Périmètres, aires et volumes

Le périmètre d'une figure plane est la longueur totale de son contour. Imagine que tu fais le tour d'un champ : la distance que tu parcours est son périmètre. C'est une mesure de longueur.

Les unités de mesure du périmètre sont les mêmes que celles des longueurs :

• millimètre (mm)
• centimètre (cm)
• décimètre (dm)
• mètre (m)
• décamètre (dam)
• hectomètre (hm)
• kilomètre (km)

Le périmètre s'exprime toujours en unités de longueur.

Un carré est un polygone à quatre côtés de même longueur et quatre angles droits.

Pour calculer le périmètre d'un carré, tu dois additionner la longueur de ses quatre côtés. Puisque tous les côtés sont égaux, il existe une formule simple :

• Propriétés du carré : 4 côtés égaux, 4 angles droits.
• Formule : $P = \text{côté} + \text{côté} + \text{côté} + \text{côté}$ ou plus simplement $P = 4 \times \text{côté}$

Un carré a un côté de 5 cm. Son périmètre est $P = 4 \times 5 \text{ cm} = 20 \text{ cm}$.

Un rectangle est un polygone à quatre côtés, dont les côtés opposés ont la même longueur et quatre angles droits. Il a une longueur (L) et une largeur (l).

Pour calculer le périmètre d'un rectangle, tu additionnes la longueur de ses quatre côtés. Puisqu'il y a deux longueurs et deux largeurs, la formule est :

• Propriétés du rectangle : 2 longueurs égales, 2 largeurs égales, 4 angles droits.
• Formule : $P = \text{longueur} + \text{largeur} + \text{longueur} + \text{largeur}$ ou $P = 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur})$

Un rectangle a une longueur de 8 m et une largeur de 3 m. Son périmètre est $P = 2 \times (8 \text{ m} + 3 \text{ m}) = 2 \times 11 \text{ m} = 22 \text{ m}$.

Un polygone quelconque est une figure plane fermée formée de plusieurs segments de droite (ses côtés).

Pour trouver le périmètre d'un polygone quelconque, il suffit d'additionner la longueur de tous ses côtés.

• Méthode : Mesurer chaque côté et additionner toutes les longueurs.
• Formule : $P = \text{côté}_1 + \text{côté}_2 + \text{côté}_3 + \dots + \text{côté}_n$

Un terrain a la forme d'un pentagone (5 côtés) dont les longueurs sont 4 m, 6 m, 3 m, 7 m et 5 m. Son périmètre est $P = 4 + 6 + 3 + 7 + 5 = 25 \text{ m}$. Il faut bien s'assurer de ne pas oublier un côté !

L'aire d'une figure plane est la mesure de la surface qu'elle occupe. Imagine que tu veux peindre un mur : la quantité de peinture nécessaire dépend de l'aire du mur. C'est une mesure de surface.

Les unités de mesure de l'aire sont des unités de longueur "au carré" :

• millimètre carré (mm²)
• centimètre carré (cm²)
• décimètre carré (dm²)
• mètre carré (m²)
• are (a) : 1 a = 100 m²
• hectare (ha) : 1 ha = 10 000 m²
• kilomètre carré (km²)

L'aire s'exprime toujours en unités de surface (au carré).

Pour calculer l'aire d'un carré, on multiplie la longueur de son côté par elle-même.

• Concept : On peut imaginer le carré rempli de petits carrés unités (par exemple, des cm²).
• Formule : $A = \text{côté} \times \text{côté}$ ou $A = \text{côté}^2$

Un carré a un côté de 5 cm. Son aire est $A = 5 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} = 25 \text{ cm}^2$.

Pour calculer l'aire d'un rectangle, on multiplie sa longueur par sa largeur.

• Concept : De même, on peut remplir le rectangle de carrés unités. Le nombre de carrés sur la longueur multiplié par le nombre de carrés sur la largeur donne l'aire totale.
• Formule : $A = \text{longueur} \times \text{largeur}$

Un rectangle a une longueur de 8 m et une largeur de 3 m. Son aire est $A = 8 \text{ m} \times 3 \text{ m} = 24 \text{ m}^2$.

Il est très important de bien faire la différence entre le périmètre et l'aire :

Le périmètre et l'aire sont deux grandeurs différentes, avec des unités différentes. Une figure peut avoir le même périmètre mais des aires différentes, et inversement.

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. Les deux côtés qui forment l'angle droit sont appelés les cathètes. L'un peut être considéré comme la base et l'autre comme la hauteur.

On peut voir un triangle rectangle comme la moitié d'un rectangle. L'aire du rectangle serait $base \times hauteur$. Puisque le triangle est la moitié, son aire est :

• Formule : $A = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$

Un triangle rectangle a une base de 6 cm et une hauteur de 4 cm. Son aire est $A = \frac{6 \text{ cm} \times 4 \text{ cm}}{2} = \frac{24 \text{ cm}^2}{2} = 12 \text{ cm}^2$.

Pour un triangle quelconque, la formule reste la même : $A = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$. Cependant, la hauteur n'est pas forcément un côté du triangle. La hauteur est le segment perpendiculaire à la base qui part du sommet opposé.

• Méthode :
  1. Choisir un côté comme base.
  2. Tracer la hauteur relative à cette base (perpendiculaire à la base et passant par le sommet opposé).
  3. Mesurer la base et la hauteur.
  4. Appliquer la formule : $A = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$.

Un triangle a une base de 10 cm et la hauteur relative à cette base mesure 7 cm. Son aire est $A = \frac{10 \text{ cm} \times 7 \text{ cm}}{2} = \frac{70 \text{ cm}^2}{2} = 35 \text{ cm}^2$.

