Équations différentielles

Une équation différentielle est une équation qui met en relation une fonction inconnue, ses variables indépendantes et ses dérivées. En d'autres termes, c'est une équation dont l'inconnue est une fonction, et non un nombre.

Considérons une fonction $y$ qui dépend d'une variable $x$, souvent le temps $t$. On note $y(x)$ ou $y(t)$. Les dérivées sont $y'(x)$ (première dérivée), $y''(x)$ (deuxième dérivée), etc.

• Exemple simple : $y'(x) = 2x$. Ici, la fonction inconnue est $y(x)$. On sait que $y(x) = x^2 + C$ est une solution pour toute constante $C$.

Le degré (ou ordre) d'une équation différentielle est l'ordre le plus élevé de la dérivée de la fonction inconnue qui apparaît dans l'équation.

• $y' + xy = \sin(x)$ est une équation différentielle du premier ordre (la dérivée la plus haute est $y'$).
• $y'' + 2y' - 3y = e^x$ est une équation différentielle du second ordre (la dérivée la plus haute est $y''$).

Une solution d'une équation différentielle est une fonction qui, substituée à l'inconnue $y$ (ainsi que ses dérivées), satisfait l'équation sur un intervalle donné. Trouver la solution générale consiste à trouver toutes les fonctions qui vérifient l'équation.

Un problème de Cauchy est une équation différentielle à laquelle on ajoute des conditions initiales. Ces conditions permettent de déterminer les constantes d'intégration et ainsi de trouver une solution unique.

• Exemple : Résoudre $y' = 2x$ avec la condition $y(0) = 1$.
  • La solution générale est $y(x) = x^2 + C$.
  • En utilisant la condition $y(0) = 1$, on a $0^2 + C = 1$, donc $C = 1$.
  • La solution unique du problème de Cauchy est $y(x) = x^2 + 1$.

Les équations différentielles sont très utilisées pour modéliser des phénomènes réels. Voici quelques exemples classiques :

1. Croissance exponentielle (Modèle de Malthus) :

   • Décrit la croissance d'une population ou d'un capital lorsque le taux de croissance est proportionnel à la quantité présente.
   • Équation : $y'(t) = ky(t)$, où $y(t)$ est la population (ou le capital) au temps $t$, et $k$ est le taux de croissance.
   • Solution générale : $y(t) = Ce^{kt}$.
   • Ce modèle est souvent utilisé pour des phénomènes sans limitation de ressources.

2. Refroidissement de Newton :

   • Décrit comment la température d'un corps change dans un environnement. Le taux de changement de température est proportionnel à la différence de température entre le corps et l'environnement.
   • Équation : $T'(t) = k(T_e - T(t))$, où $T(t)$ est la température du corps, $T_e$ est la température de l'environnement, et $k$ est une constante positive.

3. Circuit RC (Résistance-Condensateur) :

   • Décrit la charge ou la décharge d'un condensateur dans un circuit électrique.
   • Équation : $RC \frac{dU_C}{dt} + U_C = E$, où $U_C$ est la tension aux bornes du condensateur, $R$ la résistance, $C$ la capacité, et $E$ la tension du générateur (si présent).
   • Ces équations permettent de prévoir le comportement des circuits au cours du temps.

Ces exemples montrent comment des lois physiques ou biologiques peuvent être traduites en langage mathématique via les équations différentielles.

Pour vérifier si une fonction donnée est une solution d'une équation différentielle, il faut suivre ces étapes :

1. Calculer les dérivées de la fonction proposée jusqu'à l'ordre le plus élevé requis par l'équation.
2. Substituer la fonction et ses dérivées dans l'équation différentielle.
3. Simplifier l'expression. Si l'égalité est vérifiée, la fonction est une solution.

Si l'on a un problème de Cauchy (avec conditions initiales), il faut aussi vérifier que la solution satisfait ces conditions.

