Espace et géométrie

Ces trois éléments sont les bases de toute la géométrie.

• Le point : C'est un emplacement précis dans l'espace. Il n'a pas de taille. On le nomme toujours avec une lettre majuscule.
  • Exemple : A, B, C.
  • Notation : Un simple point.
• La droite : C'est une ligne qui est illimitée des deux côtés. Elle est "infinie". On la nomme avec une lettre minuscule entre parenthèses, ou avec deux points qui lui appartiennent.
  • Exemple : (d), (AB).
  • Notation : Une ligne avec des flèches à chaque extrémité pour montrer qu'elle continue.
• Le segment : C'est une partie d'une droite qui est limitée par deux points, appelés ses extrémités. Sa longueur est mesurable.
  • Exemple : Le segment [AB] a pour extrémités les points A et B.
  • Notation : [AB] ou [BA]. La longueur se note AB (sans crochets).

Un polygone est une figure plane fermée, formée de plusieurs segments de droite appelés côtés.

• Sommets : Ce sont les points où les côtés se rencontrent.
• Côtés : Ce sont les segments qui forment le polygone.
• Diagonales : Ce sont des segments qui relient deux sommets non consécutifs (qui ne se suivent pas).

Types de polygones selon leur nombre de côtés :

Le périmètre d'un polygone est la somme des longueurs de tous ses côtés. C'est la "longueur de son contour".

Le cercle et le disque sont deux notions parfois confondues, mais différentes !

• Le cercle : C'est l'ensemble de tous les points qui sont à la même distance d'un point fixe appelé le centre. C'est une ligne courbe fermée.
  • Centre : Le point central (souvent noté O).
  • Rayon : Un segment qui relie le centre à n'importe quel point du cercle. Tous les rayons d'un même cercle ont la même longueur.
  • Diamètre : Un segment qui passe par le centre et relie deux points opposés du cercle. Un diamètre est égal à deux rayons ($D = 2 \times R$).
• Le disque : C'est la surface (l'intérieur) délimitée par un cercle.

Pour tracer un cercle :

1. Place le centre (O).
2. Ouvre ton compas à la longueur du rayon souhaité.
3. Place la pointe sèche du compas sur le centre O.
4. Fais tourner le crayon pour tracer le cercle.

Un angle est une figure formée par deux demi-droites (appelées côtés) qui partent du même point (appelé sommet).

• Sommet : Le point commun aux deux demi-droites.
• Côtés de l'angle : Les deux demi-droites.

On mesure les angles en degrés (°).

Types d'angles :

• Angle droit : Il mesure 90°. Il est formé par deux droites perpendiculaires. On le marque avec un petit carré.
• Angle aigu : Il mesure moins de 90°.
• Angle obtus : Il mesure plus de 90°.
• Angle plat : Il mesure 180°. Ses côtés forment une ligne droite.

Utilisation du rapporteur : Le rapporteur est l'outil pour mesurer et tracer des angles.

1. Place le centre du rapporteur sur le sommet de l'angle.
2. Aligner la base du rapporteur avec un des côtés de l'angle (sur le 0°).
3. Lis la mesure sur l'échelle graduée, en partant du 0°.

Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi :

• Une origine (le point 0).
• Un sens (souvent vers la droite pour les nombres positifs).
• Une unité de longueur (l'écart entre 0 et 1, par exemple).

L'abscisse d'un point est le nombre qui le repère sur la droite graduée.

• Pour placer un point d'abscisse donnée :
  1. Repère l'origine et l'unité.
  2. Compte les unités à partir de l'origine dans le bon sens.

Exemple : Le point A a pour abscisse 3. Le point B a pour abscisse -2.

Un quadrillage est un ensemble de lignes horizontales et verticales qui forment des carreaux. On repère une case par la combinaison d'une lettre (pour la colonne) et d'un chiffre (pour la ligne).

Exemple : La case (B, 3) se trouve à l'intersection de la colonne B et de la ligne 3.

Pour un repérage plus précis, on utilise deux droites graduées perpendiculaires qui se coupent à l'origine (0;0).

• L'axe horizontal est l'axe des abscisses (souvent noté $x$).
• L'axe vertical est l'axe des ordonnées (souvent noté $y$).

Un point dans le plan est repéré par ses coordonnées (x ; y) :

• La première valeur est l'abscisse (déplacement horizontal).
• La deuxième valeur est l'ordonnée (déplacement vertical).

Exemple : Le point A(3 ; 2) signifie 3 unités sur l'axe des abscisses et 2 unités sur l'axe des ordonnées. Pour placer un point M(x ; y) :

1. Pars de l'origine (0 ; 0).
2. Déplace-toi horizontalement de $x$ unités (à droite si $x$ est positif, à gauche si $x$ est négatif).
3. Déplace-toi verticalement de $y$ unités (vers le haut si $y$ est positif, vers le bas si $y$ est négatif).

La perspective cavalière est une technique de dessin qui permet de représenter des solides (objets en 3D) sur une surface plane (une feuille en 2D) tout en donnant une impression de profondeur.

Caractéristiques principales :

• Les faces de devant et de derrière sont dessinées en vraie grandeur (ou presque).
• Les arêtes fuyantes (qui donnent la profondeur) sont tracées en pointillés si elles sont cachées.
• Les arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin.
• Les longueurs sur les arêtes fuyantes sont souvent réduites (par exemple, de moitié) pour accentuer l'effet de profondeur.

La symétrie axiale transforme une figure en une autre figure qui est son image miroir par rapport à une droite appelée axe de symétrie.

