Agrandissement et réduction

Un agrandissement ou une réduction est une transformation géométrique qui modifie la taille d'une figure sans en changer la forme. Imagine que tu regardes une image sur ton téléphone et que tu la pinces avec tes doigts pour la rendre plus grande (agrandissement) ou plus petite (réduction). La photo reste la même, juste sa taille change.

• Agrandissement : La nouvelle figure est plus grande que l'originale.
• Réduction : La nouvelle figure est plus petite que l'originale.

Tu rencontres les agrandissements et réductions partout sans même t'en rendre compte !

• Cartes géographiques : Une carte est une réduction d'un territoire réel. Elle te permet de voir une grande zone sur une petite feuille.
• Photos numériques : Quand tu zoomes sur une photo, tu l'agrandis. Quand tu la réduis pour la mettre en miniature, tu fais une réduction.
• Maquettes et plans : Une maquette de voiture est une réduction de la vraie voiture. Un architecte utilise des plans qui sont des réductions de bâtiments futurs.

La différence principale réside dans la taille de la figure obtenue par rapport à la figure de départ :

• Agrandissement : La figure d'arrivée est visiblement plus grande que la figure de départ.
• Réduction : La figure d'arrivée est visiblement plus petite que la figure de départ.

Pour savoir si c'est un agrandissement ou une réduction, on utilise un nombre appelé le facteur d'échelle, que nous verrons juste après.

Le facteur d'échelle, souvent noté $k$, est le nombre par lequel toutes les longueurs d'une figure sont multipliées pour obtenir les longueurs de la figure transformée. C'est un nombre positif et il n'a pas d'unité.

$k = \frac{\text{Longueur de la figure transformée (image)}}{\text{Longueur de la figure originale}}$

Pour un agrandissement, le facteur d'échelle $k$ est toujours supérieur à 1 ($k > 1$). Cela signifie que les longueurs de la figure agrandie sont plus grandes que celles de la figure originale.

Un segment $AB$ mesure 3 cm. Après agrandissement, le segment $A'B'$ correspondant mesure 9 cm. $k = \frac{\text{Longueur } A'B'}{\text{Longueur } AB} = \frac{9 \text{ cm}}{3 \text{ cm}} = 3$. Ici, $k=3$, ce qui est bien supérieur à 1.

Pour une réduction, le facteur d'échelle $k$ est toujours compris entre 0 et 1 ($0 < k < 1$). Cela signifie que les longueurs de la figure réduite sont plus petites que celles de la figure originale.

Un carré de côté 10 cm est réduit. Le nouveau carré a un côté de 2 cm. $k = \frac{\text{Côté réduit}}{\text{Côté original}} = \frac{2 \text{ cm}}{10 \text{ cm}} = 0,2$. Ici, $k=0,2$, ce qui est bien compris entre 0 et 1.

Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k$ :

• Toutes les longueurs (côtés, rayons, diamètres, diagonales, périmètres) de la figure initiale sont multipliées par $k$ pour obtenir les longueurs correspondantes de la figure transformée.
• Périmètre de l'image = $k \times$ Périmètre de l'original.

Une propriété fondamentale des agrandissements et réductions est la conservation des angles.

• Les angles homologues (les angles correspondants dans les deux figures) restent égaux.
• Si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires dans la figure originale, elles le restent dans la figure transformée. C'est pourquoi la forme de la figure est conservée.

Contrairement aux longueurs, les aires ne sont pas multipliées par $k$, mais par $k^2$.

• L'aire de la figure transformée est égale à l'aire de la figure originale multipliée par $k^2$.

Explication intuitive : Imagine un carré de côté $c$. Son aire est $c^2$. Si tu l'agrandis avec un facteur $k$, le nouveau côté est $k \times c$. La nouvelle aire est $(k \times c)^2 = k^2 \times c^2$.

$\text{Aire de l'image} = k^2 \times \text{Aire de l'original}$

1. Carré : Un carré de côté 4 cm a une aire de $4^2 = 16 \text{ cm}^2$. Si on l'agrandit avec $k=3$, le nouveau côté est $4 \times 3 = 12 \text{ cm}$. La nouvelle aire est $12^2 = 144 \text{ cm}^2$. En utilisant la formule : $16 \times 3^2 = 16 \times 9 = 144 \text{ cm}^2$. C'est la même chose !

2. Disque : Un disque a une aire de $20 \text{ cm}^2$. Il subit une réduction de facteur $k=0,5$. L'aire du disque réduit sera $20 \times (0,5)^2 = 20 \times 0,25 = 5 \text{ cm}^2$.

Pour les solides, si tu as un agrandissement ou une réduction de rapport $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$.

• Le volume du solide transformé est égal au volume du solide original multiplié par $k^3$.

Explication intuitive : Imagine un cube d'arête $a$. Son volume est $a^3$. Si tu l'agrandis avec un facteur $k$, la nouvelle arête est $k \times a$. Le nouveau volume est $(k \times a)^3 = k^3 \times a^3$.

