Fonctions de plusieurs variables

Une fonction de deux variables est une règle qui associe à chaque couple de nombres $(x, y)$ de son domaine de définition un unique nombre réel $z$. On la note généralement $z = f(x, y)$.

C'est comme une machine qui prend deux nombres en entrée et en sort un seul.

• $x$ et $y$ sont les variables indépendantes (les "entrées").
• $z$ est la variable dépendante (l'"sortie").

Le domaine de définition de $f$, noté $D_f$, est l'ensemble de tous les couples $(x, y)$ pour lesquels $f(x, y)$ est bien défini (par exemple, on ne peut pas diviser par zéro ou prendre la racine carrée d'un nombre négatif). C'est un sous-ensemble du plan $\mathbb{R}^2$.

1. Volume d'un cylindre : Le volume $V$ d'un cylindre dépend de son rayon $r$ et de sa hauteur $h$. On a $V(r, h) = \pi r^2 h$. Ici, $r$ et $h$ sont les variables, et $V$ est la fonction. Le domaine de définition est $\{(r, h) \in \mathbb{R}^2 \mid r > 0, h > 0\}$.
2. Température d'une plaque métallique : Imagine une plaque métallique. La température $T$ en un point $(x, y)$ de la plaque peut être donnée par une fonction $T(x, y)$. Par exemple, $T(x, y) = 20 + x^2 + y^2$. Le domaine de définition serait la surface de la plaque.
3. Coût de production : Le coût $C$ de production d'un article peut dépendre du nombre d'unités produites $x$ et du coût des matières premières $y$. On pourrait avoir $C(x, y) = 10x + 5y + 100$.

Une fonction de deux variables $f(x,y)$ associe une valeur unique $z$ à chaque couple $(x,y)$ dans son domaine.

Alors qu'une fonction d'une variable $y=f(x)$ est représentée par une courbe dans le plan $\mathbb{R}^2$, une fonction de deux variables $z=f(x,y)$ est représentée par une surface dans l'espace $\mathbb{R}^3$.

Pour la représenter, nous utilisons un système de coordonnées tridimensionnelles $(x, y, z)$. Chaque point $(x, y)$ du domaine de définition de la fonction correspond à un point $(x, y, f(x, y))$ sur la surface.

Comment visualiser ?

Imagine que tu "dessines" la valeur de $z$ au-dessus ou en dessous de chaque point $(x, y)$ du plan $xy$. L'ensemble de tous ces points $(x, y, z)$ forme la surface.

1. Plan : La fonction $f(x, y) = ax + by + c$ représente un plan. Par exemple, $f(x, y) = 2x + 3y + 1$.
2. Paraboloïde elliptique : La fonction $f(x, y) = x^2 + y^2$ est un paraboloïde qui ressemble à un bol. Son sommet est à l'origine $(0,0,0)$.
3. Cône : La fonction $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ représente un cône dont le sommet est à l'origine.
4. Selle de cheval (paraboloïde hyperbolique) : La fonction $f(x, y) = x^2 - y^2$ est un exemple classique de surface en forme de selle.

La visualisation 3D est cruciale pour comprendre le comportement de ces fonctions. N'hésite pas à utiliser des logiciels de calcul formel ou des outils en ligne pour tracer ces surfaces et te familiariser avec elles.

Comme il est parfois difficile de visualiser une surface en 3D sur un plan 2D, nous utilisons une technique très utile : les lignes de niveau.

Une ligne de niveau (ou courbe de niveau) d'une fonction $f(x, y)$ est l'ensemble de tous les points $(x, y)$ dans le domaine de $f$ pour lesquels $f(x, y)$ est égale à une constante $k$. C'est-à-dire, l'équation $f(x, y) = k$.

• Interprétation graphique : Si tu coupes la surface $z = f(x, y)$ par un plan horizontal $z = k$, l'intersection est une courbe dans l'espace. La projection de cette courbe sur le plan $xy$ est la ligne de niveau $f(x, y) = k$.
• Chaque ligne de niveau représente les points où la fonction a la même valeur.