• Si tu plies la feuille le long de l'axe de symétrie, la figure initiale et sa figure symétrique se superposent parfaitement.
• Chaque point de la figure initiale a un point symétrique de l'autre côté de l'axe.
• L'axe de symétrie est la médiatrice du segment qui relie un point à son symétrique.

Pour construire le point A' (symétrique de A) par rapport à une droite (d) :

1. Trace la droite qui passe par A et qui est perpendiculaire à l'axe (d).
2. Prolonge cette droite de l'autre côté de (d).
3. Mesure la distance entre A et l'axe (d).
4. Reporte cette même distance sur la droite perpendiculaire, de l'autre côté de l'axe. Tu obtiens A'.
   • On a alors : La distance entre A et l'axe est égale à la distance entre A' et l'axe.

Outils : Équerre (pour la perpendiculaire) et compas (pour reporter la distance).

Pour construire le symétrique d'une figure (segment, droite, polygone) :

1. Choisis les points importants de la figure (les extrémités du segment, les sommets du polygone).
2. Construis le symétrique de chaque point par rapport à l'axe.
3. Relie les points symétriques dans le même ordre.

Propriétés de la symétrie axiale : La symétrie axiale conserve :

• Les longueurs : un segment et son symétrique ont la même longueur.
• Les angles : un angle et son symétrique ont la même mesure.
• Les aires : une figure et son symétrique ont la même aire.
• L'alignement des points : si trois points sont alignés, leurs symétriques le sont aussi.

Utilisation du quadrillage : Si l'axe de symétrie suit les lignes du quadrillage, c'est facile ! Il suffit de compter les carreaux.

Une figure possède un axe de symétrie si elle est sa propre image par rapport à cette droite. C'est-à-dire que si on la plie le long de cette droite, les deux parties se superposent.

Exemples de figures et leurs axes de symétrie :

• Carré : 4 axes de symétrie (les deux diagonales et les deux médiatrices des côtés).
• Rectangle : 2 axes de symétrie (les médiatrices des côtés).
• Cercle : Une infinité d'axes de symétrie (toutes les droites passant par son centre).
• Triangle isocèle : 1 axe de symétrie.
• Triangle équilatéral : 3 axes de symétrie.
• Parallélogramme (non rectangle, non losange) : 0 axe de symétrie.

Un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) est un solide composé de :

• 6 faces : Ce sont toutes des rectangles. Les faces opposées sont identiques.
• 12 arêtes : Ce sont les segments où les faces se rencontrent. Les arêtes parallèles ont la même longueur.
• 8 sommets : Ce sont les points où les arêtes se rencontrent.

Le patron d'un pavé droit est une figure plane que l'on peut découper et plier pour reconstituer le solide. Imagine une boîte en carton dépliée.

Volume (introduction) : Le volume d'un pavé droit se calcule en multipliant sa longueur, sa largeur et sa hauteur. $V = L \times l \times h$.

Le cube est un cas particulier de pavé droit où toutes les faces sont des carrés.

• Il a aussi 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets.
• Toutes ses arêtes ont la même longueur.
• Son patron est composé de 6 carrés.

Un cylindre de révolution est un solide qui a :

• Deux bases qui sont des disques parallèles et identiques.
• Une surface latérale courbe.
• Une hauteur qui est la distance entre les deux bases.

Son patron est généralement composé de deux disques (les bases) et d'un rectangle (la surface latérale).

• La longueur du rectangle est égale à la circonférence de la base.

Exemples : Une boîte de conserve, un rouleau de papier toilette.

• La pyramide :

  • Elle a une base qui est un polygone (triangle, carré, etc.).
  • Ses faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un point unique appelé sommet.
  • Exemple : La pyramide de Gizeh.

• Le cône de révolution :

  • Il a une base qui est un disque.
  • Sa surface latérale est courbe et se termine en un point unique appelé sommet.
  • Exemple : Un cornet de glace, un chapeau de fête.

Le périmètre est la longueur du contour d'une figure plane.

• Carré : Côté + Côté + Côté + Côté, ou $P = 4 \times Côté$.
• Rectangle : Longueur + largeur + Longueur + largeur, ou $P = 2 \times (L + l)$.
• Cercle (on parle de circonférence) : $C = 2 \times \pi \times R$ (où $R$ est le rayon) ou $C = \pi \times D$ (où $D$ est le diamètre).
  • $\pi$ (prononcé "pi") est un nombre environ égal à 3,14.

Les unités de périmètre sont des unités de longueur : millimètre (mm), centimètre (cm), mètre (m), kilomètre (km).

L'aire est la mesure de la surface occupée par une figure plane.

• Carré : Côté $\times$ Côté, ou $A = Côté^2$.
• Rectangle : Longueur $\times$ largeur, ou $A = L \times l$.
• Triangle rectangle : (Côté 1 $\times$ Côté 2) $\div 2$, ou $A = \frac{Base \times Hauteur}{2}$. (Les côtés de l'angle droit sont la base et la hauteur).

Les unités d'aire sont des unités de longueur au carré : millimètre carré (mm²), centimètre carré (cm²), mètre carré (m²), kilomètre carré (km²).

Pour calculer l'aire ou le périmètre de figures plus complexes :

1. Découper la figure en formes simples (rectangles, carrés, triangles) dont tu connais les formules.
2. Calculer l'aire/périmètre de chaque partie.
3. Additionner ou soustraire les résultats pour trouver l'aire/périmètre totale.

Conversion d'unités d'aire : Attention, les unités d'aire fonctionnent par "paquets de 100" ! 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm² 1 km² = 1 000 000 m² On utilise aussi l'are (a) : 1 a = 100 m² et l'hectare (ha) : 1 ha = 10 000 m².