Les suites numeriques

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels. Chaque nombre de la suite est appelé un terme. On note généralement une suite $(u_n)_{n \in I}$ où $I$ est un sous-ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ (souvent $\mathbb{N}$ lui-même ou $\mathbb{N}^*$). Le terme de rang $n$ est noté $u_n$.

Il existe principalement deux façons de définir une suite :

1. Par une formule explicite (terme général) : Le terme $u_n$ est donné directement en fonction de $n$.

   • Exemple : $u_n = 2n + 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
   • Pour calculer $u_0$, on remplace $n$ par $0$: $u_0 = 2(0) + 1 = 1$.
   • Pour calculer $u_3$, on remplace $n$ par $3$: $u_3 = 2(3) + 1 = 7$.
   • Cette méthode permet de calculer n'importe quel terme directement sans connaître les précédents.

2. Par une relation de récurrence : Le premier terme (ou les premiers termes) est donné, et chaque terme est défini en fonction du ou des termes précédents.

   • Exemple : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
   • Pour calculer $u_1$: $u_1 = 2u_0 + 1 = 2(1) + 1 = 3$.
   • Pour calculer $u_2$: $u_2 = 2u_1 + 1 = 2(3) + 1 = 7$.
   • Cette méthode nécessite de calculer les termes dans l'ordre, car chaque terme dépend du précédent.

Représentation graphique : On peut représenter graphiquement une suite en plaçant les points $(n; u_n)$ dans un repère. Pour une suite définie par récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$, on peut aussi utiliser la droite d'équation $y=x$ et la courbe représentative de $f$. On part de $u_0$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe de $f$ pour trouver $u_1=f(u_0)$ sur l'axe des ordonnées. On ramène $u_1$ sur l'axe des abscisses en utilisant la droite $y=x$, puis on répète le processus.

Étudier le sens de variation d'une suite, c'est déterminer si elle est croissante, décroissante, ou ni l'un ni l'autre.

• Une suite $(u_n)$ est croissante si pour tout $n$, $u_{n+1} \ge u_n$.
• Une suite $(u_n)$ est strictement croissante si pour tout $n$, $u_{n+1} > u_n$.
• Une suite $(u_n)$ est décroissante si pour tout $n$, $u_{n+1} \le u_n$.
• Une suite $(u_n)$ est strictement décroissante si pour tout $n$, $u_{n+1} < u_n$.
• Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.

Méthodes d'étude du sens de variation :

1. Étude du signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ :

   • Si $u_{n+1} - u_n > 0$ pour tout $n$, la suite est strictement croissante.
   • Si $u_{n+1} - u_n < 0$ pour tout $n$, la suite est strictement décroissante.
   • Exemple : $u_n = n^2$. $u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$. Pour $n \in \mathbb{N}$, $2n+1 > 0$, donc la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
   • Cette méthode est la plus courante et la plus générale.

2. Étude du quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (pour les suites à termes strictement positifs) :

   • Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$ pour tout $n$, la suite est strictement croissante.
   • Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$ pour tout $n$, la suite est strictement décroissante.
   • Exemple : $u_n = 2^n$. $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2$. Puisque $2 > 1$, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
   • Attention : cette méthode n'est valable que si tous les termes $u_n$ sont strictement positifs. Si les termes sont strictement négatifs, les inégalités sont inversées.

3. Étude de la fonction associée : Si $u_n = f(n)$, on peut étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0; +\infty[$.

   • Si $f$ est croissante sur $[0; +\infty[$, alors $(u_n)$ est croissante.
   • Si $f$ est décroissante sur $[0; +\infty[$, alors $(u_n)$ est décroissante.
   • Exemple : $u_n = \frac{1}{n+1}$. On pose $f(x) = \frac{1}{x+1}$. Sa dérivée est $f'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}$. Pour $x \ge 0$, $f'(x) < 0$, donc $f$ est décroissante sur $[0; +\infty[$. La suite $(u_n)$ est donc décroissante.
   • Cette méthode est particulièrement utile lorsque la fonction $f$ est facile à dériver.

Une suite est dite bornée si ses termes sont compris entre deux valeurs fixes.