Applications (très pratiques !) :

1. Cartes topographiques : Les lignes de niveau sur une carte topographique (ou carte d'altitude) relient tous les points ayant la même altitude. Plus les lignes sont proches, plus la pente est raide.
2. Cartes météorologiques : Les isothermes relient les points de même température. Les isobares relient les points de même pression atmosphérique.
3. Économie : Les courbes d'indifférence en économie relient les combinaisons de biens qui donnent le même niveau de satisfaction.

Les lignes de niveau sont données par $x^2 + y^2 = k$.

• Si $k=0$, $x^2+y^2=0 \implies (0,0)$, un point.
• Si $k=1$, $x^2+y^2=1$, un cercle de rayon 1 centré à l'origine.
• Si $k=4$, $x^2+y^2=4$, un cercle de rayon 2 centré à l'origine. Les lignes de niveau de $f(x,y) = x^2+y^2$ sont des cercles concentriques. Cela correspond bien à la forme d'un paraboloïde (un bol).

==Les lignes de niveau $f(x,y) = k$ sont des courbes dans le plan qui relient les points où la fonction a la même valeur.==

Pour une fonction d'une variable $f(x)$, la dérivée $f'(x)$ nous donne le taux de variation de $f$ par rapport à $x$. Pour une fonction de deux variables $f(x, y)$, comment mesurer le taux de variation ?

Puisqu'il y a deux variables indépendantes, $x$ et $y$, la fonction peut varier de différentes manières :

• Si on se déplace uniquement selon l'axe des $x$ (en gardant $y$ constant).
• Si on se déplace uniquement selon l'axe des $y$ (en gardant $x$ constant).
• Si on se déplace dans une direction quelconque.

Le concept de dérivée partielle est la clé pour analyser ces variations. Une dérivée partielle mesure le taux de variation d'une fonction de plusieurs variables par rapport à une seule de ces variables, en considérant toutes les autres variables comme des constantes.

• Dérivation par rapport à $x$ : On considère $y$ comme une constante et on dérive $f(x, y)$ par rapport à $x$.
• Dérivation par rapport à $y$ : On considère $x$ comme une constante et on dérive $f(x, y)$ par rapport à $y$.

Notation :

• La dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$ est notée $\frac{\partial f}{\partial x}$ ou $f'_x$ ou $f_x$.
• La dérivée partielle de $f$ par rapport à $y$ est notée $\frac{\partial f}{\partial y}$ ou $f'_y$ ou $f_y$.

Le symbole $\partial$ (d rond) est utilisé pour distinguer les dérivées partielles des dérivées ordinaires.

Le calcul des dérivées partielles est très similaire au calcul des dérivées ordinaires. Il suffit de se rappeler quelle variable est considérée comme constante.

Règles de dérivation usuelles : Toutes les règles que tu connais (somme, produit, quotient, chaîne) s'appliquent.

1. Soit $f(x, y) = x^2 y + 3y^3 - 5x$.

   • Pour calculer $\frac{\partial f}{\partial x}$ : on traite $y$ comme une constante. $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) + \frac{\partial}{\partial x}(3y^3) - \frac{\partial}{\partial x}(5x)$ $\frac{\partial f}{\partial x} = y \cdot (2x) + 0 - 5 = 2xy - 5$.
   • Pour calculer $\frac{\partial f}{\partial y}$ : on traite $x$ comme une constante. $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) + \frac{\partial}{\partial y}(3y^3) - \frac{\partial}{\partial y}(5x)$ $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 \cdot (1) + 3 \cdot (3y^2) - 0 = x^2 + 9y^2$.

2. Soit $g(x, y) = e^{xy} + \cos(x^2 y)$.

   • $\frac{\partial g}{\partial x} = y e^{xy} - 2xy \sin(x^2 y)$. (Règle de la chaîne : $e^u \to u'e^u$, avec $u=xy$, $u'_x=y$. Et $\cos(v) \to -v'\sin(v)$, avec $v=x^2y$, $v'_x=2xy$).
   • $\frac{\partial g}{\partial y} = x e^{xy} - x^2 \sin(x^2 y)$. (Règle de la chaîne : $e^u \to u'e^u$, avec $u=xy$, $u'_y=x$. Et $\cos(v) \to -v'\sin(v)$, avec $v=x^2y$, $v'_y=x^2$).

