Lintegration

Historiquement, le concept d'intégration est né du désir de calculer l'aire d'une surface délimitée par une courbe, l'axe des abscisses et deux droites verticales. Pour les figures simples (rectangles, triangles), c'est facile. Mais pour des courbes complexes, cela devient un défi.

Pour résoudre ce problème, les mathématiciens ont eu l'idée d'approximer l'aire sous la courbe par une somme d'aires de rectangles.

• Approximation par rectangles : On divise l'intervalle $[a, b]$ en $n$ sous-intervalles de même largeur $\Delta x = \frac{b-a}{n}$. Sur chaque sous-intervalle, on construit un rectangle dont la hauteur est la valeur de la fonction à un point choisi (par exemple, le point le plus à gauche, le plus à droite ou le milieu).

  • Si on prend la hauteur au début du sous-intervalle, on parle de somme de Riemann inférieure.
  • Si on prend la hauteur à la fin du sous-intervalle, on parle de somme de Riemann supérieure.

• Sommes de Riemann : Ce sont les sommes des aires de ces rectangles. Plus le nombre de rectangles $n$ est grand (et donc plus $\Delta x$ est petit), meilleure est l'approximation de l'aire réelle.

  • Exemple de somme de Riemann : $\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$, où $x_i^*$ est un point choisi dans le $i$-ème sous-intervalle.

• Limite des sommes : L'idée géniale est de considérer ce qui se passe lorsque le nombre de rectangles tend vers l'infini ($n \to \infty$). Dans ce cas, la largeur de chaque rectangle $\Delta x$ tend vers zéro. La somme des aires des rectangles tend alors vers l'aire exacte sous la courbe. $\text{Aire} = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$ Cette limite, lorsqu'elle existe, est ce que l'on appelle l'intégrale définie.

L'intégrale définie d'une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a, b]$ est l'aire de la région délimitée par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites verticales $x=a$ et $x=b$.

• Notation $\int$ : L'intégrale définie est notée $\int_a^b f(x) dx$.

  • Le symbole $\int$ est une S stylisée, rappelant la "somme" des aires infiniment petites.
  • $a$ et $b$ sont les bornes d'intégration.
  • $f(x)$ est la fonction intégrée (ou intégrand).
  • $dx$ indique que l'intégration se fait par rapport à la variable $x$. C'est l'équivalent de notre $\Delta x$ lorsque sa taille devient infinitésimale.

• Fonction continue sur un intervalle : Pour que l'intégrale définie existe, la fonction $f$ doit être continue sur l'intervalle d'intégration $[a, b]$. La continuité garantit que la limite des sommes de Riemann existe et est unique.

  • Si $f(x) \ge 0$ sur $[a, b]$, alors $\int_a^b f(x) dx$ représente l'aire sous la courbe.
  • Si $f(x) \le 0$ sur $[a, b]$, alors $\int_a^b f(x) dx$ est l'opposé de l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses.
  • Si $f(x)$ change de signe, l'intégrale représente une "aire algébrique" (la somme des aires positives moins la somme des aires négatives).

L'intégrale définie possède plusieurs propriétés importantes qui simplifient les calculs.

• Linéarité : L'intégration est une opération linéaire.

  • Pour toutes fonctions continues $f$ et $g$ sur $[a, b]$, et pour tout réel $k$ :
    1. $\int_a^b (f(x) + g(x)) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$ (additivité)
    2. $\int_a^b k \cdot f(x) dx = k \cdot \int_a^b f(x) dx$ (homogénéité)
  • En d'autres termes, on peut séparer les sommes et sortir les constantes multipliées.

• Relation de Chasles : Cette propriété est très utile pour découper un intervalle d'intégration.

  • Pour toute fonction continue $f$ sur un intervalle $I$ et pour tous réels $a, b, c \in I$ : $\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx$
  • L'ordre des bornes n'a pas d'importance : $\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx$. Si $a=b$, alors $\int_a^a f(x) dx = 0$.