• Une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un nombre réel $M$ tel que pour tout $n$, $u_n \le M$. $M$ est appelé un majorant de la suite.

  • Exemple : La suite $u_n = 1 - \frac{1}{n+1}$ est majorée par $1$, car $1 - \frac{1}{n+1} < 1$ pour tout $n$.

• Une suite $(u_n)$ est minorée s'il existe un nombre réel $m$ tel que pour tout $n$, $u_n \ge m$. $m$ est appelé un minorant de la suite.

  • Exemple : La suite $u_n = n^2$ est minorée par $0$, car $n^2 \ge 0$ pour tout $n$.

• Une suite $(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Cela signifie qu'il existe deux nombres réels $m$ et $M$ tels que pour tout $n$, $m \le u_n \le M$.

  • Exemple : La suite $u_n = (-1)^n$ est bornée car $-1 \le (-1)^n \le 1$ pour tout $n$. Elle est minorée par $-1$ et majorée par $1$.
  • Une suite convergente est toujours bornée. La réciproque est fausse. (Exemple : $u_n = (-1)^n$ est bornée mais ne converge pas).

Une suite $(u_n)$ est dite arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette constante est appelée la raison de la suite, notée $r$.

• Définition par récurrence : Pour tout $n \in \mathbb{N}$ (ou autre ensemble de départ), $u_{n+1} = u_n + r$.

  • Il faut connaître le premier terme $u_0$ (ou $u_1$) et la raison $r$.
  • Exemple : $u_0 = 2$ et $r = 3$. Alors $u_1 = u_0 + 3 = 5$, $u_2 = u_1 + 3 = 8$, etc.

• Terme général (formule explicite) : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = u_0 + nr$.

  • De manière plus générale, si on connaît le terme $u_p$, alors $u_n = u_p + (n-p)r$.
  • Exemple : Si $u_0=2$ et $r=3$, alors $u_n = 2 + 3n$. Pour $n=5$, $u_5 = 2 + 3(5) = 17$.

• Propriétés :

  • Le sens de variation d'une suite arithmétique dépend du signe de sa raison $r$:
    • Si $r > 0$, la suite est strictement croissante.
    • Si $r < 0$, la suite est strictement décroissante.
    • Si $r = 0$, la suite est constante.
  • Représentation graphique : Les points $(n; u_n)$ d'une suite arithmétique sont alignés. Ils se situent sur une droite d'équation $y = rx + u_0$. La représentation graphique d'une suite arithmétique est une droite.

La somme des $N$ premiers termes d'une suite arithmétique, de $u_p$ à $u_k$, est donnée par la formule : $S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$ Si la somme va de $u_0$ à $u_n$, le nombre de termes est $(n-0+1) = n+1$. Alors $S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}$.

Un cas particulier célèbre est la somme des premiers entiers : $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$.

• Exemple : Calculer la somme des 10 premiers termes de la suite $u_n = 2 + 3n$. Les 10 premiers termes sont de $u_0$ à $u_9$. $u_0 = 2 + 3(0) = 2$. $u_9 = 2 + 3(9) = 29$. Nombre de termes = $9 - 0 + 1 = 10$. $S_9 = 10 \times \frac{2 + 29}{2} = 10 \times \frac{31}{2} = 5 \times 31 = 155$. Cette formule permet de calculer rapidement des sommes importantes.

Les suites arithmétiques sont utilisées pour modéliser des situations où une quantité augmente ou diminue d'une valeur constante à chaque étape.

• Problèmes concrets :
  • Un salaire qui augmente de 50€ chaque année.
  • La consommation d'eau qui diminue de 10 litres par jour.
  • La production d'une usine qui augmente de 100 unités par mois.
• Modélisation de phénomènes linéaires : Toute croissance ou décroissance linéaire peut être représentée par une suite arithmétique.
• Intérêts simples : Si un capital $C_0$ est placé à un taux d'intérêt simple $t$, les intérêts sont calculés uniquement sur le capital initial. Le capital à la fin de chaque période forme une suite arithmétique. $C_n = C_0 + n \times (C_0 \times t)$. Ici, la raison est $r = C_0 \times t$.

