Le calcul des sommes algébriques

Un nombre relatif est un nombre qui possède un signe (+ ou -). Il est composé d'une valeur numérique (ou distance à zéro) et d'un signe.

• Les nombres précédés d'un signe '+' ou sans signe sont des nombres positifs (ex: $+5$, $12$, $0,7$).
• Les nombres précédés d'un signe '-' sont des nombres négatifs (ex: $-3$, $-8,5$, $-1/2$).
• Le nombre $0$ est le seul nombre à la fois positif et négatif.

On peut représenter les nombres relatifs sur une droite graduée. L'origine est $0$. Les nombres positifs sont à droite de $0$, les nombres négatifs sont à gauche de $0$.

L'opposé d'un nombre relatif est le nombre qui a la même distance à zéro mais le signe opposé.

• L'opposé de $+5$ est $-5$.
• L'opposé de $-3,2$ est $+3,2$.
• L'opposé de $0$ est $0$. La somme d'un nombre et de son opposé est toujours égale à $0$. Par exemple, $5 + (-5) = 0$.

Comparer deux nombres relatifs, c'est dire s'ils sont égaux ou si l'un est plus grand ou plus petit que l'autre.

Règles de comparaison :

1. Nombres positifs : Le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro. Ex: $7 > 3$.
2. Nombres négatifs : Le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro. Ex: $-2 > -5$ (car $-2$ est plus proche de $0$ sur la droite graduée).
3. Un positif et un négatif : Un nombre positif est toujours plus grand qu'un nombre négatif. Ex: $4 > -10$.
4. Zéro : Tout nombre positif est supérieur à zéro, tout nombre négatif est inférieur à zéro. Ex: $0 > -8$, $0 < 6$.

Pour ranger des nombres dans l'ordre croissant, on les classe du plus petit au plus grand. Pour l'ordre décroissant, du plus grand au plus petit.

La valeur absolue d'un nombre relatif est sa distance à zéro. Elle est toujours positive ou nulle. On la note avec des barres verticales.

• $|5| = 5$
• $|-5| = 5$
• $|0| = 0$ La valeur absolue ne tient compte que de la partie numérique du nombre, sans son signe.

Règle des signes identiques : Pour additionner deux nombres de même signe :

1. On garde le signe commun.
2. On additionne leurs distances à zéro.

• Exemples :
  • $(+3) + (+5) = +(3+5) = +8$
  • $(-3) + (-5) = -(3+5) = -8$

Règle des signes différents : Pour additionner deux nombres de signes différents :

1. On prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
2. On soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande.

• Exemples :
  • $(+7) + (-4) = +(7-4) = +3$ (car $7 > 4$, le signe est '+')
  • $(-7) + (+4) = -(7-4) = -3$ (car $7 > 4$, le signe est '-')
  • $(+5) + (-5) = 0$ (somme d'un nombre et de son opposé)

Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé. C'est une règle fondamentale ! $a - b = a + (-b)$

• Exemples et applications :
  • $(+8) - (+3) = (+8) + (-3) = +5$
  • $(+8) - (-3) = (+8) + (+3) = +11$
  • $(-8) - (+3) = (-8) + (-3) = -11$
  • $(-8) - (-3) = (-8) + (+3) = -5$

Une somme algébrique est une suite d'additions et de soustractions de nombres relatifs. Exemple : $A = (+7) - (-3) + (-5) - (+2)$

Pour faciliter le calcul, on simplifie l'écriture :

1. On transforme toutes les soustractions en additions de l'opposé. $A = (+7) + (+3) + (-5) + (-2)$
2. On supprime les signes '+' des additions et les parenthèses (sauf si nécessaire). $A = 7 + 3 - 5 - 2$ Attention : le premier nombre peut être écrit sans son '+', mais les suivants gardent leur signe.
3. On regroupe les nombres positifs et les nombres négatifs. $A = (7 + 3) + (-5 - 2)$ $A = 10 + (-7)$ $A = 10 - 7$ $A = 3$

Une autre méthode consiste à calculer de gauche à droite : $A = 7 + 3 - 5 - 2$ $A = 10 - 5 - 2$ $A = 5 - 2$ $A = 3$

Règle des signes pour la multiplication :

1. Le produit de deux nombres de même signe est toujours positif.
   • $(+) \times (+) = (+)$
   • $(-) \times (-) = (+)$
2. Le produit de deux nombres de signes différents est toujours négatif.
   • $(+) \times (-) = (-)$
   • $(-) \times (+) = (-)$

Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie leurs distances à zéro et on applique la règle des signes.

• Exemples :
  • $(+4) \times (+3) = +12$
  • $(-4) \times (-3) = +12$
  • $(+4) \times (-3) = -12$
  • $(-4) \times (+3) = -12$

Produit de plusieurs nombres relatifs : Pour un produit de plusieurs facteurs :

1. On compte le nombre de facteurs négatifs.
2. S'il y a un nombre pair de facteurs négatifs, le produit est positif.
3. S'il y a un nombre impair de facteurs négatifs, le produit est négatif.
4. Ensuite, on multiplie toutes les distances à zéro.

