Nombres et calculs : ensembles de nombres

Les nombres entiers naturels sont les nombres que tu utilises pour compter des objets.

Définition de N : L'ensemble des nombres entiers naturels, noté $\mathbb{N}$, est l'ensemble des nombres entiers positifs (ou nuls). Ce sont les nombres que l'on utilise naturellement pour compter. $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, ...\}$

• Le nombre de doigts sur une main : 5
• Le nombre de jours dans une semaine : 7
• Le nombre de zéros dans le nombre 100 : 2 (le 0 est un entier naturel !)

Opérations de base dans N : Les opérations d'addition et de multiplication sont toujours possibles dans $\mathbb{N}$, et le résultat reste un nombre naturel.

• Exemple d'addition : $3 + 5 = 8$ (8 est un entier naturel)
• Exemple de multiplication : $4 \times 6 = 24$ (24 est un entier naturel)

La soustraction et la division ne sont pas toujours possibles dans $\mathbb{N}$ :

• Exemple de soustraction non possible dans $\mathbb{N}$ : $3 - 5 = -2$ ($-2$ n'est pas un entier naturel)
• Exemple de division non possible dans $\mathbb{N}$ : $7 \div 2 = 3,5$ ($3,5$ n'est pas un entier naturel)

Pour résoudre les problèmes de soustraction qui ne sont pas possibles dans $\mathbb{N}$, on a introduit de nouveaux nombres.

Définition de Z : L'ensemble des nombres entiers relatifs, noté $\mathbb{Z}$, est l'ensemble des nombres entiers, qu'ils soient positifs, négatifs ou nuls. Il inclut tous les nombres de $\mathbb{N}$ et leurs opposés négatifs. $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$

Nombres positifs et négatifs :

• Les nombres positifs sont ceux avec un signe '+' (souvent implicite) ou sans signe, comme $5$, $12$, $0$.
• Les nombres négatifs sont ceux avec un signe '-', comme $-3$, $-10$, $-1$.

L'ensemble $\mathbb{N}$ est inclus dans $\mathbb{Z}$. On écrit $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.

Représentation sur une droite graduée : Les nombres entiers relatifs peuvent être représentés sur une droite graduée, avec 0 au centre, les nombres positifs à droite et les nombres négatifs à gauche.

<--- -3 --- -2 --- -1 --- 0 --- 1 --- 2 --- 3 --->

Opérations dans Z : Les opérations d'addition, de soustraction et de multiplication sont toujours possibles dans $\mathbb{Z}$, et le résultat est toujours un entier relatif.

• $3 + (-5) = -2$
• $(-4) - 2 = -6$
• $(-3) \times (-5) = 15$

La division n'est toujours pas toujours possible dans $\mathbb{Z}$ : $10 \div 3$ n'est pas un entier relatif.

Pour effectuer des divisions qui ne 'tombent pas juste' avec les entiers, les nombres décimaux ont été créés.

Définition d'un nombre décimal : Un nombre est dit décimal s'il peut s'écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, où $a$ est un entier relatif ($a \in \mathbb{Z}$) et $n$ est un entier naturel ($n \in \mathbb{N}$). L'ensemble des nombres décimaux est noté $\mathbb{D}$.

Écriture décimale finie : Une caractéristique clé des nombres décimaux est que leur écriture décimale possède un nombre fini de chiffres après la virgule.

• Exemples : $3,5 = \frac{35}{10^1}$, $-0,25 = \frac{-25}{10^2}$, $12 = \frac{12}{10^0}$ (un entier est aussi un décimal !)

Relation entre N, Z et D :

• Tout entier naturel est un entier relatif : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.
• Tout entier relatif est un nombre décimal (car $a = \frac{a}{10^0}$) : $\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}$. Ainsi, on a la chaîne d'inclusions : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D}$.

Définition d'un nombre rationnel : Un nombre est dit rationnel s'il peut s'écrire sous la forme d'une fraction $\frac{a}{b}$, où $a$ est un entier relatif ($a \in \mathbb{Z}$) et $b$ est un entier relatif non nul ($b \in \mathbb{Z}^*$). L'ensemble des nombres rationnels est noté $\mathbb{Q}$.

Écriture fractionnaire (a/b) :

• Exemples : $\frac{1}{2} = 0,5$, $\frac{1}{3} = 0,333...$, $5 = \frac{5}{1}$, $-2,7 = \frac{-27}{10}$
• Tous les nombres décimaux sont des rationnels (puisqu'un décimal $\frac{a}{10^n}$ est une fraction). Donc $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$.

Forme irréductible d'une fraction : Une fraction est dite irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux (leur seul diviseur commun positif est 1). Pour l'obtenir, on simplifie la fraction par le plus grand commun diviseur (PGCD) de son numérateur et de son dénominateur.