Interprétation géométrique :

• $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)$ représente la pente de la surface $z=f(x,y)$ au point $(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$ dans la direction parallèle à l'axe des $x$ (quand $y$ est maintenu constant).
• $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)$ représente la pente de la surface $z=f(x,y)$ au point $(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$ dans la direction parallèle à l'axe des $y$ (quand $x$ est maintenu constant).

==Les dérivées partielles mesurent la pente de la surface $z=f(x,y)$ dans les directions des axes $x$ et $y$.==

Tout comme pour les fonctions d'une variable, on peut dériver les dérivées partielles. On obtient alors des dérivées partielles d'ordre supérieur.

Il y en a quatre pour une fonction de deux variables :

1. Dérivées secondes pures :

   • $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)$ (dériver deux fois par rapport à $x$). Notée $f''_{xx}$ ou $f_{xx}$.
   • $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$ (dériver deux fois par rapport à $y$). Notée $f''_{yy}$ ou $f_{yy}$.

2. Dérivées croisées (ou mixtes) :

   • $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$ (dériver d'abord par rapport à $y$, puis par rapport à $x$). Notée $f''_{yx}$ ou $f_{yx}$.
   • $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)$ (dériver d'abord par rapport à $x$, puis par rapport à $y$). Notée $f''_{xy}$ ou $f_{xy}$.

Nous avions : $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy - 5$ $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 9y^2$

Calculons les dérivées secondes :

• $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy - 5) = 2y$
• $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + 9y^2) = 18y$
• $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + 9y^2) = 2x$
• $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy - 5) = 2x$

Remarque que $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ dans cet exemple. Ce n'est pas une coïncidence !

Théorème de Schwarz (ou Théorème de Clairaut) : Si les dérivées partielles croisées $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ et $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ sont continues dans un domaine ouvert, alors elles sont égales : $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ C'est un résultat très important qui simplifie beaucoup de calculs. En pratique, pour les fonctions que tu rencontreras, cette condition de continuité est presque toujours remplie.

Les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ nous donnent les pentes de la surface dans les directions $x$ et $y$. Mais que se passe-t-il si l'on veut connaître la pente dans une direction quelconque ? C'est là qu'intervient le gradient.

Le gradient d'une fonction $f(x, y)$, noté $\nabla f$ (lire "nabla $f$") ou $\text{grad } f$, est un vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles premières de $f$. $\nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x, y), \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \right)$

Interprétation du gradient :

1. Direction de plus forte pente : Le vecteur gradient $\nabla f(x_0, y_0)$ pointe dans la direction où la fonction $f$ augmente le plus rapidement au point $(x_0, y_0)$. La magnitude (norme) du gradient, $||\nabla f(x_0, y_0)||$, donne la valeur de cette pente maximale. Imagine que tu es sur une montagne (la surface $z=f(x,y)$) et tu veux monter le plus vite possible. Le gradient te montre le chemin !

2. Orthogonalité aux lignes de niveau : Le gradient est toujours orthogonal (perpendiculaire) aux lignes de niveau de la fonction $f$. Si tu suis une ligne de niveau, tu restes à la même altitude. Le gradient te montre la direction de la plus forte variation d'altitude, qui est naturellement perpendiculaire à la direction où l'altitude ne change pas.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$ $\frac{\partial f}{\partial y} = 2y$ Donc, $\nabla f(x, y) = (2x, 2y)$. Au point $(1, 1)$, $\nabla f(1, 1) = (2, 2)$. Ce vecteur pointe à 45 degrés, s'éloignant de l'origine. Les lignes de niveau sont des cercles centrés à l'origine, et le gradient est un rayon, donc il est bien perpendiculaire au cercle.

Le gradient $\nabla f$ est un vecteur qui indique la direction de la plus forte augmentation de la fonction et est orthogonal aux lignes de niveau.

Pour une fonction d'une variable $y=f(x)$, la dérivée $f'(x_0)$ nous permet de trouver l'équation de la tangente à la courbe au point $(x_0, f(x_0))$. Pour une fonction de deux variables $z=f(x,y)$, les dérivées partielles nous permettent de trouver l'équation du plan tangent à la surface au point $(x_0, y_0, z_0)$, où $z_0 = f(x_0, y_0)$.

Le plan tangent est la meilleure approximation linéaire de la surface autour du point de tangence.