• Positivité et comparaison :

  • Positivité : Si $f(x) \ge 0$ pour tout $x \in [a, b]$ avec $a \le b$, alors $\int_a^b f(x) dx \ge 0$.
  • Monotonie (Comparaison) : Si $f(x) \le g(x)$ pour tout $x \in [a, b]$ avec $a \le b$, alors $\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx$.
  • Encadrement : Si $m \le f(x) \le M$ pour tout $x \in [a, b]$ avec $a \le b$, alors $m(b-a) \le \int_a^b f(x) dx \le M(b-a)$. Cette propriété est à la base du calcul de la valeur moyenne.

Une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ telle que pour tout $x \in I$, la dérivée de $F$ est égale à $f(x)$. $F'(x) = f(x)$

• Fonction dérivable : Pour que $F$ soit une primitive de $f$, $F$ doit être dérivable sur l'intervalle $I$.
• Dérivée inverse : Trouver une primitive, c'est en quelque sorte "faire l'opération inverse de la dérivation". C'est pourquoi on parle aussi d'intégration indéfinie pour désigner la recherche de primitives.
• Constante d'intégration : Si $F$ est une primitive de $f$, alors $F(x) + C$ est aussi une primitive de $f$ pour toute constante réelle $C$. En effet, la dérivée d'une constante est 0.
  • Donc, une fonction donnée possède une infinité de primitives, qui diffèrent toutes d'une constante. C'est pourquoi on écrit souvent $\int f(x) dx = F(x) + C$.

• Théorème d'existence : Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur cet intervalle. C'est un résultat fondamental qui assure que nous pouvons toujours trouver des primitives pour les fonctions courantes.

• Famille de primitives : Comme mentionné, si $F_1$ et $F_2$ sont deux primitives d'une même fonction $f$ sur un intervalle $I$, alors il existe une constante réelle $C$ telle que $F_1(x) = F_2(x) + C$ pour tout $x \in I$. Toutes les primitives d'une fonction diffèrent d'une constante.

• Condition initiale : Pour déterminer une primitive unique parmi la famille de primitives, on a besoin d'une condition initiale. Par exemple, si on sait que $F(x_0) = y_0$ pour un certain point $(x_0, y_0)$, alors la constante $C$ est déterminée de manière unique.

  • Exemple : Trouver la primitive $F$ de $f(x) = 2x$ telle que $F(1) = 5$.
    • Les primitives de $f(x) = 2x$ sont $F(x) = x^2 + C$.
    • Avec la condition $F(1) = 5$, on a $1^2 + C = 5$, donc $1 + C = 5$, ce qui donne $C=4$.
    • La primitive unique est $F(x) = x^2 + 4$.

C'est LE lien crucial entre la dérivation et l'intégration, et il est essentiel pour le calcul des intégrales définies.

• Lien intégrale-primitive : Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ et si $F$ est une primitive de $f$ sur cet intervalle, alors l'intégrale définie de $f$ de $a$ à $b$ est donnée par : $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ Cette formule est souvent notée $[F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.

• Calcul de l'intégrale définie : Ce théorème transforme le problème de l'intégration (somme de rectangles) en un problème de recherche de primitive. Au lieu de calculer une limite complexe, il suffit de trouver une primitive de la fonction et d'évaluer cette primitive aux bornes.

  • Exemple : Calculer $\int_1^2 x^2 dx$.
    • Une primitive de $f(x) = x^2$ est $F(x) = \frac{x^3}{3}$.
    • Donc, $\int_1^2 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

• Formule de Leibniz-Newton : C'est le nom donné à cette formule fondamentale. Elle est capitale car elle montre que les deux branches du calcul (différentiel et intégral) sont intrinsèquement liées.

Pour appliquer le théorème fondamental, il est indispensable de connaître les primitives des fonctions de base. Il faut connaître ce tableau par cœur !

Important : Le " $+ C$" est essentiel pour les primitives, mais il disparaît lors du calcul d'une intégrale définie car $F(b)+C - (F(a)+C) = F(b)-F(a)$.

C'est la technique la plus simple et la plus courante. Elle consiste à reconnaître des formes dérivées connues et à "remonter" à la fonction d'origine.