1. Calcul des dérivées :

   • $y(x) = e^{-2x}$
   • $y'(x) = -2e^{-2x}$

2. Substitution dans l'équation :

   • $(-2e^{-2x}) + 2(e^{-2x}) = 0$

3. Simplification :

   • $-2e^{-2x} + 2e^{-2x} = 0$
   • $0 = 0$ L'égalité est vérifiée, donc $y(x) = e^{-2x}$ est bien une solution.

1. Calcul des dérivées :

   • $y(x) = 3e^{-x} - 1$
   • $y'(x) = -3e^{-x}$

2. Substitution dans l'équation :

   • $(-3e^{-x}) + (3e^{-x} - 1) = -1$
   • $-1 = -1$ L'égalité est vérifiée.

3. Vérification de la condition initiale :

   • $y(0) = 3e^{-0} - 1 = 3(1) - 1 = 2$. La condition initiale est aussi vérifiée. Donc $y(x) = 3e^{-x} - 1$ est la solution du problème de Cauchy.

Une équation différentielle linéaire du premier ordre a la forme générale : $y'(x) + a(x)y(x) = f(x)$ où $a(x)$ et $f(x)$ sont des fonctions continues sur un intervalle donné. Dans le cadre de Terminale, $a(x)$ est souvent une constante $a$, ce qui simplifie la résolution : $y'(x) + ay(x) = f(x)$

L'équation homogène associée (ou équation sans second membre) est obtenue en posant $f(x) = 0$ : $y'(x) + ay(x) = 0$ Cette équation décrit le comportement "naturel" ou "libre" du système sans influence extérieure.

La résolution de l'équation homogène $y' + ay = 0$ se fait par séparation des variables : $\frac{dy}{dx} = -ay \Rightarrow \frac{dy}{y} = -a dx$ (si $y \neq 0$) En intégrant les deux côtés : $\int \frac{1}{y} dy = \int -a dx$ $\ln|y| = -ax + K'$ (où $K'$ est une constante d'intégration) $|y| = e^{-ax + K'} = e^{K'}e^{-ax}$ $y = Ce^{-ax}$ (où $C = \pm e^{K'}$ ou $C=0$ si $y=0$ est une solution). La solution générale de l'équation homogène est donc $y_h(x) = Ce^{-ax}$, où $C$ est une constante réelle arbitraire. La constante $C$ est fondamentale car elle reflète la "liberté" de la solution.

Cette méthode permet de trouver une solution particulière de l'équation complète $y' + ay = f(x)$, en utilisant la solution de l'équation homogène.

L'idée est de considérer la constante $C$ de la solution homogène $y_h(x) = Ce^{-ax}$ comme une fonction de $x$, soit $C(x)$. On cherche alors une solution particulière de la forme $y_p(x) = C(x)e^{-ax}$.

1. Dériver $y_p(x)$ : $y_p'(x) = C'(x)e^{-ax} + C(x)(-ae^{-ax})$ $y_p'(x) = C'(x)e^{-ax} - aC(x)e^{-ax}$

2. Substituer $y_p(x)$ et $y_p'(x)$ dans l'équation complète $y' + ay = f(x)$ : $(C'(x)e^{-ax} - aC(x)e^{-ax}) + a(C(x)e^{-ax}) = f(x)$ $C'(x)e^{-ax} - aC(x)e^{-ax} + aC(x)e^{-ax} = f(x)$ $C'(x)e^{-ax} = f(x)$

3. Isoler $C'(x)$ : $C'(x) = f(x)e^{ax}$

4. Intégrer $C'(x)$ pour trouver $C(x)$ : $C(x) = \int f(x)e^{ax} dx$ (On ne prend pas de constante d'intégration ici, car on cherche une seule solution particulière).

5. Former la solution particulière $y_p(x)$ : $y_p(x) = \left( \int f(x)e^{ax} dx \right) e^{-ax}$

La solution générale de l'équation complète est la somme de la solution homogène et d'une solution particulière : $y(x) = y_h(x) + y_p(x) = Ce^{-ax} + \left( \int f(x)e^{ax} dx \right) e^{-ax}$ Cette formule est fondamentale pour la résolution des ED linéaires du 1er ordre.

