Les limites de fonctions

La notion de limite de fonction est fondamentale en analyse et permet de décrire le comportement d'une fonction lorsque sa variable s'approche d'une certaine valeur, ou devient très grande (tend vers l'infini) ou très petite (tend vers moins l'infini).

Intuitivement, la limite correspond à la valeur vers laquelle "tend" $f(x)$.

• Comportement d'une fonction à l'infini : On s'intéresse à ce qui se passe pour $f(x)$ lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes ($x \to +\infty$) ou de plus en plus petites ($x \to -\infty$).
  • Exemple : Si $f(x) = \frac{1}{x}$, quand $x$ devient très grand, $f(x)$ devient très petit et s'approche de 0. On dit que la limite de $f(x)$ quand $x \to +\infty$ est 0. $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$
• Comportement d'une fonction en un point : On regarde ce que devient $f(x)$ lorsque $x$ s'approche d'une valeur réelle $a$.
  • Exemple : Si $f(x) = x^2$, quand $x$ s'approche de 2, $f(x)$ s'approche de $2^2 = 4$. On dit que la limite de $f(x)$ quand $x \to 2$ est 4. $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$

• Asymptote horizontale : Si la courbe de la fonction se rapproche d'une droite horizontale $y=L$ lorsque $x \to \pm \infty$, alors $L$ est la limite de la fonction à l'infini.
  • Exemple : La fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ a une asymptote horizontale d'équation $y=0$ en $+\infty$ et $-\infty$.
• Asymptote verticale : Si la courbe de la fonction "monte" ou "descend" indéfiniment le long d'une droite verticale $x=a$ lorsque $x$ s'approche de $a$, alors la limite en $a$ est $\pm \infty$.
  • Exemple : La fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ a une asymptote verticale d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées). Quand $x \to 0^+$, $f(x) \to +\infty$. Quand $x \to 0^-$, $f(x) \to -\infty$.

Il est essentiel de connaître les limites des fonctions de référence.

• Limites des fonctions affines : $f(x) = ax+b$
  • Si $a > 0$: $\lim_{x \to +\infty} (ax+b) = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} (ax+b) = -\infty$.
  • Si $a < 0$: $\lim_{x \to +\infty} (ax+b) = -\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} (ax+b) = +\infty$.
  • Si $a = 0$: $\lim_{x \to \pm\infty} (b) = b$.
  • En un point $x_0$: $\lim_{x \to x_0} (ax+b) = ax_0+b$.
• Limites des fonctions puissances : $f(x) = x^n$ où $n \in \mathbb{N}^*$
  • $\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty$.
  • Si $n$ est pair : $\lim_{x \to -\infty} x^n = +\infty$.
  • Si $n$ est impair : $\lim_{x \to -\infty} x^n = -\infty$.
  • Pour $f(x) = \frac{1}{x^n}$ ($n \in \mathbb{N}^*$):
    • $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0$.
    • $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^n} = 0$.
    • $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^n} = +\infty$.
    • $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^n} = \pm\infty$ (dépend de la parité de $n$). Si $n$ est pair, c'est $+\infty$. Si $n$ est impair, c'est $-\infty$.
• Limites des fonctions exponentielles : $f(x) = e^x$
  • $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.
  • $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.
  • En un point $x_0$: $\lim_{x \to x_0} e^x = e^{x_0}$.
• Limites des fonctions logarithmes : $f(x) = \ln(x)$ (définie pour $x > 0$)
  • $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$.
  • $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$.
  • En un point $x_0 > 0$: $\lim_{x \to x_0} \ln(x) = \ln(x_0)$.

Quand on parle de limite à l'infini, on s'intéresse au comportement de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$.

• Définition formelle (non exigée au lycée) :

  • $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ signifie que pour tout $\epsilon > 0$, il existe un réel $A$ tel que si $x > A$, alors $|f(x) - L| < \epsilon$.
  • $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ signifie que pour tout $M > 0$, il existe un réel $A$ tel que si $x > A$, alors $f(x) > M$. Ces définitions précises sont utiles pour prouver des théorèmes, mais pour les calculs, on utilise les propriétés et les fonctions usuelles.

• Interprétation graphique (asymptote horizontale) : Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ (où $L$ est un nombre réel), alors la droite d'équation $y=L$ est une asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $\pm\infty$. Cela signifie que la courbe "se rapproche" de cette droite sans jamais la toucher (ou en la touchant un nombre fini de fois).

