Angles et figures planes

Une figure plane est une forme géométrique que l'on peut dessiner entièrement sur une surface plate, comme une feuille de papier ou un tableau. Elle n'a que deux dimensions : la longueur et la largeur. On dit qu'elle est "plate".

• Exemples de figures planes :

  • Un carré
  • Un triangle
  • Un cercle
  • Un rectangle

• Distinction avec les solides : Un solide, comme un cube ou une sphère, a trois dimensions (longueur, largeur, hauteur/profondeur) et ne peut pas être dessiné entièrement à plat. Il occupe un volume dans l'espace.

En géométrie, tout commence avec des éléments de base :

• Un point est un emplacement précis dans l'espace, sans aucune dimension. On le représente par une petite croix et on le nomme avec une lettre majuscule (par exemple, A, B, C).
  • Exemple : $\text{A} \times$
• Une droite est une ligne droite qui s'étend à l'infini dans les deux directions. Elle n'a ni début ni fin. On la nomme souvent avec une lettre minuscule entre parenthèses (par exemple, $(d)$) ou par deux points qui lui appartiennent (par exemple, $(AB)$).
  • Exemple : $\longleftrightarrow$
• Un segment est une partie d'une droite. Il est limité par deux points, appelés ses extrémités. On le nomme par ses deux extrémités entre crochets (par exemple, $[AB]$). Il a une longueur mesurable.
  • Exemple : $\text{A} \text{-------} \text{B}$

• Une demi-droite est une partie d'une droite qui a un début (un point appelé son origine) mais pas de fin (elle s'étend à l'infini dans une seule direction). On la nomme en commençant par son origine, suivi d'un autre point qui lui appartient, le tout entre crochets et parenthèses (par exemple, $[Ax)$).
  • Exemple : $\text{A} \text{------}\rightarrow$
• Des points alignés sont des points qui se trouvent tous sur la même droite.
  • Pour vérifier l'alignement, on utilise une règle : si la règle passe par tous les points, alors ils sont alignés.

Un angle est l'ouverture formée par deux demi-droites qui partent du même point.

• Le point de départ commun s'appelle le sommet de l'angle.
• Les deux demi-droites sont les côtés de l'angle.

Pour nommer un angle, on utilise généralement trois lettres majuscules :

1. La lettre du milieu est toujours le sommet de l'angle.
2. Les deux autres lettres désignent un point sur chacun des côtés.

• Notation : L'angle dont le sommet est O et les côtés passent par A et B peut se noter $\widehat{AOB}$ ou $\widehat{BOA}$. Parfois, si le contexte est clair, on peut le noter $\widehat{O}$.
• Représentation graphique : On marque souvent l'ouverture de l'angle avec un petit arc de cercle.
  • On peut utiliser un compas pour dessiner cet arc, ce qui aide à visualiser l'ouverture.

Il existe différents types d'angles selon leur ouverture :

• Un angle droit : Son ouverture mesure exactement 90 degrés ($90^\circ$). Il ressemble à un coin de carré.
  • On le marque avec un petit carré au sommet.
• Un angle aigu : Son ouverture est plus petite qu'un angle droit (entre $0^\circ$ et $90^\circ$).
• Un angle obtus : Son ouverture est plus grande qu'un angle droit (entre $90^\circ$ et $180^\circ$).
• Un angle plat : Ses côtés forment une ligne droite. Son ouverture mesure exactement 180 degrés ($180^\circ$).

Le rapporteur est l'instrument de mesure des angles.

• Il est généralement semi-circulaire (180°) ou circulaire (360°).
• Il possède une graduation en degrés ($^\circ$).
• Pour mesurer un angle donné :
  1. Placez le centre du rapporteur (le petit trou ou la croix) sur le sommet de l'angle.
  2. Alignez un des côtés de l'angle avec la ligne de base (le zéro) du rapporteur.
  3. Lisez la graduation là où l'autre côté de l'angle passe. Assurez-vous de lire la bonne échelle (celle qui commence à zéro sur le côté aligné).
• La précision de la mesure dépend de la taille du rapporteur et de la finesse de ses graduations.

Pour construire un angle de, par exemple, $60^\circ$ :

1. Tracez une demi-droite. Ce sera le premier côté de votre angle. Son origine sera le sommet.
2. Placez le centre du rapporteur sur l'origine de la demi-droite.
3. Alignez la demi-droite avec la graduation zéro du rapporteur.
4. Repérez la graduation qui correspond à la mesure souhaitée (ici, $60^\circ$) et faites une petite marque au crayon.
5. Retirez le rapporteur et tracez une deuxième demi-droite qui part du sommet et passe par la marque que vous avez faite.

Vous avez construit un angle de $60^\circ$.

• Un angle droit mesure $90^\circ$. C'est un angle très important en géométrie.
• On utilise l'équerre pour tracer et vérifier les angles droits. L'équerre a un angle droit parfait.
• Pour vérifier la perpendicularité (si deux droites forment un angle droit) :
  1. Placez l'équerre de manière que son angle droit coïncide avec le sommet de l'angle à vérifier.
  2. Si les deux côtés de l'angle suivent parfaitement les bords de l'équerre, alors c'est un angle droit.

Un triangle est une figure plane fermée qui a trois côtés, trois sommets et trois angles. C'est le polygone le plus simple.

• Sommets : Les points où les côtés se rencontrent (par exemple, A, B, C).
• Côtés : Les segments qui relient les sommets (par exemple, $[AB]$, $[BC]$, $[CA]$).
• Angles : Les ouvertures formées par les côtés à chaque sommet (par exemple, $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$ ou $\widehat{BAC}$, $\widehat{ABC}$, $\widehat{BCA}$).
• Notation : On nomme un triangle en utilisant les lettres de ses trois sommets (par exemple, $\triangle ABC$).