• Exemple : $\frac{6}{9} = \frac{2 \times 3}{3 \times 3} = \frac{2}{3}$. La forme irréductible de $\frac{6}{9}$ est $\frac{2}{3}$.

Écriture décimale périodique : Les nombres rationnels ont une écriture décimale qui est soit finie (dans le cas des décimaux), soit infinie et périodique. Cela signifie qu'une séquence de chiffres se répète indéfiniment après la virgule.

• Exemple : $\frac{1}{3} = 0,333...$ (la période est 3)
• Exemple : $\frac{1}{7} = 0,142857142857...$ (la période est 142857)

Tous les nombres ne peuvent pas être écrits sous forme de fraction. Ceux-là sont appelés irrationnels.

Définition d'un nombre irrationnel : Un nombre est dit irrationnel s'il n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ où $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}^*$.

• $\pi$ (Pi) : C'est le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre. Sa valeur est approximativement $3,14159265...$ mais ses décimales ne se répètent jamais.
• $\sqrt{2}$ (racine carrée de 2) : C'est le nombre positif dont le carré est 2. Sa valeur est approximativement $1,41421356...$ et ses décimales ne se répètent jamais.
• D'autres exemples incluent $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, ou le nombre d'or $\phi$.

Non-périodicité de l'écriture décimale : La principale caractéristique d'un nombre irrationnel est que son écriture décimale est infinie et non périodique. Il n'y a pas de séquence de chiffres qui se répète indéfiniment.

Il est important de savoir distinguer ces deux types de nombres.

Critères de reconnaissance :

• Rationnel : Peut s'écrire $\frac{a}{b}$ (fraction), écriture décimale finie ou infinie et périodique.
• Irrationnel : Ne peut pas s'écrire $\frac{a}{b}$ (pas une fraction), écriture décimale infinie et non périodique.

Preuve de l'irrationalité de √2 (aperçu) : La preuve de l'irrationalité de $\sqrt{2}$ est un exemple classique de preuve par l'absurde.

1. On suppose que $\sqrt{2}$ est rationnel. Dans ce cas, il peut s'écrire sous forme de fraction irréductible $\frac{a}{b}$, où $a, b \in \mathbb{Z}^*$.
2. Si $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$, alors $(\sqrt{2})^2 = (\frac{a}{b})^2$, ce qui donne $2 = \frac{a^2}{b^2}$, et donc $2b^2 = a^2$.
3. Cette égalité implique que $a^2$ est un nombre pair (car il est le double de $b^2$). Si $a^2$ est pair, alors $a$ doit aussi être pair (car le carré d'un nombre impair est impair). On peut donc écrire $a = 2k$ pour un certain entier $k$.
4. En remplaçant $a$ par $2k$ dans l'équation $2b^2 = a^2$, on obtient $2b^2 = (2k)^2$, soit $2b^2 = 4k^2$.
5. En divisant par 2, on a $b^2 = 2k^2$. Cela signifie que $b^2$ est pair, et donc $b$ est aussi pair.
6. Nous avons conclu que $a$ est pair et $b$ est pair. Cela contredit notre hypothèse initiale que la fraction $\frac{a}{b}$ était irréductible (car on pourrait la simplifier par 2).
7. Puisque notre hypothèse a conduit à une contradiction, l'hypothèse de départ est fausse. Par conséquent, $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel, il est irrationnel.

Union de Q et des irrationnels : L'ensemble des nombres réels, noté $\mathbb{R}$, est l'ensemble qui regroupe tous les nombres rationnels ($\mathbb{Q}$) et tous les nombres irrationnels. $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \{\text{nombres irrationnels}\}$

La droite numérique réelle : Les nombres réels peuvent être représentés par tous les points d'une droite infinie appelée la droite numérique réelle. Chaque point de cette droite correspond à un unique nombre réel, et chaque nombre réel correspond à un unique point de cette droite. Il n'y a "pas de trous" sur cette droite.

Complétude de R : La propriété de complétude de $\mathbb{R}$ signifie qu'il n'y a aucun "vide" ou "trou" sur la droite numérique réelle. Chaque point de la droite représente un nombre réel, et réciproquement. C'est ce qui distingue $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$ (par exemple, il y a des "trous" dans $\mathbb{Q}$ correspondant aux irrationnels).

Nous avons donc la chaîne d'inclusions suivante : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Les intervalles sont des sous-ensembles de $\mathbb{R}$ très utiles pour représenter des plages de nombres.

Définition d'un intervalle : Un intervalle est un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ qui contient tous les nombres réels compris entre deux bornes données. Les bornes peuvent être incluses ou exclues.