• Calcul de limites de fonctions polynomiales à l'infini : Pour une fonction polynomiale $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, la limite à l'infini est donnée par la limite de son terme de plus haut degré. $\lim_{x \to \pm\infty} P(x) = \lim_{x \to \pm\infty} a_n x^n$ Exemple : $\lim_{x \to +\infty} (3x^3 - 2x^2 + 5) = \lim_{x \to +\infty} 3x^3 = +\infty$. Exemple : $\lim_{x \to -\infty} (-x^4 + x) = \lim_{x \to -\infty} (-x^4) = -\infty$.

• Calcul de limites de fonctions rationnelles à l'infini : Une fonction rationnelle est un quotient de deux polynômes, $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$. Pour calculer la limite à l'infini d'une fonction rationnelle, on prend la limite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{P(x)}{Q(x)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\text{terme de plus haut degré de } P(x)}{\text{terme de plus haut degré de } Q(x)}$ Exemple : $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + 5x - 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} 2 = 2$. Exemple : $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 + 1}{x^2 - 4} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \to -\infty} x = -\infty$. Exemple : $\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 1}{x^2 + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$.

Les règles suivantes s'appliquent lorsque les limites existent et ne mènent pas à une forme indéterminée. $L$ et $L'$ désignent des limites finies, $\infty$ représente $+\infty$ ou $-\infty$.

• Règles de calcul pour la somme :

  $\lim_{x \to a} f(x)$	$\lim_{x \to a} g(x)$	$\lim_{x \to a} (f(x) + g(x))$
  $L$	$L'$	$L + L'$
  $L$	$+\infty$	$+\infty$
  $L$	$-\infty$	$-\infty$
  $+\infty$	$+\infty$	$+\infty$
  $-\infty$	$-\infty$	$-\infty$
  $+\infty$	$-\infty$	Forme Indéterminée

  Exemple : $\lim_{x \to +\infty} (e^x + x) = (+\infty) + (+\infty) = +\infty$. Exemple : $\lim_{x \to -\infty} (e^x + x) = (0) + (-\infty) = -\infty$.

• Règles de calcul pour le produit :

  $\lim_{x \to a} f(x)$	$\lim_{x \to a} g(x)$	$\lim_{x \to a} (f(x) \times g(x))$
  $L$	$L'$	$L L'$
  $L \neq 0$	$\pm\infty$	$\pm\infty$ (règle des signes)
  $+\infty$	$+\infty$	$+\infty$
  $-\infty$	$-\infty$	$+\infty$
  $+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
  $0$	$\pm\infty$	Forme Indéterminée

  Exemple : $\lim_{x \to +\infty} (x^2 \times e^x) = (+\infty) \times (+\infty) = +\infty$. Exemple : $\lim_{x \to -\infty} (x \times e^x)$ est une forme indéterminée $0 \times (-\infty)$. Il faut utiliser des croissances comparées. On sait que $\lim_{x \to -\infty} x e^x = 0$.

• Cas des formes indéterminées (+∞ - ∞) : Cela se produit souvent avec des polynômes ou des fonctions avec racines.

  • Pour les polynômes, on factorise par le terme de plus haut degré. Exemple : $\lim_{x \to +\infty} (x^2 - x) = \lim_{x \to +\infty} x^2(1 - \frac{1}{x}) = (+\infty)(1 - 0) = +\infty$.
  • Pour des expressions avec racines, on peut utiliser la quantité conjuguée. (Voir section "Techniques de levée des formes indéterminées").

• Cas des formes indéterminées (0 × ∞) : On essaie souvent de réécrire le produit en quotient, ou d'utiliser les croissances comparées. Exemple : $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x)$. C'est une forme indéterminée $0 \times (-\infty)$. On sait par croissance comparée que cette limite est 0.

• Règles de calcul pour le quotient :

  $\lim_{x \to a} f(x)$	$\lim_{x \to a} g(x)$	$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$
  $L$	$L'$ ($L' \neq 0$)	$\frac{L}{L'}$
  $L \neq 0$	$\pm\infty$	$0$
  $L$	$0$ (avec $g(x) > 0$)	$\pm\infty$ (règle des signes)
  $L$	$0$ (avec $g(x) < 0$)	$\pm\infty$ (règle des signes)
  $\pm\infty$	$L' \neq 0$	$\pm\infty$ (règle des signes)
  $\pm\infty$	$\pm\infty$	Forme Indéterminée
  $0$	$0$	Forme Indéterminée

• Cas des formes indéterminées (∞ / ∞) : On rencontre cette forme principalement avec les fonctions rationnelles à l'infini (voir section 1.3) ou avec des fonctions exponentielles/logarithmes.