L'équation du plan tangent à la surface $z=f(x,y)$ au point $(x_0, y_0, z_0)$ est donnée par : $z - z_0 = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0)$

où $z_0 = f(x_0, y_0)$.

Comment retenir la formule ? Elle ressemble beaucoup à l'équation de la tangente pour une fonction d'une variable : $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$. On a juste ajouté la contribution de la deuxième variable.

1. Vérifier que le point est sur la surface : $f(1, 2) = 1^2 \cdot 2 = 2$. Oui, $(x_0, y_0, z_0) = (1, 2, 2)$.
2. Calculer les dérivées partielles : $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2$
3. Évaluer les dérivées partielles au point $(1, 2)$ : $\frac{\partial f}{\partial x}(1, 2) = 2(1)(2) = 4$ $\frac{\partial f}{\partial y}(1, 2) = 1^2 = 1$
4. Appliquer la formule du plan tangent : $z - 2 = 4(x - 1) + 1(y - 2)$ $z - 2 = 4x - 4 + y - 2$ $z = 4x + y - 4$

L'équation du plan tangent est $z = 4x + y - 4$.

Ces outils ne sont pas que des concepts abstraits, ils ont de nombreuses applications :

1. Optimisation locale : Le gradient est fondamental pour trouver les points où une fonction atteint un maximum ou un minimum local. Nous verrons cela plus en détail dans la prochaine section. L'idée est que si le gradient est nul, la fonction ne "monte" ni ne "descend" dans aucune direction, ce qui est une condition nécessaire pour un extremum.
2. Approximation linéaire : Le plan tangent fournit la meilleure approximation linéaire d'une fonction de deux variables autour d'un point donné. Cela est très utile pour estimer la valeur de la fonction pour des points proches du point de tangence sans avoir à faire des calculs complexes. L'approximation est donnée par : $f(x, y) \approx f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0)$
3. Physique et Ingénierie :
   • Le gradient est utilisé pour décrire le champ électrique, le flux de chaleur, le potentiel gravitationnel, etc. Il indique la direction et l'intensité de la variation d'une grandeur scalaire.
   • Dans l'écoulement des fluides, le gradient de pression est lié à la force qui pousse le fluide.
   • En traitement d'images, le gradient est utilisé pour détecter les bords.

Pour une fonction d'une variable $f(x)$, un extremum local ne peut se produire qu'en un point où $f'(x) = 0$ ou $f'(x)$ n'existe pas. Pour une fonction de deux variables $f(x, y)$, le concept est similaire.

Un point $(x_0, y_0)$ est un point critique de $f(x, y)$ si :

1. $\nabla f(x_0, y_0) = \vec{0}$ (le vecteur gradient est le vecteur nul), c'est-à-dire : $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = 0$ ET $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = 0$.
2. Ou si l'une des dérivées partielles n'existe pas. (Ce cas est moins fréquent en Terminale).

La condition $\nabla f(x_0, y_0) = \vec{0}$ est une condition nécessaire pour qu'il y ait un extremum local (maximum ou minimum) au point $(x_0, y_0)$. Autrement dit, si un extremum local existe, alors le point est un point critique. Cependant, ce n'est pas une condition suffisante : un point critique peut ne pas être un extremum. Il peut s'agir d'un point selle.

Méthode pour trouver les points critiques :

1. Calculer les dérivées partielles premières $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$.
2. Résoudre le système d'équations : $\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = 0 \end{cases}$ Les solutions $(x, y)$ de ce système sont les points critiques.

1. Dérivées partielles : $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 2$ $\frac{\partial f}{\partial y} = 2y - 4$
2. Système d'équations : $\begin{cases} 2x - 2 = 0 \\ 2y - 4 = 0 \end{cases}$ $\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$ Le seul point critique est donc $(1, 2)$.

Une fois que nous avons trouvé les points critiques, nous devons déterminer s'il s'agit de maxima locaux, de minima locaux ou de points selles. Pour cela, nous utilisons le critère des dérivées secondes, qui fait appel à la matrice Hessienne.

La matrice Hessienne de $f(x, y)$ est une matrice carrée $2 \times 2$ composée des dérivées partielles secondes : $H(x, y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix}$ Grâce au théorème de Schwarz, si les dérivées croisées sont continues, les deux termes hors diagonale sont égaux ($\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$).

