Fonctions linéaires et affines

Une fonction est un outil mathématique qui associe à chaque nombre d'entrée (appelé antécédent) un unique nombre de sortie (appelé image). Imagine une machine qui prend un nombre, lui applique une règle (une formule) et te donne un nouveau nombre.

• Antécédent : C'est le nombre que l'on donne à la fonction. On le représente souvent par la lettre $x$.
• Image : C'est le nombre que la fonction produit. C'est le résultat. On le note $f(x)$ (prononcé "f de x").
• La notation $f(x)$ signifie "l'image de $x$ par la fonction $f$".

Par exemple, si une fonction $f$ double le nombre que tu lui donnes, alors l'image de 3 est 6, et l'antécédent de 10 est 5.

On peut représenter une fonction de différentes manières :

1. Tableau de valeurs : Il liste des antécédents et leurs images correspondantes.

   $x$ (Antécédent)	$f(x)$ (Image)
   1	2
   2	4
   3	6

2. Expression algébrique : C'est la formule mathématique qui définit la fonction. Pour l'exemple ci-dessus, ce serait $f(x) = 2x$.

3. Représentation graphique : C'est un dessin dans un repère (avec un axe des abscisses pour les antécédents $x$ et un axe des ordonnées pour les images $f(x)$). Chaque point du graphique a pour coordonnées $(x; f(x))$.

• Calculer l'image : Pour trouver l'image d'un nombre $x$ par une fonction $f$, on remplace $x$ par ce nombre dans l'expression algébrique de la fonction.

  • Exemple : Si $f(x) = 3x + 1$, l'image de 2 est $f(2) = 3 \times 2 + 1 = 7$.
  • Graphiquement : On part de $x$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit la valeur sur l'axe des ordonnées.

• Calculer l'antécédent : Pour trouver l'antécédent d'un nombre $y$ par une fonction $f$, on résout l'équation $f(x) = y$.

  • Exemple : Si $f(x) = 3x + 1$, pour trouver l'antécédent de 10, on résout $3x + 1 = 10 \implies 3x = 9 \implies x = 3$. L'antécédent de 10 est 3.
  • Graphiquement : On part de $y$ sur l'axe des ordonnées, on va horizontalement jusqu'à la courbe, puis on lit la valeur sur l'axe des abscisses.
  • Une image peut avoir plusieurs antécédents, mais un antécédent n'a toujours qu'UNE SEULE image.

Une fonction linéaire est une fonction qui décrit une situation de proportionnalité. Sa forme générale est $f(x) = ax$, où $a$ est un nombre fixé appelé le coefficient de proportionnalité ou la pente.

• $a$ est le coefficient directeur.
• Si $x$ est multiplié par un nombre, $f(x)$ est multiplié par le même nombre.
• L'image de 0 est toujours 0 : $f(0) = a \times 0 = 0$.

Exemple : $f(x) = 2x$. Si tu achètes $x$ stylos à 2€ l'unité, le prix total est $f(x)$.

La représentation graphique d'une fonction linéaire est toujours une droite qui passe par l'origine du repère (le point $(0;0)$).

• Pour la tracer, il suffit d'un seul autre point (puisqu'on sait déjà qu'elle passe par l'origine).
• Le coefficient $a$ indique la pente de la droite :
  • Si $a > 0$, la droite "monte" (la fonction est croissante).
  • Si $a < 0$, la droite "descend" (la fonction est décroissante).
  • Si $a = 0$, la droite est horizontale (confondue avec l'axe des abscisses).

Pour trouver la formule $f(x) = ax$ d'une fonction linéaire :

1. À partir d'un point non nul : Si on sait que la droite passe par un point $P(x_P; y_P)$ (avec $x_P \neq 0$), alors $y_P = a \times x_P$, donc $a = \frac{y_P}{x_P}$.
   • Exemple : Si la fonction linéaire passe par $(3; 6)$, alors $a = \frac{6}{3} = 2$. Donc $f(x) = 2x$.
2. À partir d'un tableau de valeurs : On choisit une paire $(x; f(x))$ du tableau et on calcule $a = \frac{f(x)}{x}$.
3. À partir de la pente : Si on te donne directement la valeur de $a$.

Les fonctions linéaires sont partout où il y a proportionnalité :

• Calcul de pourcentages : Une réduction de 10% sur un prix $P$ peut être modélisée par $R(P) = 0.9P$.
• Conversions d'unités : Convertir des mètres en centimètres ($C(m) = 100m$), ou des euros en dollars.
• Vitesse constante : Distance parcourue en fonction du temps ($D(t) = v \times t$).

Une fonction affine est une fonction dont la forme générale est $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres fixés.

• $a$ est le coefficient directeur ou la pente. Il indique la direction de la droite.
• $b$ est l'ordonnée à l'origine. C'est la valeur de $f(x)$ quand $x=0$, c'est-à-dire le point où la droite coupe l'axe des ordonnées. $f(0) = a \times 0 + b = b$.
• ==Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine où $b=0$.==

Exemple : $f(x) = 2x + 3$. Si un taxi coûte 3€ de prise en charge ($b$) plus 2€ par kilomètre parcouru ($a$).