  • Pour les fonctions rationnelles : on utilise le quotient des termes de plus haut degré.
  • Pour les fonctions avec $e^x$ ou $\ln(x)$ : on utilise les croissances comparées.
    • $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n > 0$. (L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$).
    • $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ pour tout $n > 0$. (Toute puissance de $x$ l'emporte sur le logarithme).
    • $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ pour tout $n > 0$.

• Cas des formes indéterminées (0 / 0) : Cette forme apparaît souvent lors du calcul de limites en un point.

  • On peut souvent factoriser et simplifier l'expression (voir section 4.1).
  • On peut utiliser la quantité conjuguée si des racines sont présentes (voir section 4.2).
  • Parfois, le taux d'accroissement et le nombre dérivé peuvent être utiles.

• Limite d'un quotient avec un dénominateur tendant vers 0 : C'est un cas particulier important qui donne des limites infinies. Si $\lim_{x \to a} f(x) = L \neq 0$ et $\lim_{x \to a} g(x) = 0$, alors $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ sera $\pm\infty$. Le signe dépend du signe de $L$ et du signe de $g(x)$ quand $x$ s'approche de $a$. Il est crucial d'étudier le signe du dénominateur $g(x)$ autour de $a$. Exemple : $\lim_{x \to 1} \frac{2x+1}{x-1}$.

  • Numérateur : $\lim_{x \to 1} (2x+1) = 3$.
  • Dénominateur : $\lim_{x \to 1} (x-1) = 0$.
  • Si $x \to 1^+$ (par valeurs supérieures à 1), $x-1 > 0$. Donc $\lim_{x \to 1^+} \frac{2x+1}{x-1} = \frac{3}{0^+} = +\infty$.
  • Si $x \to 1^-$ (par valeurs inférieures à 1), $x-1 < 0$. Donc $\lim_{x \to 1^-} \frac{2x+1}{x-1} = \frac{3}{0^-} = -\infty$.

• Règle de la limite d'une fonction composée : Soient trois fonctions $f$, $g$ et $h$ telles que $h(x) = g(f(x))$. Si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ et $\lim_{y \to L} g(y) = M$, alors $\lim_{x \to a} g(f(x)) = M$. Ici, $a$ peut être un réel ou $\pm\infty$, et $L, M$ peuvent être des réels ou $\pm\infty$. On calcule d'abord la limite de la fonction "intérieure" $f$, puis la limite de la fonction "extérieure" $g$ en la limite trouvée pour $f$.

  Exemple : Calculer $\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2}$.

  1. On pose $u(x) = -x^2$. $\lim_{x \to +\infty} u(x) = \lim_{x \to +\infty} (-x^2) = -\infty$.
  2. On cherche $\lim_{u \to -\infty} e^u = 0$. Donc, $\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2} = 0$.

• Application aux fonctions trigonométriques : Exemple : $\lim_{x \to +\infty} \cos(\frac{1}{x})$.

  1. Posons $u(x) = \frac{1}{x}$. $\lim_{x \to +\infty} u(x) = 0$.
  2. On cherche $\lim_{u \to 0} \cos(u) = \cos(0) = 1$. Donc, $\lim_{x \to +\infty} \cos(\frac{1}{x}) = 1$.

• Application aux fonctions exponentielles et logarithmes : Exemple : $\lim_{x \to 0^+} \ln(1+x)$.

  1. Posons $u(x) = 1+x$. $\lim_{x \to 0^+} u(x) = 1$.
  2. On cherche $\lim_{u \to 1} \ln(u) = \ln(1) = 0$. Donc, $\lim_{x \to 0^+} \ln(1+x) = 0$.

• Définition de la limite en un point : On dit que $f$ a pour limite $L$ en $a$ si lorsque $x$ s'approche de $a$ (sans être égal à $a$), $f(x)$ s'approche de $L$. On note $\lim_{x \to a} f(x) = L$.

• Continuité et limite : Si une fonction $f$ est continue en un point $a$, alors la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ est simplement $f(a)$. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ C'est le cas pour la plupart des fonctions usuelles (polynômes, exponentielles, logarithmes sur leur domaine de définition, fonctions trigonométriques) en tout point où elles sont définies.

