La proportionnalité en géométrie

La proportionnalité décrit une relation entre deux grandeurs où l'une est obtenue en multipliant l'autre par un nombre constant. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.

• Définition de la proportionnalité: Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre non nul.
• Tableaux de proportionnalité: Un tableau est de proportionnalité si l'on passe de la première ligne à la deuxième (ou inversement) en multipliant (ou divisant) par le même nombre. Exemple :

  Nombre de stylos	Prix (€)
  2	3
  4	6
  6	9
  Ici, le coefficient de proportionnalité est $3 \div 2 = 1,5$.

• Coefficient de proportionnalité: C'est le nombre par lequel on multiplie une grandeur pour obtenir l'autre.

Deux figures sont dites semblables si l'une est un agrandissement ou une réduction de l'autre.

• Définition de figures semblables: Des figures sont semblables si elles ont la même forme, mais pas nécessairement la même taille. Leurs angles sont égaux et leurs longueurs sont proportionnelles.
• Rapport d'agrandissement/réduction: C'est le coefficient de proportionnalité entre les longueurs des côtés correspondants des deux figures. On le note souvent $k$.
  • Si $k > 1$, c'est un agrandissement.
  • Si $0 < k < 1$, c'est une réduction.
• Propriétés des angles et des longueurs:
  • Les angles correspondants de figures semblables sont égaux.
  • Les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles (multipliées par le rapport $k$).

Les configurations de Thalès sont des arrangements géométriques particuliers de points et de droites qui permettent d'appliquer le théorème de Thalès.

• Triangles emboîtés: C'est la configuration la plus courante. Deux triangles partagent un sommet commun et leurs bases sont parallèles. Exemple : Triangle ABC et un plus petit triangle ADE, avec (DE) // (BC).
• Triangles en papillon (ou configuration croisée): Deux triangles sont formés par deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles. Exemple : Deux droites (AE) et (BD) se coupent en C, avec (AB) // (DE).
• Droites parallèles: La présence de droites parallèles est une condition cruciale pour l'application du théorème de Thalès.

Considérons deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles.

• Conditions d'application:
  1. Les points A, M, B et A, N, C sont alignés.
  2. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
• Formulation des rapports de longueurs: Si ces conditions sont remplies, alors les rapports de longueurs sont égaux : $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$
• Cas des triangles emboîtés: Dans la configuration où le triangle AMN est "emboîté" dans le triangle ABC (A est le sommet commun, M sur AB, N sur AC), c'est la forme la plus directe du théorème. Retenez bien l'ordre des points pour former les rapports !

1. Identification des segments proportionnels: Repérez les deux triangles et les droites parallèles. Identifiez les côtés correspondants.
2. Mise en place des égalités de rapports: Écrivez les trois rapports égaux.
3. Calcul de longueurs inconnues: Utilisez le produit en croix pour trouver la longueur manquante.

Exemple : Soit un triangle ABC avec M sur [AB] et N sur [AC] tels que (MN) // (BC). Si AM = 3 cm, AB = 9 cm et BC = 12 cm, calculons MN. $\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}$ $\frac{3}{9} = \frac{MN}{12}$ $9 \times MN = 3 \times 12$ $MN = \frac{36}{9} = 4$ cm.

Le théorème de Thalès s'applique aussi à la configuration "en papillon".

• Identification de la configuration: Deux droites (AC) et (BD) se coupent en O. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
• Application du théorème dans ce cas: Les rapports sont : $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}$ Attention à l'ordre des points qui changent par rapport à la configuration emboîtée !
• Calcul de longueurs: Similaire au cas précédent, on utilise le produit en croix.

• Conditions d'application:
  1. Les points A, M, B sont alignés dans le même ordre que A, N, C.
  2. Les rapports $\frac{AM}{AB}$ et $\frac{AN}{AC}$ sont égaux.
• Conclusion sur le parallélisme des droites: Si ces deux conditions sont remplies, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
• Différence avec le théorème direct: Le théorème direct déduit l'égalité des rapports du parallélisme. La réciproque déduit le parallélisme de l'égalité des rapports.

1. Calcul des rapports de longueurs: Calculez séparément les deux rapports de longueurs (par exemple $\frac{AM}{AB}$ et $\frac{AN}{AC}$).
2. Comparaison des rapports: Vérifiez si les rapports sont égaux.
3. Rédaction de la preuve:
   • Précisez l'alignement des points et leur ordre.
   • Indiquez les valeurs des rapports calculés.
   • Concluez en utilisant la réciproque du théorème de Thalès pour affirmer le parallélisme.