Le déterminant du Hessien, noté $\text{det}(H)$ ou $D(x,y)$, est crucial : $D(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right)^2$

Critère des dérivées secondes pour classer les points critiques $(x_0, y_0)$ :

1. Calculer $D(x_0, y_0)$ :
   • Si $D(x_0, y_0) > 0$ : il y a un extremum local.
     • Si $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0) > 0$ (ou $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, y_0) > 0$, les deux auront le même signe), alors c'est un minimum local.
     • Si $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0) < 0$ (ou $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, y_0) < 0$), alors c'est un maximum local.
   • Si $D(x_0, y_0) < 0$ : c'est un point selle. (La surface ressemble à une selle de cheval, le point n'est ni un max ni un min).
   • Si $D(x_0, y_0) = 0$ : le test est non concluant. Il faut utiliser d'autres méthodes (étude du signe de $f(x,y) - f(x_0,y_0)$ par exemple, souvent hors programme de Terminale).

Le déterminant du Hessien permet de classifier les points critiques comme maxima, minima ou points selles.

Voici la méthodologie complète pour trouver et classer les extrema locaux d'une fonction $f(x, y)$ :

1. Calculer les dérivées partielles premières : $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$.
2. Trouver les points critiques : Résoudre le système $\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$. Soient $(x_i, y_i)$ ces points.
3. Calculer les dérivées partielles secondes : $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$, et $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
4. Calculer le déterminant du Hessien $D(x, y)$ : $D(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right)^2$.
5. Pour chaque point critique $(x_i, y_i)$ :
   • Évaluer $D(x_i, y_i)$ et $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_i, y_i)$.
   • Utiliser le critère des dérivées secondes pour classifier le point :
     • Si $D(x_i, y_i) > 0$ et $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_i, y_i) > 0$ $\implies$ minimum local.
     • Si $D(x_i, y_i) > 0$ et $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_i, y_i) < 0$ $\implies$ maximum local.
     • Si $D(x_i, y_i) < 0$ $\implies$ point selle.
     • Si $D(x_i, y_i) = 0$ $\implies$ test non concluant.

1. Dérivées premières : $\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3y$ $\frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 3x$

2. Points critiques : $\begin{cases} 3x^2 - 3y = 0 \implies y = x^2 \quad (L1) \\ 3y^2 - 3x = 0 \implies y^2 = x \quad (L2) \end{cases}$ Substituons $(L1)$ dans $(L2)$ : $(x^2)^2 = x \implies x^4 = x$. $x^4 - x = 0 \implies x(x^3 - 1) = 0$. Donc, $x=0$ ou $x^3=1 \implies x=1$.

   • Si $x=0$, alors $y=0^2=0$. Point critique $(0, 0)$.
   • Si $x=1$, alors $y=1^2=1$. Point critique $(1, 1)$.

3. Dérivées secondes : $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 - 3y) = 6x$ $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(3y^2 - 3x) = 6y$ $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(3y^2 - 3x) = -3$ (Vérification : $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 - 3y) = -3$. Les dérivées croisées sont égales.)

4. Déterminant du Hessien : $D(x, y) = (6x)(6y) - (-3)^2 = 36xy - 9$.

5. Classification des points critiques :

   • Pour $(0, 0)$ : $D(0, 0) = 36(0)(0) - 9 = -9$. Puisque $D(0, 0) < 0$, le point $(0, 0)$ est un point selle.

   • Pour $(1, 1)$ : $D(1, 1) = 36(1)(1) - 9 = 27$. Puisque $D(1, 1) > 0$, il s'agit d'un extremum. Vérifions $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1, 1) = 6(1) = 6$. Puisque $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1, 1) > 0$, le point $(1, 1)$ est un minimum local. La valeur de la fonction en ce minimum est $f(1, 1) = 1^3 + 1^3 - 3(1)(1) = 1 + 1 - 3 = -1$.

Interprétation des résultats : La fonction $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ a un point selle à l'origine $(0,0)$, et un minimum local de valeur $-1$ au point $(1,1)$.

Cette méthodologie est fondamentale pour l'optimisation en plusieurs dimensions et est largement utilisée en sciences et ingénierie.