• Formes $u'u^n$ : Si la fonction est de la forme $u'(x) [u(x)]^n$, sa primitive est $\frac{[u(x)]^{n+1}}{n+1} + C$, pour $n \ne -1$.

  • Exemple : $\int 2x(x^2+1)^3 dx$. Ici $u(x) = x^2+1$, donc $u'(x) = 2x$. On a la forme $u'u^3$.
    • Primitive : $\frac{(x^2+1)^4}{4} + C$.

• Formes $u'/u$ : Si la fonction est de la forme $\frac{u'(x)}{u(x)}$, sa primitive est $\ln|u(x)| + C$.

  • Exemple : $\int \frac{2x}{x^2+1} dx$. Ici $u(x) = x^2+1$, $u'(x) = 2x$. On a la forme $u'/u$.
    • Primitive : $\ln(x^2+1) + C$ (pas besoin de valeur absolue car $x^2+1 > 0$).

• Formes $u'e^u$ : Si la fonction est de la forme $u'(x) e^{u(x)}$, sa primitive est $e^{u(x)} + C$.

  • Exemple : $\int 2x e^{x^2} dx$. Ici $u(x) = x^2$, $u'(x) = 2x$. On a la forme $u'e^u$.
    • Primitive : $e^{x^2} + C$.

Ces formules sont très puissantes et couvrent un grand nombre de cas. Il faut s'entraîner à les reconnaître !

L'intégration par parties est une technique cruciale pour intégrer des produits de fonctions ou des fonctions dont la primitive n'est pas évidente (comme $\ln x$ ou $\arctan x$). Elle est basée sur la formule de dérivation d'un produit : $(uv)' = u'v + uv'$.

• Formule de l'IPP : En intégrant les deux côtés de $(uv)' = u'v + uv'$, on obtient : $\int (uv)' dx = \int u'v dx + \int uv' dx$ $uv = \int v du + \int u dv$ En réarrangeant, on obtient la formule de l'IPP (pour les intégrales indéfinies) : $\int u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - \int u'(x) v(x) dx$ Pour les intégrales définies : $\int_a^b u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) dx$

• Choix de $u$ et $v'$ : Le succès de l'IPP dépend du bon choix de $u(x)$ et $v'(x)$. L'objectif est de rendre l'intégrale $\int u'(x) v(x) dx$ plus simple à calculer que l'intégrale de départ.

  • Règle mnémonique (LIATE) : Pour choisir $u$, on privilégie dans l'ordre :
    1. Logarithmique ($\ln x$)
    2. Inverse trigonométrique ($\arctan x$)
    3. Algébrique ($x^n$)
    4. Trigonométrique ($\sin x, \cos x$)
    5. Exponentielle ($e^x$)
  • C'est généralement $u$ qui est la fonction qui se "simplifie" par dérivation, et $v'$ celle dont on sait trouver facilement une primitive.

• Applications typiques :

  • $\int x e^x dx$ (choisir $u=x$, $v'=e^x$)
  • $\int \ln x dx$ (choisir $u=\ln x$, $v'=1$)
  • $\int x \cos x dx$ (choisir $u=x$, $v'=\cos x$)

Cette technique consiste à transformer l'intégrale en une nouvelle intégrale avec une nouvelle variable, souvent plus simple à calculer.

• Substitution : Si l'on a une intégrale de la forme $\int f(g(x)) g'(x) dx$, on peut poser $u = g(x)$. Alors $du = g'(x) dx$. L'intégrale devient $\int f(u) du$.

  • C'est en fait la généralisation des formes $u'u^n$, $u'/u$, $u'e^u$.

• Modification des bornes : Si l'intégrale est définie, il est crucial de changer les bornes d'intégration en fonction de la nouvelle variable $u$.

  • Si $x=a$, alors $u = g(a)$.
  • Si $x=b$, alors $u = g(b)$.
  • L'intégrale devient $\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du$.

• Intégrales définies et indéfinies :

  • Pour les intégrales indéfinies, après avoir calculé $\int f(u) du = F(u) + C$, on remplace $u$ par $g(x)$ pour revenir à la variable d'origine : $F(g(x)) + C$.