• Calcul direct par substitution : Si $f$ est continue en $a$, il suffit de remplacer $x$ par $a$ dans l'expression de $f(x)$. Exemple : $\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 5) = 3^2 - 2(3) + 5 = 9 - 6 + 5 = 8$. Exemple : $\lim_{x \to \pi} \sin(x) = \sin(\pi) = 0$.

• Factorisation pour lever l'indétermination : Si la substitution directe mène à une forme indéterminée 0/0, il faut souvent factoriser le numérateur et le dénominateur pour simplifier l'expression. Exemple : $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x-2}$. En remplaçant $x$ par 2, on obtient $\frac{0}{0}$. On factorise le numérateur : $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Donc, $\frac{x^2 - 4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$ (pour $x \neq 2$). La limite devient $\lim_{x \to 2} (x+2) = 2+2 = 4$.

• Définition de la limite infinie en un point : On dit que $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ (on note $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$) si lorsque $x$ s'approche de $a$, $f(x)$ prend des valeurs de plus en plus grandes. De même pour $-\infty$.

• Interprétation graphique (asymptote verticale) : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, alors la droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de $f$. La courbe se rapproche de cette droite de manière "verticale" sans jamais l'atteindre.

• Calcul de limites de fonctions rationnelles en un point : Ces limites infinies apparaissent souvent quand le dénominateur d'une fonction rationnelle tend vers 0, tandis que le numérateur tend vers une valeur non nulle. Il est impératif d'étudier le signe du dénominateur pour déterminer si la limite est $+\infty$ ou $-\infty$.

• Distinction entre limite à gauche et limite à droite : Pour une limite en un point $a$ où le dénominateur s'annule, il est souvent nécessaire de calculer les limites unilatérales :

  • $\lim_{x \to a^+} f(x)$ : limite lorsque $x$ s'approche de $a$ par des valeurs supérieures à $a$.
  • $\lim_{x \to a^-} f(x)$ : limite lorsque $x$ s'approche de $a$ par des valeurs inférieures à $a$. Si ces deux limites sont différentes (ou si l'une est $+\infty$ et l'autre $-\infty$), alors la limite "globale" en $a$ n'existe pas.

  Exemple : $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$.

  • $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ (car $x > 0$)
  • $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ (car $x < 0$) La limite en 0 n'existe pas, mais la droite $x=0$ est une asymptote verticale.

Les fonctions rationnelles sont des cas d'étude privilégiés pour les limites en un point.

• Recherche des valeurs interdites : Ce sont les valeurs de $x$ pour lesquelles le dénominateur s'annule. Ces valeurs sont de potentiels emplacements d'asymptotes verticales. Exemple : Pour $f(x) = \frac{x+1}{x-2}$, la valeur interdite est $x=2$.

• Détermination des asymptotes verticales : Pour chaque valeur $a$ qui annule le dénominateur (mais pas le numérateur), on calcule les limites à gauche et à droite en $a$. Si au moins l'une d'elles est infinie, alors $x=a$ est une asymptote verticale. Exemple : Pour $f(x) = \frac{x+1}{x-2}$ en $x=2$:

  • $\lim_{x \to 2^+} (x-2) = 0^+$ et $\lim_{x \to 2^+} (x+1) = 3$. Donc $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$.
  • $\lim_{x \to 2^-} (x-2) = 0^-$ et $\lim_{x \to 2^-} (x+1) = 3$. Donc $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$. La droite $x=2$ est une asymptote verticale.

• Étude du signe du dénominateur : C'est une étape cruciale pour déterminer le signe de l'infini. On utilise un tableau de signes pour le dénominateur. Exemple : Pour $g(x) = \frac{x^2+1}{x^2-1}$. Les valeurs interdites sont $x=1$ et $x=-1$. Le dénominateur $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.

  $x$	$-\infty$	$-1$	$1$	$+\infty$
  $x+1$	$-$	$0$	$+$	$+$
  $x-1$	$-$	$-$	$0$	$+$
  $x^2-1$	$+$	$0$	$0$	$+$
  $x^2+1$	$+$	$+$	$+$	$+$
  $g(x)$	$+$	$\Vert +\infty$	$\Vert -\infty$	$+$
  $x \to -1^-$ : $\frac{2}{0^+} = +\infty$.
  $x \to -1^+$ : $\frac{2}{0^-} = -\infty$.
  $x \to 1^-$ : $\frac{2}{0^-} = -\infty$.
  $x \to 1^+$ : $\frac{2}{0^+} = +\infty$.
  Les droites $x=-1$ et $x=1$ sont des asymptotes verticales.