Une suite $(u_n)$ est dite géométrique si le rapport entre deux termes consécutifs est constant. Cette constante est appelée la raison de la suite, notée $q$.

• Définition par récurrence : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = u_n \times q$.

  • Il faut connaître le premier terme $u_0$ (ou $u_1$) et la raison $q$.
  • Exemple : $u_0 = 2$ et $q = 3$. Alors $u_1 = u_0 \times 3 = 6$, $u_2 = u_1 \times 3 = 18$, etc.

• Terme général (formule explicite) : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = u_0 \times q^n$.

  • De manière plus générale, si on connaît le terme $u_p$, alors $u_n = u_p \times q^{n-p}$.
  • Exemple : Si $u_0=2$ et $q=3$, alors $u_n = 2 \times 3^n$. Pour $n=4$, $u_4 = 2 \times 3^4 = 2 \times 81 = 162$.

• Propriétés :

  • Le sens de variation d'une suite géométrique dépend du signe de $u_0$ et de la valeur de $q$.
    • Si $u_0 > 0$ :
      • Si $q > 1$, la suite est strictement croissante.
      • Si $0 < q < 1$, la suite est strictement décroissante.
      • Si $q = 1$, la suite est constante.
      • Si $q < 0$, la suite n'est pas monotone (les termes alternent de signe).
    • Si $u_0 < 0$ : (les variations sont inversées par rapport à $u_0 > 0$)
      • Si $q > 1$, la suite est strictement décroissante.
      • Si $0 < q < 1$, la suite est strictement croissante.
  • Représentation graphique : Les points $(n; u_n)$ d'une suite géométrique ne sont pas alignés. Ils suivent une courbe de type exponentiel. La croissance ou décroissance est de plus en plus rapide.

La somme des premiers termes d'une suite géométrique $u_0, u_1, \dots, u_n$ est donnée par la formule : $S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ Cette formule est valable si $q \ne 1$.

• Cas particulier : Si $q=1$, la suite est constante ($u_n = u_0$). Alors $S_n = u_0 + u_0 + \dots + u_0$ ($n+1$ fois) $= (n+1)u_0$.

• Exemple : Calculer la somme des 5 premiers termes de la suite $u_n = 3 \times 2^n$. Les 5 premiers termes sont de $u_0$ à $u_4$. $u_0 = 3 \times 2^0 = 3$. La raison est $q=2$. Le nombre de termes est $4 - 0 + 1 = 5$. $S_4 = 3 \times \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 3 \times \frac{1 - 32}{-1} = 3 \times \frac{-31}{-1} = 3 \times 31 = 93$. La somme d'une suite géométrique peut augmenter ou diminuer très rapidement.

Les suites géométriques modélisent des situations où une quantité augmente ou diminue par un facteur constant à chaque étape (croissance ou décroissance exponentielle).

• Problèmes concrets :
  • Augmentation de loyer de 2% par an.
  • Population bactérienne qui double toutes les heures.
  • Dépréciation d'un actif (voiture, matériel) de 15% par an.
• Modélisation de phénomènes exponentiels :
  • Intérêts composés : Un capital $C_0$ placé à un taux d'intérêt composé $t$. Chaque année, les intérêts sont calculés sur le capital de l'année précédente. $C_n = C_0 \times (1+t)^n$. C'est une suite géométrique de raison $q = (1+t)$.
  • Décroissance radioactive : La quantité d'une substance radioactive diminue par un facteur constant sur une période donnée (demi-vie). $N_n = N_0 \times (0.5)^{n/T}$ où $T$ est la demi-vie. C'est une suite géométrique avec une raison liée à la demi-vie.

L'étude de la limite d'une suite vise à comprendre le comportement de ses termes lorsque $n$ devient très grand (tend vers l'infini).

• Limite finie (convergence) : On dit que la suite $(u_n)$ converge vers un nombre réel $L$ si, lorsque $n$ devient très grand, les termes $u_n$ s'approchent de plus en plus de $L$. On écrit $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$.

  • Exemple : $u_n = \frac{1}{n}$. Les termes sont $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$. Ils s'approchent de $0$. Donc $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$.
  • Une suite qui converge est appelée une suite convergente.