1. Équation homogène : $y' + 2y = 0$. Solution $y_h(x) = Ce^{-2x}$.
2. Variation de la constante : On pose $y_p(x) = C(x)e^{-2x}$. $C'(x)e^{-2x} = e^x$ $C'(x) = e^x e^{2x} = e^{3x}$ $C(x) = \int e^{3x} dx = \frac{1}{3}e^{3x}$ $y_p(x) = \frac{1}{3}e^{3x}e^{-2x} = \frac{1}{3}e^x$.
3. Solution générale : $y(x) = Ce^{-2x} + \frac{1}{3}e^x$.

Un problème de Cauchy pour une équation différentielle du premier ordre consiste à trouver la solution unique qui satisfait une condition initiale de la forme $y(x_0) = y_0$.

1. Trouver la solution générale de l'équation différentielle (avec la constante $C$).
2. Utiliser la condition initiale pour déterminer la valeur spécifique de la constante $C$.
3. Substituer cette valeur de $C$ dans la solution générale pour obtenir la solution unique.

1. Solution générale :

   • Équation homogène $y' + y = 0 \Rightarrow y_h(x) = Ce^{-x}$.
   • Solution particulière : on utilise la variation de la constante. $C'(x)e^{-x} = x \Rightarrow C'(x) = xe^x$. $C(x) = \int xe^x dx$. On intègre par parties : $\int u dv = uv - \int v du$. Soit $u=x, dv=e^x dx \Rightarrow du=dx, v=e^x$. $C(x) = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x = (x-1)e^x$. $y_p(x) = (x-1)e^x e^{-x} = x-1$.
   • Solution générale : $y(x) = Ce^{-x} + x - 1$.

2. Détermination de $C$ avec $y(0) = 1$ : $y(0) = Ce^{-0} + 0 - 1 = C - 1$. On a $C - 1 = 1 \Rightarrow C = 2$.

3. Solution unique : $y(x) = 2e^{-x} + x - 1$. La condition initiale "fixe" la courbe solution parmi l'infinité de courbes de la solution générale.

Une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants a la forme générale : $ay''(x) + by'(x) + cy(x) = f(x)$ où $a, b, c$ sont des constantes réelles ($a \neq 0$) et $f(x)$ est une fonction continue.

L'équation homogène associée (ou sans second membre) est : $ay''(x) + by'(x) + cy(x) = 0$ Pour résoudre cette équation homogène, on cherche des solutions de la forme $y(x) = e^{rx}$, où $r$ est une constante. Si $y(x) = e^{rx}$, alors $y'(x) = re^{rx}$ et $y''(x) = r^2e^{rx}$. En substituant dans l'équation homogène : $ar^2e^{rx} + bre^{rx} + ce^{rx} = 0$ $e^{rx}(ar^2 + br + c) = 0$ Comme $e^{rx}$ n'est jamais nul, on doit avoir : $ar^2 + br + c = 0$ Cette équation est appelée l'équation caractéristique. C'est une équation polynomiale du second degré dont les racines $r$ déterminent la forme de la solution homogène.

Le discriminant de l'équation caractéristique est $\Delta = b^2 - 4ac$. Sa valeur est cruciale pour la nature des racines et donc des solutions.

La forme de la solution générale de l'équation homogène $ay'' + by' + cy = 0$ dépend du signe du discriminant $\Delta$.

1. Cas $\Delta > 0$ (deux racines réelles distinctes) : Les racines sont $r_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $r_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$. La solution générale de l'équation homogène est : $y_h(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$ où $C_1$ et $C_2$ sont des constantes réelles arbitraires.

2. Cas $\Delta = 0$ (une racine réelle double) : La racine est $r_0 = \frac{-b}{2a}$. La solution générale de l'équation homogène est : $y_h(x) = (C_1x + C_2)e^{r_0x}$ où $C_1$ et $C_2$ sont des constantes réelles arbitraires. Le terme en $x$ est essentiel pour avoir deux solutions linéairement indépendantes.