• Factorisation par le terme de plus haut degré : Utile pour les fonctions polynomiales et rationnelles à l'infini (revu en sections 1.3 et 2.2). Exemple : $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 2x^2 + 1) = \lim_{x \to +\infty} x^3(1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}) = +\infty \times (1 - 0 + 0) = +\infty$. Exemple : $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+x}{3x^2-1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2(1+\frac{1}{x})}{x^2(3-\frac{1}{x^2})} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1+\frac{1}{x}}{3-\frac{1}{x^2}} = \frac{1+0}{3-0} = \frac{1}{3}$.

• Factorisation de polynômes : Si on rencontre une FI de type $0/0$ en $a$, cela signifie que $a$ est une racine du numérateur et du dénominateur. On peut alors factoriser par $(x-a)$. Exemple : $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x-1}$. FI $0/0$. $x=1$ est une racine de $x^2+x-2$ (car $1^2+1-2=0$). Donc $(x-1)$ est un facteur. On peut faire une division polynomiale ou remarquer que $x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$. Alors $\frac{x^2 + x - 2}{x-1} = \frac{(x-1)(x+2)}{x-1} = x+2$ (pour $x \neq 1$). $\lim_{x \to 1} (x+2) = 3$.

• Simplification d'expressions rationnelles : Après factorisation, on peut simplifier les termes communs au numérateur et au dénominateur.

• Rappel sur l'expression conjuguée : La quantité conjuguée de $A+B$ est $A-B$, et vice-versa. La propriété clé est $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$. Ceci est particulièrement utile avec les racines carrées. La quantité conjuguée de $\sqrt{A}-\sqrt{B}$ est $\sqrt{A}+\sqrt{B}$. Leur produit est $(\sqrt{A})^2 - (\sqrt{B})^2 = A-B$.

• Application aux fonctions avec racines carrées : Cette technique est souvent utilisée pour lever la FI de type $+\infty - \infty$ ou $0/0$ impliquant des racines. Exemple : $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} - x)$. FI $(+\infty - \infty)$. Multiplions par la quantité conjuguée : $\sqrt{x^2+x} - x = \frac{(\sqrt{x^2+x} - x)(\sqrt{x^2+x} + x)}{\sqrt{x^2+x} + x}$ $= \frac{(x^2+x) - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x} + x}$ Maintenant, on a une FI $\infty/\infty$. On factorise par $x$ au numérateur et au dénominateur : $\frac{x}{\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x})} + x} = \frac{x}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x}} + x}$ Comme $x \to +\infty$, $x > 0$, donc $|x|=x$. $= \frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}} + x} = \frac{x}{x(\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1}$ Maintenant, on peut calculer la limite : $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

Ces théorèmes sont très utiles quand on ne peut pas calculer directement la limite ou lever une FI.

• Théorème des gendarmes (ou d'encadrement) : Soient $f, g, h$ trois fonctions définies sur un intervalle $I$ (ou un voisinage de $a$). Si pour tout $x \in I$, $g(x) \le f(x) \le h(x)$, et si $\lim_{x \to a} g(x) = L$ et $\lim_{x \to a} h(x) = L$ (avec $L$ un réel), alors $\lim_{x \to a} f(x) = L$. Ce théorème permet de "coincer" une fonction entre deux autres fonctions qui ont la même limite. Exemple : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x}$. On sait que pour tout $x \neq 0$, $-1 \le \sin(x) \le 1$. Pour $x > 0$, on divise par $x$ (qui est positif) : $\frac{-1}{x} \le \frac{\sin(x)}{x} \le \frac{1}{x}$. On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{x} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$. Donc, d'après le théorème des gendarmes, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x} = 0$.

• Théorème de comparaison :

  1. Si pour tout $x \in I$, $f(x) \ge g(x)$ et $\lim_{x \to a} g(x) = +\infty$, alors $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$.
  2. Si pour tout $x \in I$, $f(x) \le g(x)$ et $\lim_{x \to a} g(x) = -\infty$, alors $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$. Ce théorème permet de déduire une limite infinie si la fonction est "plus grande" qu'une fonction qui tend vers $+\infty$, ou "plus petite" qu'une fonction qui tend vers $-\infty$. Exemple : $\lim_{x \to +\infty} (x + \sin(x))$. On sait que $\sin(x) \ge -1$. Donc $x + \sin(x) \ge x - 1$. On sait que $\lim_{x \to +\infty} (x-1) = +\infty$. Donc, par comparaison, $\lim_{x \to +\infty} (x + \sin(x)) = +\infty$.