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite. Elle ne passe pas nécessairement par l'origine.

• Pour la tracer, il faut au moins deux points.
  1. Le premier point est facile à trouver : c'est $(0; b)$ (l'ordonnée à l'origine).
  2. Pour le deuxième, on choisit une valeur simple pour $x$ (par exemple $x=1$) et on calcule $f(1) = a \times 1 + b = a+b$. Le deuxième point est $(1; a+b)$.
• L'interprétation de $a$ et $b$ :
  • $a$ : Si $x$ augmente de 1, $f(x)$ augmente de $a$.
  • $b$ : C'est la hauteur où la droite coupe l'axe vertical.

Pour trouver la formule $f(x) = ax + b$ d'une fonction affine :

1. À partir de deux points : Si la droite passe par $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ :
   • Calcule d'abord $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
   • Ensuite, utilise un des points pour trouver $b$. Par exemple, avec $A(x_A; y_A)$, on a $y_A = a x_A + b$, donc $b = y_A - a x_A$.
2. À partir de la pente et d'un point : Si on te donne $a$ et un point $(x_P; y_P)$, tu peux trouver $b$ en utilisant $y_P = a x_P + b$.
3. Lecture graphique de 'a' et 'b' :
   • Lis $b$ directement sur l'axe des ordonnées (où la droite coupe l'axe $y$).
   • Pour $a$, pars de l'ordonnée à l'origine, avance de 1 unité vers la droite et regarde de combien d'unités tu montes ou descends pour retrouver la droite.

• Fonctions linéaires : Quand $b=0$, la fonction est $f(x) = ax$. C'est une droite qui passe par l'origine.
• Fonctions constantes : Quand $a=0$, la fonction est $f(x) = b$. C'est une droite horizontale qui passe par le point $(0; b)$. L'image est toujours la même, quel que soit l'antécédent.
• Les autres fonctions affines ($a \neq 0$ et $b \neq 0$) sont des droites obliques.

==Les fonctions linéaires sont un cas particulier des fonctions affines (quand $b=0$).==

Résoudre graphiquement une équation comme $f(x) = g(x)$ (où $f$ et $g$ sont des fonctions affines) revient à trouver les coordonnées du point d'intersection de leurs représentations graphiques.

1. Trace la droite représentant $f(x)$.
2. Trace la droite représentant $g(x)$.
3. Le point où les deux droites se coupent est la solution. L'abscisse ($x$) de ce point est la solution de l'équation. L'ordonnée ($y$) est la valeur commune $f(x)=g(x)$.
   • Exemple : Si $f(x) = 2x+1$ et $g(x) = -x+4$. Le point d'intersection est $(1;3)$. Donc $x=1$ est la solution de $2x+1 = -x+4$.

Pour résoudre $f(x) = g(x)$ algébriquement :

1. Remplace $f(x)$ et $g(x)$ par leurs expressions. Tu obtiens une équation du premier degré (du type $Ax + B = 0$).
2. Isole $x$ en suivant les règles de résolution d'équations (ajouter/soustraire la même valeur aux deux côtés, multiplier/diviser par la même valeur non nulle).
3. N'oublie pas de vérifier ta solution en la remplaçant dans l'équation de départ.

Exemple : Résoudre $2x + 1 = -x + 4$ $2x + x = 4 - 1$ $3x = 3$ $x = \frac{3}{3}$ $x = 1$

Pour modéliser un problème avec une fonction linéaire ou affine :

1. Identifier les variables : Qu'est-ce qui varie ? Qu'est-ce que tu cherches à calculer ? Souvent, $x$ est la quantité qui change et $f(x)$ est le résultat que tu veux obtenir.
2. Traduire les énoncés : Cherche les mots clés qui indiquent une proportionnalité ("par", "chaque", "pour chaque") pour le coefficient $a$, et un coût fixe ou une valeur de départ pour $b$.
3. Choisir le type de fonction :
   • Si c'est purement proportionnel, c'est une fonction linéaire ($f(x)=ax$).
   • S'il y a un coût de départ ou une valeur fixe, c'est une fonction affine ($f(x)=ax+b$).

Une fois que tu as la fonction et que tu as résolu des équations :

• Sens des coefficients 'a' et 'b' : Explique ce que signifie $a$ (le taux de changement, le coût par unité) et $b$ (la valeur de départ, le coût fixe).
• Validité des solutions : Une solution mathématique est-elle logique dans le contexte du problème (ex: une longueur ne peut pas être négative) ?
• Réponse au problème posé : Formule ta réponse clairement, en utilisant les unités appropriées.

• Tarifs (téléphonie, location) : Un forfait téléphonique coûte 15€ par mois (b) + 0,10€ par minute de dépassement (a). Le coût total est $C(x) = 0,10x + 15$.
• Consommation (carburant, électricité) : Le prix de l'électricité est de 0,15€ par kWh (a) avec un abonnement de 10€ par mois (b). $P(x) = 0,15x + 10$.
• Croissance/décroissance linéaire : La taille d'une plante augmente de 2 cm par semaine (a), et elle mesurait 10 cm au début (b). $T(s) = 2s + 10$.