• Exemple : $P = (-2) \times 3 \times (-1) \times (-4)$ Il y a 3 facteurs négatifs (nombre impair), donc le résultat sera négatif. $P = -(2 \times 3 \times 1 \times 4) = -24$

La règle des signes pour la division est la même que pour la multiplication :

1. Le quotient de deux nombres de même signe est toujours positif.
2. Le quotient de deux nombres de signes différents est toujours négatif.

Pour diviser deux nombres relatifs (le diviseur doit être non nul), on divise leurs distances à zéro et on applique la règle des signes.

• Exemples :
  • $(+12) \div (+3) = +4$
  • $(-12) \div (-3) = +4$
  • $(+12) \div (-3) = -4$
  • $(-12) \div (+3) = -4$

Écriture fractionnaire : La division peut aussi s'écrire sous forme de fraction. Les règles des signes s'appliquent de la même manière.

• $\frac{-15}{+5} = -3$
• $\frac{15}{-5} = -3$
• $\frac{-15}{-5} = +3$

Pour calculer une expression numérique, il faut respecter un ordre précis des opérations, souvent résumé par l'acronyme PEMDAS (ou "Parenthèses, Exposants, Multiplication, Division, Addition, Soustraction").

1. Parenthèses (et crochets) : On commence par les calculs situés à l'intérieur des parenthèses les plus profondes.
2. Multiplications et Divisions : Elles ont la même priorité. On les effectue de gauche à droite.
3. Additions et Soustractions : Elles ont aussi la même priorité. On les effectue de gauche à droite.

• Exemple complexe : $A = 10 - [2 \times (-3) + (15 \div (-5))]$
  1. Calcul des parenthèses internes : $A = 10 - [2 \times (-3) + (-3)]$
  2. Calcul de la multiplication dans les crochets : $A = 10 - [-6 + (-3)]$
  3. Calcul de l'addition dans les crochets : $A = 10 - [-9]$
  4. Soustraction finale : $A = 10 + 9 = 19$

Ne pas oublier de gérer les signes des nombres relatifs à chaque étape du calcul.

Méthodologie de calcul pas à pas :

1. Identifier toutes les opérations et leur ordre de priorité.
2. Effectuer les calculs entre parenthèses.
3. Effectuer les multiplications et divisions de gauche à droite.
4. Effectuer les additions et soustractions de gauche à droite.
5. Écrire chaque étape du calcul clairement, en gardant l'expression complète jusqu'à la simplification.

• Exemple : $B = -5 + 3 \times (-4) - (-10) \div 2$
  1. Multiplication : $3 \times (-4) = -12$ $B = -5 + (-12) - (-10) \div 2$
  2. Division : $(-10) \div 2 = -5$ $B = -5 + (-12) - (-5)$
  3. Simplifier les soustractions en additions : $B = -5 - 12 + 5$
  4. Additions/soustractions de gauche à droite : $B = -17 + 5$ $B = -12$

Erreurs courantes à éviter :

• Oublier une règle de signe.
• Ne pas respecter l'ordre des priorités opératoires.
• Confondre soustraction et signe négatif (ex: $-5$ est le nombre négatif cinq, $8-5$ est la soustraction de cinq).

Les nombres relatifs sont partout dans la vie courante : températures, altitudes, soldes bancaires, dates historiques, etc.

Traduction d'un énoncé en expression numérique :

1. Lire attentivement l'énoncé et identifier les grandeurs en jeu (gains, pertes, montées, descentes, etc.).
2. Représenter ces grandeurs par des nombres relatifs (ex: une perte de 5€ est $-5$, une montée de 100m est $+100$).
3. Déterminer l'opération à effectuer (addition, soustraction, multiplication, division) en fonction du contexte du problème.
4. Écrire l'expression numérique correspondante.

• Exemple : Un sous-marin est à une profondeur de $-250$ mètres. Il remonte de $80$ mètres, puis redescend de $120$ mètres. Quelle est sa nouvelle profondeur ?
  • Expression : $-250 + 80 - 120$
  • Calcul : $-170 - 120 = -290$
  • Réponse : La nouvelle profondeur est de $-290$ mètres.

Analyse des résultats : Après avoir effectué le calcul, il est important de vérifier si le résultat a du sens par rapport au problème posé. Une profondeur de $-290$ mètres est bien plus profonde que $-250$ mètres, ce qui est logique après avoir remonté puis plus redescendu.

Ces exercices combinent toutes les notions vues précédemment.

• Calculs avec des nombres décimaux relatifs : Les règles s'appliquent de la même manière pour les nombres décimaux.

  • Ex: $(-3,5) \times (2,1) = -7,35$
  • Ex: $12,8 - (-4,2) = 12,8 + 4,2 = 17$

• Vérification des calculs :

  • Utiliser une calculatrice pour vérifier les résultats (mais il faut d'abord savoir faire les calculs "à la main").
  • Estimer un ordre de grandeur pour s'assurer que le résultat est plausible.
  • Reprendre les étapes une par une en cas d'erreur.

La maîtrise du calcul des sommes algébriques est essentielle pour la suite des études en mathématiques. Entraînez-vous régulièrement !