = \frac{3}{1} = 3$.
3. Puisque $m_{AB} = m_{BC} = 3$, les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

Le coefficient directeur est partout ! Il représente un taux de variation et est utilisé pour modéliser de nombreuses situations réelles.

• Pente d'une rampe ou d'une route : Une pente de 10% signifie que pour 100 mètres parcourus horizontalement, on monte de 10 mètres verticalement. En termes de coefficient directeur, cela correspondrait à $m = \frac{10}{100} = 0.1$.
• Vitesse moyenne : Si tu traces un graphique de la distance parcourue en fonction du temps, la vitesse moyenne est le coefficient directeur de la droite reliant deux points de ce graphique.
  • Distance $d(t)$ en fonction du temps $t$.
  • Soient $(t_1, d_1)$ et $(t_2, d_2)$ deux points.
  • Vitesse moyenne = $\frac{d_2 - d_1}{t_2 - t_1}$. C'est la pente !
• Coût marginal en économie : Pour certains modèles, le coût marginal (coût de production d'une unité supplémentaire) peut être représenté par la pente d'une courbe de coût.
• Débit d'eau : Si tu mesures le volume d'eau dans un réservoir en fonction du temps, le débit (volume par unité de temps) est la pente du graphique.

1. On peut définir une fonction $d(t)$ qui donne la distance à la maison en fonction du temps $t$ (en heures).
2. Nous avons deux points :
   • Au départ ($t=0$), distance $d=10$ km. Point $A(0, 10)$.
   • Après 2 heures ($t=2$), distance $d=40$ km. Point $B(2, 40)$.
3. Calculons le coefficient directeur (sa vitesse) : $m = \frac{40 - 10}{2 - 0} = \frac{30}{2} = 15$. Le cycliste roule à 15 km/h.
4. L'ordonnée à l'origine $p$ est la distance au temps $t=0$, c'est-à-dire 10 km.
5. L'équation de la fonction est $d(t) = 15t + 10$.

C'est tout pour cette fiche de révision ! Tu as maintenant toutes les clés pour comprendre et calculer le coefficient directeur d'une droite. N'hésite pas à refaire les exemples et à t'entraîner avec d'autres exercices.