• Application aux fonctions trigonométriques : Les fonctions $\sin(x)$ et $\cos(x)$ sont bornées entre -1 et 1, ce qui les rend idéales pour les théorèmes d'encadrement ou de comparaison.

Une asymptote oblique est une droite $y = ax+b$ vers laquelle la courbe d'une fonction $f$ se rapproche lorsque $x \to \pm\infty$.

• Définition d'une asymptote oblique : La droite $D$ d'équation $y = ax+b$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}_f$ de $f$ en $+\infty$ (resp. $-\infty$) si $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0$ (resp. $\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0$).

• Recherche de l'équation $y = ax+b$ :

  1. Calcul de $a$ : $a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$. Si cette limite est un réel non nul, on continue. Si elle est 0 ou $\pm\infty$, il n'y a pas d'asymptote oblique (mais peut-être horizontale si $a=0$).
  2. Calcul de $b$ : $b = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - ax]$. Si cette limite est un réel, alors la droite $y=ax+b$ est une asymptote oblique.

• Interprétation graphique du comportement à l'infini : L'asymptote oblique décrit la direction générale que prend la courbe de la fonction lorsque $x$ devient très grand (ou très petit). La courbe "suit" la droite, ce qui donne une idée de son allure à l'infini. Exemple : Soit $f(x) = \frac{x^2+x+1}{x}$.

  1. $a = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+x+1}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) = 1$.
  2. $b = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - 1x] = \lim_{x \to +\infty} [\frac{x^2+x+1}{x} - x] = \lim_{x \to +\infty} [\frac{x^2+x+1 - x^2}{x}] = \lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{x} = \lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x}) = 1$. Donc la droite $y=x+1$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$ en $+\infty$ (et aussi en $-\infty$, vérifiez !).

L'étude des limites est une étape cruciale dans l'étude complète d'une fonction.

• Détermination du domaine de définition : On identifie les valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction est définie (pas de division par zéro, pas de racine carrée de nombre négatif, pas de $\ln$ de nombre négatif ou nul, etc.).

• Calcul des limites aux bornes du domaine :

  • Aux infinis ($\pm\infty$) s'ils font partie des bornes.
  • Aux points où la fonction n'est pas définie (valeurs interdites), où l'on cherchera des asymptotes verticales.

• Recherche des asymptotes (horizontales, verticales, obliques) :

  • Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ (réel), alors $y=L$ est une asymptote horizontale.
  • Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, alors $x=a$ est une asymptote verticale.
  • Si $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0$, alors $y=ax+b$ est une asymptote oblique.

• Esquisse de la courbe représentative : Les asymptotes donnent un "cadre" pour le tracé de la courbe. Elles indiquent le comportement de la fonction aux extrémités du domaine et aux points de discontinuité. Combinées à l'étude de la dérivée (sens de variation, extrema), elles permettent de tracer une courbe représentative très fidèle.

• Condition de continuité en un point : Une fonction $f$ est continue en un point $a$ si :

  1. $f(a)$ est défini.
  2. $\lim_{x \to a} f(x)$ existe et est finie.
  3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Intuitivement, une fonction est continue si l'on peut tracer sa courbe sans lever le crayon. Les points où une limite infinie ou une limite différente de $f(a)$ apparaît sont des points de discontinuité.

• Lien entre limite et nombre dérivé : Le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$, est défini par la limite du taux d'accroissement : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ ou de manière équivalente : $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ Si cette limite existe et est finie, la fonction est dérivable en $a$. La dérivabilité implique la continuité, mais l'inverse n'est pas vrai (ex: $|x|$ en 0 est continue mais non dérivable).

• Prolongement par continuité : Si une fonction $f$ n'est pas définie en $a$, mais que $\lim_{x \to a} f(x) = L$ (avec $L$ fini), on peut parfois "prolonger" la fonction par continuité en définissant $g(x) = f(x)$ pour $x \neq a$ et $g(a) = L$. La nouvelle fonction $g$ est alors continue en $a$. Exemple : $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$. $f$ n'est pas définie en 0. Cependant, on sait que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ (limite de référence). On peut prolonger $f$ par continuité en 0 en définissant $g(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ pour $x \neq 0$ et $g(0) = 1$. Cette nouvelle fonction $g$ est continue en 0.