Notation des intervalles (ouverts, fermés, semi-ouverts) :

Représentation graphique des intervalles : Sur une droite numérique, les intervalles sont représentés par des segments ou des demi-droites. Les crochets indiquent si les bornes sont incluses (crochet "fermé" vers l'intervalle) ou exclues (crochet "ouvert" vers l'extérieur).

Exemple : L'intervalle $x \in [-2; 3[$ représente tous les nombres réels $x$ tels que $-2 \le x < 3$.

     [-----------)
<----|---|---|---|---|---|---|---|---|---->
    -3  -2  -1   0   1   2   3   4

On peut combiner des intervalles en utilisant l'union et l'intersection.

Intersection d'intervalles ($\cap$) : L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres qui appartiennent aux deux intervalles simultanément.

• Exemple : Soit $I = [1; 5]$ et $J = [3; 7]$. $I \cap J = [3; 5]$. Les nombres $3, 4, 5$ sont dans les deux intervalles.

Union d'intervalles ($\cup$) : L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres qui appartiennent à au moins l'un des deux intervalles.

• Exemple : Soit $I = [1; 5]$ et $J = [3; 7]$. $I \cup J = [1; 7]$. Tous les nombres de 1 à 7 sont inclus.
• Exemple 2 : Soit $K = [-3; 0]$ et $L = [2; 5]$. $K \cup L = [-3; 0] \cup [2; 5]$. Ici, les intervalles ne se chevauchent pas, l'union est la simple juxtaposition des deux.

Appartenance à un intervalle : Pour vérifier si un nombre $x$ appartient à un intervalle, on utilise le symbole $\in$.

• $2 \in [1; 5]$ (2 appartient à l'intervalle)
• $6 \notin [1; 5]$ (6 n'appartient pas à l'intervalle)

Symboles <, >, ≤, ≥ :

• $a < b$ signifie que $a$ est strictement inférieur à $b$.
• $a > b$ signifie que $a$ est strictement supérieur à $b$.
• $a \le b$ signifie que $a$ est inférieur ou égal à $b$.
• $a \ge b$ signifie que $a$ est supérieur ou égal à $b$.

Règles de comparaison :

• Sur la droite numérique, le nombre le plus à gauche est toujours le plus petit.
• Les nombres positifs sont toujours supérieurs aux nombres négatifs.
• Pour comparer deux nombres positifs, celui qui est "le plus grand" (le plus éloigné de 0) est le plus grand.
• Pour comparer deux nombres négatifs, celui qui est "le plus proche de 0" est le plus grand. Par exemple, $-2 > -5$.

Utilisation de la différence : Une méthode fiable pour comparer deux nombres $a$ et $b$ est d'étudier le signe de leur différence $a - b$.

• Si $a - b > 0$, alors $a > b$.
• Si $a - b < 0$, alors $a < b$.
• Si $a - b = 0$, alors $a = b$.

Exemple : Comparer $\frac{3}{4}$ et $\frac{2}{3}$. $\frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{9}{12} - \frac{8}{12} = \frac{1}{12}$. Comme $\frac{1}{12} > 0$, alors $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$.

La valeur absolue est une notion liée à la distance.

Définition de la valeur absolue : La valeur absolue d'un nombre réel $x$, notée $|x|$, est sa distance à zéro sur la droite numérique.

• Si $x \ge 0$, alors $|x| = x$.
• Si $x < 0$, alors $|x| = -x$. (Par exemple, $|-5| = -(-5) = 5$).

Interprétation géométrique (distance à zéro) : $|x|$ représente la distance entre le point d'abscisse $x$ et l'origine (le point 0) sur la droite numérique.

• $|3| = 3$ (la distance de 3 à 0 est 3)
• $|-3| = 3$ (la distance de -3 à 0 est 3)

Plus généralement, $|x - y|$ représente la distance entre les points d'abscisses $x$ et $y$ sur la droite numérique.

Propriétés de la valeur absolue :

• $|x| \ge 0$ (une distance est toujours positive ou nulle)
• $|x| = |-x|$
• $|x \times y| = |x| \times |y|$
• $|\frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|y|}$ (avec $y \ne 0$)
• $|x + y| \le |x| + |y|$ (inégalité triangulaire)

En science et dans la vie courante, on travaille souvent avec des valeurs approchées.

Définition d'un encadrement : Un encadrement d'un nombre $x$ est la donnée de deux nombres $a$ et $b$ tels que $a \le x \le b$.

• Exemple : $3,14 < \pi < 3,15$ est un encadrement de $\pi$ à $0,01$ près.