  • Pour les intégrales définies, une fois les bornes changées, on calcule l'intégrale en $u$ et on évalue aux nouvelles bornes. Il n'est pas nécessaire de revenir à la variable $x$.

  • Exemple : Calculer $\int_0^1 (2x+1)^3 dx$.

    • Posons $u = 2x+1$. Alors $du = 2 dx$, donc $dx = \frac{1}{2} du$.
    • Changement des bornes :
      • Si $x=0$, $u = 2(0)+1 = 1$.
      • Si $x=1$, $u = 2(1)+1 = 3$.
    • L'intégrale devient $\int_1^3 u^3 \left(\frac{1}{2} du\right) = \frac{1}{2} \int_1^3 u^3 du$.
    • $\frac{1}{2} \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^3 = \frac{1}{2} \left(\frac{3^4}{4} - \frac{1^4}{4}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{81}{4} - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{80}{4} = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$.

C'est l'application la plus intuitive et directe de l'intégrale définie.

• Aire entre une courbe et l'axe des abscisses :

  • Si $f(x) \ge 0$ sur $[a, b]$, l'aire est $A = \int_a^b f(x) dx$.
  • Si $f(x) \le 0$ sur $[a, b]$, l'aire est $A = - \int_a^b f(x) dx = \int_a^b |f(x)| dx$.
  • Si $f(x)$ change de signe sur $[a, b]$, il faut découper l'intervalle en sous-intervalles où $f(x)$ garde un signe constant et sommer les aires positives.
    • L'aire est toujours une valeur positive. Si le calcul direct de l'intégrale donne un résultat négatif, c'est que la courbe est sous l'axe des abscisses.

• Aire entre deux courbes : L'aire $A$ entre les courbes de deux fonctions $f(x)$ et $g(x)$ sur un intervalle $[a, b]$ est donnée par : $A = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$

  • Si $f(x) \ge g(x)$ sur $[a, b]$, alors $A = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$.
  • Il est souvent utile de tracer les courbes pour déterminer quelle fonction est "au-dessus" de l'autre. Les points d'intersection des courbes sont les bornes d'intégration.

• Unités d'aire : L'aire est exprimée en "unités d'aire" (u.a.) qui dépendent des unités choisies pour les axes. Si l'unité sur l'axe des abscisses est 1 cm et sur l'axe des ordonnées est 1 cm, alors 1 u.a. = 1 cm$^2$.

L'intégrale permet de calculer la valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle.

• Définition de la valeur moyenne : Pour une fonction $f$ continue sur $[a, b]$, sa valeur moyenne $\bar{f}$ (ou $m$) est donnée par : $\bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$

• Interprétation graphique : La valeur moyenne $\bar{f}$ est la hauteur du rectangle de base $(b-a)$ qui a la même aire que l'aire sous la courbe de $f$ sur l'intervalle $[a, b]$.

  • Il existe toujours un point $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = \bar{f}$ (Théorème de la moyenne).

• Applications physiques :

  • Température moyenne sur une période.
  • Vitesse moyenne d'un objet dont la vitesse varie.
  • Puissance électrique moyenne.

L'intégration peut être utilisée pour calculer le volume de solides complexes, notamment les solides de révolution. Un solide de révolution est obtenu en faisant tourner une surface plane autour d'un axe.

• Méthode des disques : Si une région plane délimitée par $y = f(x)$, l'axe des abscisses, $x=a$ et $x=b$ tourne autour de l'axe des abscisses, le volume du solide de révolution est donné par : $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$ On somme les volumes de disques infinitésimaux de rayon $f(x)$ et d'épaisseur $dx$.

• Rotation autour d'un axe :

  • Autour de l'axe des abscisses : $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$.
  • Autour de l'axe des ordonnées (plus complexe, nécessite une inversion de la fonction ou la méthode des cylindres).

• Formules spécifiques : Des formules similaires existent pour la rotation de régions entre deux courbes ou autour d'autres axes. Par exemple, le volume d'une sphère peut être obtenu en faisant tourner un demi-cercle.