Exemple : Soit un triangle RST. U sur [RS] et V sur [RT]. RS = 10, RU = 4, RT = 15, RV = 6. Les droites (UV) et (ST) sont-elles parallèles ? $\frac{RU}{RS} = \frac{4}{10} = 0,4$ $\frac{RV}{RT} = \frac{6}{15} = 0,4$ Les points R, U, S sont alignés dans le même ordre que R, V, T. Puisque $\frac{RU}{RS} = \frac{RV}{RT}$, alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (UV) et (ST) sont parallèles.

• Quand utiliser le théorème: Pour calculer une longueur quand on sait déjà que les droites sont parallèles.
• Quand utiliser la réciproque: Pour prouver que des droites sont parallèles quand on connaît des longueurs.
• Erreurs courantes: Ne pas vérifier l'alignement des points dans le même ordre pour la réciproque, ou oublier la condition de parallélisme pour le théorème direct.

• Facteur d'échelle (rapport k): C'est le nombre $k$ par lequel toutes les longueurs d'une figure sont multipliées pour obtenir la figure agrandie ou réduite.
  • Si $k > 1$, c'est un agrandissement.
  • Si $0 < k < 1$, c'est une réduction.
• Conservation des angles: Les angles d'une figure ne changent pas lors d'un agrandissement ou d'une réduction.
• Proportionnalité des longueurs: Toutes les longueurs sont multipliées par le même facteur $k$.

L'impact du facteur d'échelle $k$ n'est pas le même sur toutes les grandeurs :

• Longueurs: Si une figure est agrandie ou réduite avec un rapport $k$, toutes ses longueurs sont multipliées par $k$. Exemple : Un segment de longueur $L$ devient $L' = k \times L$.
• Aires: L'aire d'une figure agrandie ou réduite est multipliée par $k^2$. Exemple : Une aire $A$ devient $A' = k^2 \times A$. ==Si $k=2$, l'aire est multipliée par $2^2=4$.==
• Volumes: Le volume d'une figure agrandie ou réduite est multiplié par $k^3$. Exemple : Un volume $V$ devient $V' = k^3 \times V$. ==Si $k=2$, le volume est multiplié par $2^3=8$.==

• Cartes et plans à l'échelle: L'échelle d'une carte est un rapport de réduction. Par exemple, une échelle de 1:100 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 100 000 cm (soit 1 km) dans la réalité.
• Maquettes et modèles réduits: Les maquettes sont des réductions d'objets réels, où toutes les dimensions sont proportionnelles.
• Problèmes de géométrie dans l'espace: Comprendre l'effet de $k$, $k^2$, $k^3$ est essentiel pour les calculs de surface ou de volume d'objets 3D agrandis/réduits.

Pour résoudre efficacement un problème :

1. Identification de la configuration géométrique: Est-ce une configuration de Thalès (emboîtée ou papillon) ? S'agit-il d'un agrandissement/réduction ?
2. Choix de l'outil approprié:
   • Pour calculer des longueurs avec des droites parallèles : Théorème de Thalès.
   • Pour prouver le parallélisme : Réciproque du Théorème de Thalès.
   • Pour des longueurs, aires, volumes de figures changées de taille : Rapports $k$, $k^2$, $k^3$.
3. Rédaction structurée de la solution:
   • Énoncez clairement les conditions d'application du théorème ou de la propriété.
   • Présentez les calculs de manière organisée.
   • Concluez en répondant à la question posée.

Ces exercices combinent souvent plusieurs concepts.

• Mélange de différentes notions: Un problème peut demander de calculer une longueur avec Thalès, puis d'utiliser cette longueur pour calculer l'aire d'une figure agrandie.
• Analyse de figures complexes: Décomposez la figure en parties plus simples. Identifiez les triangles ou les configurations pertinentes.
• Vérification des résultats: Assurez-vous que vos résultats sont logiques par rapport au contexte du problème (une longueur ne peut pas être négative, par exemple).

• Récapitulatif des concepts clés:
  • Proportionnalité: relation fondamentale.
  • Théorème de Thalès: calcul de longueurs avec droites parallèles.
  • Réciproque de Thalès: preuve du parallélisme.
  • Agrandissements/Réductions: impact sur longueurs ($k$), aires ($k^2$), volumes ($k^3$).
• Méthodes de résolution: Apprenez à identifier la situation et l'outil mathématique adapté.
• Préparation à l'évaluation: Refaites les exercices, comprenez les erreurs, et maîtrisez la rédaction des preuves et des calculs.