Arrondi et troncature :

• La troncature d'un nombre à une certaine décimale est le nombre obtenu en "coupant" simplement les décimales suivantes.
  • Exemple : La troncature de $3,14159$ au centième est $3,14$.
• L'arrondi d'un nombre à une certaine décimale est le nombre décimal le plus proche, à cette précision.
  • Pour l'arrondi au centième, on regarde le chiffre des millièmes :
    • Si le chiffre des millièmes est 0, 1, 2, 3 ou 4, on tronque.
    • Si le chiffre des millièmes est 5, 6, 7, 8 ou 9, on arrondit à la décimale supérieure.
  • Exemple : L'arrondi de $3,14159$ au centième est $3,14$.
  • Exemple : L'arrondi de $3,14759$ au centième est $3,15$.

Précision d'une approximation : La précision d'une approximation est la différence maximale entre la valeur exacte et l'approximation. Si $a \le x \le b$, alors l'amplitude de l'encadrement est $b - a$. L'approximation de $x$ par le milieu de l'intervalle $\frac{a+b}{2}$ aura une erreur maximale de $\frac{b-a}{2}$. Un arrondi est généralement une meilleure approximation qu'une troncature, car il minimise l'erreur.

Priorités opératoires (PEMDAS/PEDMAS) : L'ordre des opérations est crucial pour obtenir le bon résultat. Un moyen mnémotechnique est "PEMDAS" (Parentheses, Exponents, Multiplication and Division (from left to right), Addition and Subtraction (from left to right)). En français, on peut penser à "Parenthèses, Exposants, Multiplications/Divisions, Additions/Soustractions".

1. Parenthèses (et crochets, accolades) : Opérations à l'intérieur des groupements les plus profonds en premier.
2. Exposants (puissances et racines).
3. Multiplications et Divisions : De gauche à droite.
4. Additions et Soustractions : De gauche à droite.

Exemple : $5 + 2 \times (8 - 3)^2 \div 10$

1. $(8 - 3) = 5$
2. $5^2 = 25$
3. $2 \times 25 = 50$
4. $50 \div 10 = 5$
5. $5 + 5 = 10$ Donc, $5 + 2 \times (8 - 3)^2 \div 10 = 10$.

Distributivité : La distributivité permet de "développer" ou de "factoriser" des expressions.

• Simple distributivité : $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$
• Double distributivité : $(a + b) \times (c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$

Factorisation et développement :

• Développement : Transformer un produit en une somme (en utilisant la distributivité).
  • Exemple : $3(x + 2) = 3x + 6$
• Factorisation : Transformer une somme en un produit (en cherchant un facteur commun).
  • Exemple : $5x + 10 = 5(x + 2)$

Ces propriétés sont essentielles pour la simplification d'expressions littérales et la résolution d'équations.

Les puissances sont une façon abrégée d'écrire des multiplications répétées.

Définition des puissances (exposant entier) : Pour un nombre réel $a$ et un entier naturel $n$ :

• $a^n = a \times a \times ... \times a$ ($n$ fois)
• $a^1 = a$
• $a^0 = 1$ (pour $a \ne 0$)
• Pour un exposant négatif : $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (pour $a \ne 0$)

Règles de calcul sur les puissances : Soient $a, b \in \mathbb{R}^*$ et $m, n \in \mathbb{Z}$ :

• $a^m \times a^n = a^{m+n}$
• $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
• $(a^m)^n = a^{m \times n}$
• $(a \times b)^n = a^n \times b^n$
• $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Écriture scientifique : L'écriture scientifique d'un nombre est de la forme $a \times 10^n$, où $1 \le |a| < 10$ et $n$ est un entier relatif. Elle est très utile pour manipuler des nombres très grands ou très petits.

• Exemple : $12345 = 1,2345 \times 10^4$
• Exemple : $0,0000078 = 7,8 \times 10^{-6}$

La racine carrée est l'opération inverse du carré.

Définition de la racine carrée : La racine carrée d'un nombre réel positif $a$, notée $\sqrt{a}$, est le nombre réel positif $b$ tel que $b^2 = a$.

• $\sqrt{a}$ n'est définie que si $a \ge 0$.
• Par définition, $\sqrt{a} \ge 0$.

Propriétés des racines carrées : Soient $a \ge 0$ et $b \ge 0$ :

• $(\sqrt{a})^2 = a$
• $\sqrt{a^2} = a$ (attention : $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$, pas -3 ; donc $\sqrt{x^2} = |x|$ en général)
• $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
• $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (avec $b > 0$)
• Attention : $\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (sauf cas particuliers)

Simplification de racines carrées : On cherche à écrire une racine carrée sous la forme $k\sqrt{p}$, où $p$ est le plus petit entier possible. Pour cela, on décompose le nombre sous la racine en un produit, en cherchant des carrés parfaits.

• Exemple : $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
• Exemple : $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
• Exemple : $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ Simplifier les racines carrées est essentiel pour les calculs et la résolution d'exercices.