3. Cas $\Delta < 0$ (deux racines complexes conjuguées) : Les racines sont complexes conjuguées : $r_1 = \alpha + i\beta$ et $r_2 = \alpha - i\beta$, où $\alpha = \frac{-b}{2a}$ et $\beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}$. La solution générale de l'équation homogène est : $y_h(x) = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$ où $C_1$ et $C_2$ sont des constantes réelles arbitraires. Ce cas est typique des systèmes oscillants (par exemple, un pendule).

Lorsque le second membre $f(x)$ n'est pas nul, on cherche une solution particulière $y_p(x)$ de $ay'' + by' + cy = f(x)$. La méthode de la variation de la constante est trop complexe pour le second ordre. On utilise plutôt la méthode des coefficients indéterminés, qui consiste à deviner la forme de $y_p(x)$ en fonction de $f(x)$.

Principe de superposition : Si $f(x)$ est une somme de fonctions (ex: $f(x) = f_1(x) + f_2(x)$), alors la solution particulière $y_p(x)$ est la somme des solutions particulières $y_{p1}(x)$ et $y_{p2}(x)$ dues à chaque terme : $y_p(x) = y_{p1}(x) + y_{p2}(x)$.

$f(x) = 2x$ est un polynôme de degré 1. On cherche $y_p(x) = Ax + B$. $y_p'(x) = A$ $y_p''(x) = 0$ Substitution : $0 + (Ax + B) = 2x \Rightarrow Ax + B = 2x$. Par identification des coefficients : $A=2$ et $B=0$. Donc $y_p(x) = 2x$.

La solution générale de l'équation différentielle complète $ay'' + by' + cy = f(x)$ est la somme de la solution générale de l'équation homogène et d'une solution particulière : $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$ Elle contient deux constantes arbitraires ($C_1$ et $C_2$).

Pour un problème de Cauchy du second ordre, il faut deux conditions initiales pour déterminer ces deux constantes de manière unique. Ces conditions sont généralement de la forme :

• $y(x_0) = y_0$ (valeur de la fonction à un point)
• $y'(x_0) = y'_0$ (valeur de la dérivée de la fonction à ce même point)

1. Trouver la solution générale $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$ (avec $C_1$ et $C_2$).
2. Calculer la dérivée de la solution générale : $y'(x)$.
3. Appliquer les deux conditions initiales pour former un système de deux équations à deux inconnues ($C_1$ et $C_2$).
4. Résoudre le système pour trouver les valeurs de $C_1$ et $C_2$.
5. Substituer ces valeurs dans la solution générale pour obtenir la solution unique du problème de Cauchy.

1. Solution générale :

   • Équation homogène : $y'' + y = 0$. Équation caractéristique : $r^2 + 1 = 0 \Rightarrow r^2 = -1 \Rightarrow r = \pm i$. On a $\alpha = 0$ et $\beta = 1$. $y_h(x) = e^{0x}(C_1\cos(x) + C_2\sin(x)) = C_1\cos(x) + C_2\sin(x)$.
   • Solution particulière : on a trouvé $y_p(x) = 2x$ dans l'exemple précédent.
   • Solution générale : $y(x) = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) + 2x$.

2. Calculer $y'(x)$ : $y'(x) = -C_1\sin(x) + C_2\cos(x) + 2$.

3. Appliquer les conditions initiales :

   • $y(0) = 1 \Rightarrow C_1\cos(0) + C_2\sin(0) + 2(0) = 1 \Rightarrow C_1(1) + C_2(0) + 0 = 1 \Rightarrow C_1 = 1$.
   • $y'(0) = 0 \Rightarrow -C_1\sin(0) + C_2\cos(0) + 2 = 0 \Rightarrow -C_1(0) + C_2(1) + 2 = 0 \Rightarrow C_2 + 2 = 0 \Rightarrow C_2 = -2$.

4. Solution unique : $y(x) = \cos(x) - 2\sin(x) + 2x$. Les deux conditions initiales sont nécessaires pour déterminer entièrement le comportement du système.