• Limite infinie (divergence) :

  • On dit que la suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ si $u_n$ devient de plus en plus grand lorsque $n$ tend vers l'infini. On écrit $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
    • Exemple : $u_n = n^2$. Les termes sont $0, 1, 4, 9, \dots$. Ils deviennent de plus en plus grands. Donc $\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$.
  • On dit que la suite $(u_n)$ diverge vers $-\infty$ si $u_n$ devient de plus en plus petit (grand en valeur absolue, mais négatif) lorsque $n$ tend vers l'infini. On écrit $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
    • Exemple : $u_n = -n$. Les termes sont $0, -1, -2, -3, \dots$. Ils deviennent de plus en plus petits. Donc $\lim_{n \to +\infty} -n = -\infty$.

• Absence de limite (divergence) : Une suite peut diverger sans tendre vers $+\infty$ ou $-\infty$. C'est le cas si ses termes oscillent sans se stabiliser.

  • Exemple : $u_n = (-1)^n$. Les termes sont $1, -1, 1, -1, \dots$. Cette suite est bornée mais ne converge pas. Elle n'a pas de limite.
  • Une suite qui n'a pas de limite finie est une suite divergente.

Les règles de calcul des limites pour les fonctions s'appliquent aussi aux suites.

• Opérations sur les limites :

  • Somme : $\lim (u_n + v_n) = \lim u_n + \lim v_n$ (sauf cas des formes indéterminées).
  • Produit : $\lim (u_n \times v_n) = \lim u_n \times \lim v_n$ (sauf cas des formes indéterminées).
  • Quotient : $\lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{\lim u_n}{\lim v_n}$ (si $\lim v_n \ne 0$, sauf cas des formes indéterminées).

• Formes indéterminées (F.I.) : Ce sont des situations où les règles directes ne s'appliquent pas et nécessitent une étude plus approfondie.

  • $\infty - \infty$
  • $0 \times \infty$
  • $\frac{\infty}{\infty}$
  • $\frac{0}{0}$
  • Pour lever une F.I., on peut factoriser par le terme de plus haut degré, multiplier par la quantité conjuguée, utiliser le théorème des croissances comparées, etc.

• Théorèmes de comparaison :

  • Si $u_n \le v_n$ pour $n$ assez grand :
    • Si $\lim u_n = +\infty$, alors $\lim v_n = +\infty$.
    • Si $\lim v_n = -\infty$, alors $\lim u_n = -\infty$.

• Théorème des gendarmes (ou d'encadrement) :

  • Si pour $n$ assez grand, $v_n \le u_n \le w_n$, et si $\lim v_n = L$ et $\lim w_n = L$ (avec $L$ un réel), alors $\lim u_n = L$.
  • Ce théorème est très utile pour trouver la limite d'une suite difficile à étudier directement en l'encadrant par deux suites plus simples qui convergent vers la même limite.
  • Exemple : $u_n = \frac{\sin(n)}{n}$. On sait que $-1 \le \sin(n) \le 1$. Donc $\frac{-1}{n} \le \frac{\sin(n)}{n} \le \frac{1}{n}$. Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{-1}{n} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.

• Limites des suites arithmétiques :

  • Si $r > 0$, alors $\lim_{n \to +\infty} (u_0 + nr) = +\infty$.
  • Si $r < 0$, alors $\lim_{n \to +\infty} (u_0 + nr) = -\infty$.
  • Si $r = 0$, alors $\lim_{n \to +\infty} (u_0 + nr) = u_0$.
  • Une suite arithmétique (non constante) diverge toujours vers $\pm \infty$.

• Limites des suites géométriques : Pour $(u_n = u_0 q^n)$ avec $u_0 \ne 0$.

  • Si $q > 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$. (Et donc $\lim u_n = \pm \infty$ selon le signe de $u_0$).
  • Si $q = 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 1$. (Et donc $\lim u_n = u_0$).
  • Si $-1 < q < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$. (Et donc $\lim u_n = 0$).
  • Si $q \le -1$, la suite n'a pas de limite (elle diverge, soit vers l'infini, soit elle oscille).
  • Une suite géométrique converge si et seulement si sa raison $q$ est dans l'intervalle $]-1; 1]$.