Les triangles peuvent être classés en fonction de la longueur de leurs côtés :

• Triangle quelconque : Tous ses côtés ont des longueurs différentes. Tous ses angles sont aussi différents.
• Triangle isocèle : Il a deux côtés de même longueur. Les angles opposés à ces côtés sont aussi égaux.
  • Le sommet où les deux côtés égaux se rencontrent est appelé le sommet principal.
• Triangle équilatéral : Il a ses trois côtés de même longueur. Par conséquent, ses trois angles sont aussi égaux (chacun mesure $60^\circ$).

Les triangles peuvent aussi être classés en fonction de la mesure de leurs angles :

• Triangle rectangle : Il a un angle droit ($90^\circ$).
  • Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse.
• Triangle acutangle (ou triangle à angles aigus) : Tous ses trois angles sont des angles aigus (inférieurs à $90^\circ$).
• Triangle obtusangle : Il a un angle obtus (supérieur à $90^\circ$).

Pour construire un triangle, on utilise une règle et un compas.

• Construire un triangle à partir de longueurs données :

  1. Tracez le premier côté avec la règle.
  2. Avec le compas, ouvrez-le à la longueur du deuxième côté et tracez un arc de cercle à partir d'une extrémité du premier côté.
  3. Avec le compas, ouvrez-le à la longueur du troisième côté et tracez un arc de cercle à partir de l'autre extrémité du premier côté.
  4. Le point où les deux arcs se croisent est le troisième sommet du triangle. Reliez-le aux extrémités du premier côté.

• Construire un triangle rectangle :

  1. Tracez un angle droit avec l'équerre.
  2. Mesurez les longueurs des côtés de l'angle droit à partir du sommet.
  3. Reliez les extrémités pour former le troisième côté.

Un quadrilatère est une figure plane fermée qui a quatre côtés, quatre sommets et quatre angles.

• Sommets : A, B, C, D.
• Côtés : $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$.
• Diagonales : Les segments qui relient deux sommets non consécutifs (par exemple, $[AC]$ et $[BD]$).
• Un quadrilatère peut être non croisé (ses côtés ne se coupent pas) ou croisé (ses côtés se coupent). En 6ème, on étudie principalement les quadrilatères non croisés.

Ce sont des quadrilatères particuliers et très courants.

• Le rectangle :
  • Il a quatre angles droits.
  • Ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
  • Ses diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu.
• Le carré :
  • C'est un rectangle particulier. Il a quatre angles droits ET quatre côtés de même longueur.
  • Ses côtés opposés sont parallèles.
  • Ses diagonales sont de même longueur, se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et sont des bissectrices des angles.
• Construction à l'équerre et à la règle : On utilise l'équerre pour s'assurer que les angles sont bien droits.

D'autres quadrilatères importants :

• Le parallélogramme :
  • Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
  • Ses côtés opposés sont de même longueur.
  • Ses angles opposés sont de même mesure.
  • Ses diagonales se coupent en leur milieu.
• Le losange :
  • C'est un parallélogramme particulier. Il a quatre côtés de même longueur.
  • Ses côtés opposés sont parallèles.
  • Ses angles opposés sont de même mesure.
  • Ses diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et sont des bissectrices des angles.

• Construire un carré ou un rectangle :
  1. Tracez un premier côté $[AB]$.
  2. À partir de A et B, tracez des perpendiculaires à $[AB]$ avec l'équerre (ce seront les futurs angles droits).
  3. Reportez les longueurs des autres côtés avec la règle ou le compas sur ces perpendiculaires.
  4. Reliez les derniers points pour fermer la figure.
• Utilisation des instruments de géométrie : La règle, l'équerre et le compas sont essentiels pour garantir la précision.

• Un cercle est une figure plane formée par tous les points situés à la même distance d'un point fixe appelé le centre.
• Le centre : Le point central du cercle (par exemple, O).
• Le rayon : La distance entre le centre et n'importe quel point du cercle. Tous les rayons d'un même cercle ont la même longueur.
• Le diamètre : Un segment qui passe par le centre et relie deux points opposés du cercle. Un diamètre est égal à deux fois le rayon ($D = 2 \times R$).
• Une corde : Un segment qui relie deux points du cercle, sans forcément passer par le centre. Le diamètre est la plus grande corde.
• Un arc de cercle : Une partie du cercle, délimitée par deux points sur le cercle.

On utilise le compas pour tracer un cercle.

• Tracer un cercle de rayon donné (par exemple, 3 cm) :
  1. Écartez les branches du compas de la longueur du rayon souhaité (3 cm) à l'aide d'une règle.
  2. Plantez la pointe sèche du compas à l'endroit où vous voulez le centre du cercle.
  3. Faites pivoter le compas en maintenant la pointe sèche fixe pour dessiner le cercle avec la mine.
• Tracer un cercle de diamètre donné (par exemple, 8 cm) :
  1. Calculez le rayon : $R = D \div 2 = 8 \div 2 = 4$ cm.
  2. Procédez comme pour tracer un cercle de rayon 4 cm.

• Le disque est la surface plane à l'intérieur du cercle, y compris le cercle lui-même.
• La différence entre cercle et disque : Le cercle est seulement le "contour", la ligne. Le disque est la "surface pleine" délimitée par le cercle.
• Exemples concrets : Une bague est un cercle. Une pièce de monnaie est un disque.