1. Oscillateur harmonique simple (masse-ressort) :

   • Décrit le mouvement d'une masse attachée à un ressort, sans frottement ni force extérieure.
   • Équation : $m x''(t) + k x(t) = 0$, où $m$ est la masse, $k$ la constante du ressort, et $x(t)$ le déplacement par rapport à l'équilibre.
   • C'est une ED du second ordre homogène avec $\Delta < 0$, donc les solutions sont des fonctions trigonométriques (oscillations pures).

2. Circuit RLC série :

   • Décrit l'évolution de la charge $q(t)$ dans un circuit composé d'une résistance $R$, une inductance $L$ et un condensateur $C$.
   • Équation : $L q''(t) + R q'(t) + \frac{1}{C} q(t) = E(t)$, où $E(t)$ est la tension du générateur.
   • Selon les valeurs de $R, L, C$, le circuit peut être sous-amorti (oscillations amorties), critiquement amorti ou sur-amorti (pas d'oscillations).
   • Ces systèmes présentent un régime transitoire (qui dépend des conditions initiales et s'estompe avec le temps) et un régime permanent (qui dépend de $E(t)$ et persiste).
   • Le phénomène de résonance se produit lorsque la fréquence de la force extérieure $E(t)$ correspond à la fréquence propre du système, entraînant de grandes amplitudes d'oscillation.

1. Modèle de Malthus (croissance exponentielle) :

   • $N'(t) = kN(t)$, où $N(t)$ est la population.
   • Prévoit une croissance illimitée, ce qui n'est pas réaliste à long terme.

2. Modèle logistique (croissance limitée) :

   • Tient compte des limitations de ressources. Le taux de croissance ralentit à mesure que la population s'approche d'une capacité maximale $K$.
   • Équation : $N'(t) = rN(t)\left(1 - \frac{N(t)}{K}\right)$, où $r$ est le taux de croissance intrinsèque et $K$ est la capacité de charge de l'environnement.
   • C'est une équation différentielle non linéaire, plus complexe à résoudre, mais qui donne une courbe en S plus réaliste pour la croissance des populations.

3. Propagation d'épidémies (Modèle SIR) :

   • Modélise la diffusion de maladies en divisant la population en Susceptibles (S), Infectés (I) et Rétablis (R).
   • C'est un système de plusieurs équations différentielles couplées, par exemple : $S'(t) = -\beta S(t)I(t)$ $I'(t) = \beta S(t)I(t) - \gamma I(t)$ $R'(t) = \gamma I(t)$
   • $\beta$ est le taux de transmission, $\gamma$ le taux de guérison.

4. Dynamique des populations (prédateur-proie) :

   • Les équations de Lotka-Volterra modélisent l'interaction entre deux populations, par exemple des lapins et des renards.
   • C'est aussi un système d'équations différentielles non linéaires.

1. Chimie (cinétique des réactions) :

   • Les taux de réaction sont souvent décrits par des équations différentielles qui relient la concentration des réactifs et des produits aux dérivées par rapport au temps.
   • Exemple : réaction d'ordre 1, $C'(t) = -kC(t)$, où $C(t)$ est la concentration.

2. Mécanique (chute d'un corps avec frottement) :

   • La vitesse d'un corps en chute libre est influencée par la gravité et la résistance de l'air (frottement).
   • Équation : $m v'(t) = mg - kv(t)$, où $m$ est la masse, $g$ l'accélération de la gravité, $k$ le coefficient de frottement.

3. Finance (évolution de capitaux) :

   • L'évolution d'un capital placé à intérêts composés continus peut être modélisée par $C'(t) = rC(t)$, où $r$ est le taux d'intérêt.
   • Des modèles plus complexes utilisent les ED pour l'évaluation d'options ou la gestion de portefeuilles.

4. Informatique (algorithmes de contrôle) :

   • Les systèmes de contrôle (par exemple, pour la robotique, l'aviation) utilisent des équations différentielles pour décrire le comportement du système et concevoir des algorithmes pour stabiliser ou atteindre un objectif.

Ces exemples illustrent la puissance des équations différentielles comme langage universel pour décrire le changement et la dynamique des systèmes dans de nombreux domaines. Comprendre comment les résoudre et les appliquer est une compétence essentielle en sciences et ingénierie.