• Limite de $(1/n^k)$ : Pour tout entier $k > 0$, $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0$.

  • Exemple : $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$, $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0$.

Le théorème de convergence monotone est un résultat fondamental sur l'existence des limites.

• Théorème :

  • Toute suite croissante et majorée converge.
  • Toute suite décroissante et minorée converge.
  • Ce théorème garantit l'existence d'une limite finie, même si on ne peut pas la calculer directement.

• Application aux suites définies par récurrence : Pour une suite $u_{n+1} = f(u_n)$:

  1. On démontre par récurrence que la suite est bornée (ex: $m \le u_n \le M$).
  2. On démontre par récurrence ou par étude de $f(x)-x$ que la suite est monotone (croissante ou décroissante).
  3. Si la suite est croissante et majorée, ou décroissante et minorée, alors elle converge vers une limite $L$.
  4. Si la fonction $f$ est continue, cette limite $L$ est une solution de l'équation $L = f(L)$. C'est une étape cruciale pour trouver la valeur de la limite.

On peut utiliser des boucles pour calculer les termes d'une suite, en particulier celles définies par récurrence.

• Algorithme de calcul du n-ième terme :
  • Boucle 'Pour' (For loop) : Utile quand le nombre d'itérations est connu d'avance.

    def terme_suite_recursive(u0, n, f):
        u = u0
        for i in range(n): # n itérations pour aller de u0 à un
            u = f(u)
        return u
    # Exemple pour u_n+1 = 2*u_n + 1
    # f = lambda x: 2*x + 1
    # print(terme_suite_recursive(1, 3, f)) # Calcule u3, avec u0=1
    

  • Boucle 'Tant que' (While loop) : Moins adaptée pour calculer un terme de rang précis si le rang est connu, mais utile si on veut calculer jusqu'à une certaine condition.

    # On peut adapter la boucle 'Pour' pour un 'Tant que'
    def terme_suite_recursive_while(u0, n, f):
        u = u0
        compteur = 0
        while compteur < n:
            u = f(u)
            compteur += 1
        return u
    

  • L'implémentation en Python est directe et permet de visualiser rapidement les premiers termes.

Il s'agit de trouver le plus petit rang $N$ à partir duquel les termes de la suite vérifient une certaine condition (atteignent un seuil, sont supérieurs à une valeur, etc.).

• Recherche du premier terme / Condition d'arrêt : On utilise généralement une boucle 'Tant que' car le nombre d'itérations n'est pas connu à l'avance.

  def rang_seuil(u0, seuil, f):
      u = u0
      n = 0
      while u < seuil: # Condition à adapter (u > seuil, abs(u-L) < epsilon, etc.)
          u = f(u)
          n += 1
      return n
  # Exemple pour u_n+1 = 0.5*u_n + 3, u0=1, seuil=5.9
  # f = lambda x: 0.5*x + 3
  # print(rang_seuil(1, 5.9, f))
  # La suite converge vers 6. On cherche n tel que u_n >= 5.9
  

  • La boucle 'Tant que' est essentielle dans ces cas car elle s'arrête dès que la condition est remplie.

Les algorithmes de calcul de sommes permettent d'additionner un certain nombre de termes d'une suite.

• Algorithme de calcul de somme :
  • On utilise une variable d'accumulation (souvent nommée somme) initialisée à 0, à laquelle on ajoute successivement les termes de la suite.
  • Boucle 'Pour' : Idéale pour sommer un nombre fixe de termes.

    def somme_arithmetique(u0, r, nb_termes):
        somme = 0
        u = u0
        for i in range(nb_termes):
            somme += u
            u += r # Passage au terme suivant pour une suite arithmétique
        return somme
    # Exemple: somme des 10 premiers termes de u_n = 2 + 3n (u0=2, r=3)
    # print(somme_arithmetique(2, 3, 10)) # Devrait donner 155
    

    Ou en utilisant la formule explicite:

    def somme_arithmetique_explicite(u0, r, nb_termes):
        somme = 0
        for n in range(nb_termes):
            u_n = u0 + n * r
            somme += u_n
        return somme
    

  • Ces algorithmes sont fondamentaux pour simuler des calculs financiers, des progressions de populations, etc.