$\text{Volume de l'image} = k^3 \times \text{Volume de l'original}$

1. Cube : Un cube a un volume de $8 \text{ cm}^3$. Il est agrandi avec un facteur $k=2$. Le volume du cube agrandi sera $8 \times 2^3 = 8 \times 8 = 64 \text{ cm}^3$.

2. Pavé droit : Un pavé droit a un volume de $120 \text{ cm}^3$. Il subit une réduction de facteur $k=\frac{1}{3}$. Le volume du pavé droit réduit sera $120 \times (\frac{1}{3})^3 = 120 \times \frac{1}{27} = \frac{120}{27} = \frac{40}{9} \approx 4,44 \text{ cm}^3$.

• Maquettes et objets réels : Si une maquette d'un avion est à l'échelle $1/100$ ($k=0,01$), alors le volume de l'avion réel est $100^3 = 1~000~000$ fois plus grand que le volume de la maquette.
• Capacité : Si tu as un modèle réduit d'une bouteille ($k=0,5$), sa capacité sera $0,5^3 = 0,125$ fois (ou 1/8) la capacité de la vraie bouteille.

Pour agrandir ou réduire une figure, on utilise souvent le concept d'homothétie. Une homothétie est une transformation qui agrandit ou réduit une figure à partir d'un centre et d'un rapport $k$.

1. Choisis un point $O$ comme centre d'homothétie. Ce point peut être n'importe où, même sur la figure.
2. Pour chaque point $A$ de la figure originale :
   • Trace la droite $(OA)$.
   • Place le point $A'$ sur cette droite de telle sorte que la distance $OA'$ soit $k$ fois la distance $OA$.
   • Si $k > 0$, $A'$ est du même côté de $O$ que $A$.
   • Si $k < 0$, $A'$ est de l'autre côté de $O$ que $A$ (cas non étudié en 4ème).
3. Relie les points $A', B', C', ...$ pour former la figure transformée.

Cette méthode est simple et visuelle :

1. Place la figure originale sur un quadrillage.
2. Choisis un point comme origine (souvent un sommet de la figure ou le coin d'un quadrillage).
3. Pour chaque point important (sommet) de la figure, note ses coordonnées par rapport à l'origine.
4. Multiplie chaque coordonnée par le facteur $k$. Les nouvelles coordonnées te donnent la position des points de la figure transformée.
5. Trace la nouvelle figure en reliant les nouveaux points.

Des logiciels comme GeoGebra permettent de réaliser très facilement des agrandissements et réductions :

1. Dessine ta figure de départ.
2. Place un point qui servira de centre d'homothétie.
3. Utilise la fonction "Homothétie" (ou "Agrandissement/Réduction") en sélectionnant la figure, le centre et le facteur $k$. Ces outils sont précieux pour vérifier tes constructions manuelles et explorer les propriétés.

• Échelles de cartes : Une carte est à l'échelle $1/25000$. Cela signifie que 1 cm sur la carte représente 25000 cm (ou 250 m) dans la réalité. Le facteur de réduction est $k = 1/25000$. Si une route mesure 5 cm sur la carte, sa longueur réelle est $5 \times 25000 = 125000 \text{ cm} = 1,25 \text{ km}$.
• Périmètres : Un triangle a un périmètre de 15 cm. On l'agrandit avec un facteur $k=4$. Le périmètre du nouveau triangle sera $15 \times 4 = 60 \text{ cm}$.

• Surfaces à peindre : Une pièce a une surface au sol de $30 \text{ m}^2$. Sur un plan à l'échelle $1/50$, l'aire de cette pièce sur le plan sera $30 \times (1/50)^2 = 30 \times (1/2500) = 30/2500 = 0,012 \text{ m}^2 = 120 \text{ cm}^2$.
• Consommation de matériaux : Si tu dois peindre une surface deux fois plus grande (en longueur et largeur), la surface à peindre sera $k^2 = 2^2 = 4$ fois plus grande ! Tu auras besoin de 4 fois plus de peinture.

• Capacité de récipients : Une petite bouteille a un volume de $250 \text{ ml}$. Une bouteille similaire, mais dont les dimensions sont le double ($k=2$), aura un volume de $250 \times 2^3 = 250 \times 8 = 2000 \text{ ml} = 2 \text{ litres}$.
• Masse d'objets : Si deux objets sont des agrandissements/réductions l'un de l'autre et sont faits du même matériau (même densité), alors leur masse est proportionnelle à leur volume, donc la masse est multipliée par $k^3$.

Pour savoir si une figure est un agrandissement ou une réduction d'une autre :

1. Vérifie que les angles correspondants sont égaux. Si les angles ne sont pas conservés, ce n'est ni un agrandissement ni une réduction (mais une déformation).
2. Calcule les rapports des longueurs correspondantes. Si ces rapports sont tous égaux et constants, alors c'est un agrandissement/réduction, et ce rapport est le facteur $k$.
   • Si $k > 1$, c'est un agrandissement.
   • Si $0 < k < 1$, c'est une réduction.
   • Si $k=1$, les figures sont identiques (isométriques).