Un disque est la surface plane délimitée par un cercle. Le cercle est juste le contour (le périmètre).

L'aire du disque est calculée à l'aide d'un nombre spécial appelé pi ($\pi$), qui vaut environ 3,14. Le rayon (r) est la distance du centre du disque à son bord.

• Formule (pour information, sans démonstration) : $A = \pi \times \text{rayon} \times \text{rayon}$ ou $A = \pi \times r^2$

Un disque a un rayon de 3 cm. Son aire est $A = \pi \times 3^2 \text{ cm}^2 = \pi \times 9 \text{ cm}^2 \approx 3,14 \times 9 \text{ cm}^2 \approx 28,26 \text{ cm}^2$. En 6ème, on te demandera souvent de laisser la réponse avec $\pi$.

Le volume est la mesure de l'espace occupé par un objet en trois dimensions (un solide). Imagine que tu remplis une boîte : la quantité que tu peux mettre dedans est son volume.

Les unités de mesure du volume sont des unités de longueur "au cube" :

• millimètre cube (mm³)
• centimètre cube (cm³)
• décimètre cube (dm³)
• mètre cube (m³)
• litre (L) : 1 L = 1 dm³

Le volume s'exprime toujours en unités cubiques ou en litres.

Un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) est une boîte. C'est un solide composé de :

• Faces : 6 faces rectangulaires.
• Arêtes : 12 segments qui forment les bords des faces.
• Sommets : 8 points où se rencontrent les arêtes.

Il a une longueur, une largeur et une hauteur.

Pour calculer le volume d'un pavé droit, on multiplie ses trois dimensions : longueur, largeur et hauteur.

• Concept : On peut imaginer le pavé droit rempli de petits cubes unités (par exemple, des cm³). Le nombre de cubes par couche (longueur x largeur = aire de la base) multiplié par le nombre de couches (hauteur) donne le volume total.
• Formule : $V = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur}$

Un pavé droit a une longueur de 5 cm, une largeur de 2 cm et une hauteur de 3 cm. Son volume est $V = 5 \text{ cm} \times 2 \text{ cm} \times 3 \text{ cm} = 30 \text{ cm}^3$.

Le cube est un cas particulier de pavé droit où toutes les arêtes ont la même longueur. C'est un pavé droit dont toutes les faces sont des carrés.

Pour calculer le volume d'un cube, on multiplie la longueur de son côté par elle-même, trois fois.

• Formule : $V = \text{côté} \times \text{côté} \times \text{côté}$ ou $V = \text{côté}^3$

Un cube a un côté de 4 m. Son volume est $V = 4 \text{ m} \times 4 \text{ m} \times 4 \text{ m} = 64 \text{ m}^3$.

Pour convertir les unités de longueur, on utilise un tableau de conversion. Chaque colonne représente une unité. Pour passer d'une unité à l'autre, on multiplie ou divise par 10.

• Pour passer à une unité plus petite (vers la droite) : Multiplier par 10 pour chaque colonne.
• Pour passer à une unité plus grande (vers la gauche) : Diviser par 10 pour chaque colonne.

• $5 \text{ m} = 500 \text{ cm}$ (on décale la virgule de 2 rangs vers la droite)
• $120 \text{ mm} = 12 \text{ cm}$ (on décale la virgule de 1 rang vers la gauche)
• $3,5 \text{ km} = 3500 \text{ m}$

Pour les unités d'aire, c'est différent car elles sont "au carré". Chaque colonne du tableau de conversion est divisée en deux sous-colonnes (dizaines et unités). Pour passer d'une unité à l'autre, on multiplie ou divise par 100.

• Unités agraires :
  • 1 are (a) = 1 dam² = 100 m²
  • 1 hectare (ha) = 1 hm² = 10 000 m²

• $5 \text{ m}^2 = 500 \text{ dm}^2$ (on décale la virgule de 2 rangs vers la droite)
• $1200 \text{ cm}^2 = 0,12 \text{ m}^2$ (on décale la virgule de 4 rangs vers la gauche)
• $2,5 \text{ ha} = 25000 \text{ m}^2$

Pour les unités de volume, elles sont "au cube". Chaque colonne du tableau de conversion est divisée en trois sous-colonnes (centaines, dizaines, unités). Pour passer d'une unité à l'autre, on multiplie ou divise par 1000.

• Relation avec les litres :
  • $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3$
  • $1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3$

• $5 \text{ m}^3 = 5000 \text{ dm}^3$ (on décale la virgule de 3 rangs vers la droite)
• $12000 \text{ cm}^3 = 12 \text{ L}$ (car $12000 \text{ cm}^3 = 12 \text{ dm}^3$)
• $0,003 \text{ m}^3 = 3000 \text{ cm}^3$

Dans les problèmes, il est souvent nécessaire de convertir des unités pour que tous les calculs soient faits avec la même unité.

Conseils :

1. Identifier les unités données et l'unité demandée pour la réponse.
2. Convertir toutes les mesures dans la même unité avant de faire les calculs. Choisir l'unité la plus pratique ou celle de la réponse finale.
3. Vérifier que les unités de la réponse sont correctes (cm pour périmètre, cm² pour aire, cm³ pour volume).

Un terrain rectangulaire mesure 0,05 km de longueur et 30 m de largeur. Quelle est son aire en m² ?

• Conversion : 0,05 km = $0,05 \times 1000 \text{ m} = 50 \text{ m}$
• Calcul de l'aire : $A = 50 \text{ m} \times 30 \text{ m} = 1500 \text{ m}^2$.