  • Exemple : Volume d'un cône de rayon $R$ et hauteur $H$. Il est généré par la rotation de la droite $y = \frac{R}{H}x$ de $x=0$ à $x=H$ autour de l'axe des abscisses. $V = \pi \int_0^H \left(\frac{R}{H}x\right)^2 dx = \pi \frac{R^2}{H^2} \int_0^H x^2 dx = \pi \frac{R^2}{H^2} \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^H = \pi \frac{R^2}{H^2} \frac{H^3}{3} = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

Pour une fonction $f$ continue, positive et décroissante sur $[n, +\infty[$, il existe un lien entre $\int_n^{n+1} f(x) dx$ et $f(n)$ ou $f(n+1)$.

• Encadrement d'une somme par des intégrales : Si $f$ est une fonction continue, positive et décroissante sur $[n, N]$ (où $n, N$ sont des entiers), alors : $\int_n^{N+1} f(x) dx \le \sum_{k=n}^N f(k) \le f(n) + \int_n^N f(x) dx$ Et plus précisément, pour tout entier $n \ge 1$: $\int_n^{n+1} f(x) dx \le f(n) \le \int_{n-1}^{n} f(x) dx \quad (\text{pour } f \text{ décroissante})$ Si $f$ est continue, positive et croissante sur $[n, N]$, alors : $f(n) + \int_n^N f(x) dx \le \sum_{k=n}^N f(k) \le \int_{n+1}^{N+1} f(x) dx$

• Estimation de sommes : Cet encadrement permet d'estimer des sommes difficiles à calculer directement, comme les sommes partielles de séries. C'est très utile pour des sommes de type $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ (série harmonique) ou $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$.

• Critère de convergence : Pour les séries à termes positifs, l'intégrale peut aider à déterminer la nature d'une série. Si $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ converge, alors $\sum f(k)$ converge (sous certaines conditions de monotonie et positivité de f). C'est le critère de convergence intégrale.

Certaines suites sont définies par une intégrale qui dépend de $n$. Par exemple, $I_n = \int_a^b f_n(x) dx$ ou $I_n = \int_a^n f(x) dx$ ou $I_n = \int_0^1 x^n e^x dx$.

• Calcul des premiers termes : Pour comprendre le comportement de la suite, il est souvent demandé de calculer les premiers termes $I_0, I_1, I_2$. Cela implique de calculer les intégrales pour des valeurs spécifiques de $n$.

• Étude de la monotonie : Pour étudier si la suite $(I_n)$ est croissante ou décroissante, on peut étudier le signe de $I_{n+1} - I_n$.

  • Exemple : Pour $I_n = \int_0^1 x^n e^x dx$, on a $I_{n+1} - I_n = \int_0^1 x^{n+1} e^x dx - \int_0^1 x^n e^x dx = \int_0^1 (x^{n+1} e^x - x^n e^x) dx = \int_0^1 x^n e^x (x-1) dx$.
    • Sur $[0, 1]$, $x^n e^x \ge 0$ et $(x-1) \le 0$. Donc l'intégrand est négatif ou nul.
    • Par positivité de l'intégrale (ici sur un intervalle où l'intégrand est négatif), $I_{n+1} - I_n \le 0$. La suite $(I_n)$ est donc décroissante.

• Convergence de la suite : Pour étudier la convergence d'une suite $(I_n)$, on peut utiliser plusieurs méthodes :

  • Encadrement : Trouver deux suites convergentes qui encadrent $(I_n)$ (théorème des gendarmes).
  • Monotonie et bornes : Si la suite est monotone et bornée, elle converge.
  • Calcul direct de la limite : Parfois, il est possible de calculer directement $\lim_{n \to \infty} I_n$.
  • IPP réitérée : Dans certains cas (comme les intégrales de Wallis ou de fonctions puissances et exponentielles/trigonométriques), une IPP peut donner une relation de récurrence entre $I_n$ et $I_{n-1}$ ou $I_{n-2}$, qui aide à l'étude de la convergence.

L'intégration est un outil polyvalent et puissant, indispensable pour qui veut comprendre le monde quantitatif. Maîtriser ses calculs et ses applications est une compétence clé en mathématiques.