Matrices

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres, appelés éléments ou coefficients, organisés en lignes et en colonnes.

• Lignes : Les rangées horizontales de la matrice.
• Colonnes : Les rangées verticales de la matrice.

La dimension ou le format d'une matrice est donnée par le nombre de ses lignes et le nombre de ses colonnes. Une matrice ayant $m$ lignes et $n$ colonnes est dite de dimension $m \times n$.

Un élément quelconque d'une matrice $A$ est noté $a_{ij}$, où $i$ représente l'indice de la ligne (de 1 à $m$) et $j$ représente l'indice de la colonne (de 1 à $n$).

Exemple : Une matrice $A$ de dimension $2 \times 3$ s'écrit :

Ici, $a_{12}$ est l'élément de la première ligne et de la deuxième colonne.

Il existe plusieurs types de matrices avec des propriétés spécifiques :

• Matrice ligne : Une matrice qui n'a qu'une seule ligne ($1 \times n$). Exemple : $L = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$
• Matrice colonne : Une matrice qui n'a qu'une seule colonne ($m \times 1$). Exemple : $C = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$
• Matrice carrée : Une matrice dont le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes ($n \times n$). Exemple : $S = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ Les éléments $a_{ii}$ (où l'indice de ligne est égal à l'indice de colonne) forment la diagonale principale de la matrice carrée.
• Matrice nulle : Une matrice dont tous les éléments sont égaux à zéro. Elle est notée $0_ {m,n}$ ou simplement $0$ si la dimension est claire. Exemple : $0_{2,2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
• Matrice identité : Une matrice carrée dont les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1 et tous les autres éléments sont égaux à 0. Elle est notée $I_n$ ou simplement $I$. C'est l'élément neutre pour la multiplication matricielle. Exemple : $I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Deux matrices $A$ et $B$ sont égales si et seulement si :

1. Elles ont les mêmes dimensions.
2. Tous leurs éléments correspondants sont égaux (égalité terme à terme).

Autrement dit, pour tout $i$ et tout $j$, $a_{ij} = b_{ij}$.

Exemple : Si $A = \begin{pmatrix} x & 2 \\ 3 & y \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, alors $A = B$ si et seulement si $x=1$ et $y=4$.

C'est une condition nécessaire et suffisante : les deux conditions doivent être remplies pour que les matrices soient égales.

L'addition et la soustraction de matrices ne sont possibles que si les matrices ont les mêmes dimensions. L'opération se fait alors terme à terme.

Si $A = (a_{ij})$ et $B = (b_{ij})$ sont deux matrices de même dimension $m \times n$, alors :

• $A + B = (a_{ij} + b_{ij})$
• $A - B = (a_{ij} - b_{ij})$

Exemple : Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$. $A + B = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$ $A - B = \begin{pmatrix} 1-5 & 2-6 \\ 3-7 & 4-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -4 \\ -4 & -4 \end{pmatrix}$

Propriétés de l'addition :

• Associativité : $(A + B) + C = A + (B + C)$
• Commutativité : $A + B = B + A$
• Élément neutre : $A + 0 = A$ (où $0$ est la matrice nulle de même dimension que $A$)
• Opposé : $A + (-A) = 0$ (où $-A = (-a_{ij})$)

Multiplier une matrice par un scalaire (un nombre réel) consiste à multiplier chaque élément de la matrice par ce scalaire.

Si $A = (a_{ij})$ est une matrice de dimension $m \times n$ et $k$ est un scalaire, alors $kA = (k \cdot a_{ij})$.

Exemple : Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $k=3$. $3A = \begin{pmatrix} 3 \times 1 & 3 \times 2 \\ 3 \times 3 & 3 \times 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{pmatrix}$

Propriétés de la multiplication par un scalaire :

• Distributivité : $k(A+B) = kA + kB$ et $(k+l)A = kA + lA$
• Associativité : $k(lA) = (kl)A$
• $1 \cdot A = A$ et $0 \cdot A = 0$ (matrice nulle)

Ces opérations permettent de former des combinaisons linéaires de matrices, par exemple $2A + 3B$.

Le produit de deux matrices $A$ et $B$, noté $AB$, est l'opération la plus complexe et la plus importante.

Condition de compatibilité : Pour que le produit $AB$ soit défini, il faut que le nombre de colonnes de la première matrice ($A$) soit égal au nombre de lignes de la deuxième matrice ($B$). Si $A$ est une matrice $m \times \underline{n}$ et $B$ est une matrice $\underline{n} \times p$, alors le produit $AB$ est une matrice $m \times p$.

Règle de calcul (ligne par colonne) : L'élément $c_{ij}$ de la matrice produit $C = AB$ est obtenu en multipliant les éléments de la $i$-ème ligne de $A$ par les éléments correspondants de la $j$-ème colonne de $B$, puis en additionnant ces produits. $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{in}b_{nj}$

Exemple : Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ($2 \times 2$) et $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$ ($2 \times 2$). Le produit $AB$ sera une matrice $2 \times 2$.

Non-commutativité du produit : En général, $AB \neq BA$. L'ordre des matrices dans un produit est crucial. Dans l'exemple précédent, calculons $BA$ :

On constate bien que $AB \neq BA$. Le produit matriciel n'est pas commutatif.

Même si le produit matriciel n'est pas commutatif, il possède d'autres propriétés importantes :

• Associativité : $(AB)C = A(BC)$ (si les produits sont définis). Cela signifie que l'ordre des multiplications n'importe pas, tant que l'ordre des matrices reste le même.
• Distributivité :
  • $A(B+C) = AB + AC$ (distributivité à gauche)
  • $(A+B)C = AC + BC$ (distributivité à droite)
• Matrice identité comme élément neutre : Pour toute matrice $A$ de dimension $m \times n$, $I_m A = A$ et $A I_n = A$. Exemple : Si $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, alors $I_2 A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = A$.

Notez que le produit d'une matrice par la matrice nulle donne toujours la matrice nulle : $A \cdot 0 = 0$ et $0 \cdot A = 0$.

Soit $A$ une matrice carrée de dimension $n \times n$.

• Par convention, $A^0 = I_n$ (la matrice identité de même dimension).
• Pour tout entier naturel $k \geq 1$, $A^k = A \times A^{k-1}$. Cela signifie que $A^k$ est le produit de $A$ par elle-même $k$ fois. Par exemple, $A^2 = A \times A$, $A^3 = A \times A \times A = A^2 \times A = A \times A^2$.

Pour calculer les premières puissances d'une matrice, on applique simplement la définition de manière itérative.

Exemple : Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

• $A^0 = I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
• $A^1 = A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
• $A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times 1) + (1 \times 0) & (1 \times 1) + (1 \times 1) \\ (0 \times 1) + (1 \times 0) & (0 \times 1) + (1 \times 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
• $A^3 = A^2 \times A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times 1) + (2 \times 0) & (1 \times 1) + (2 \times 1) \\ (0 \times 1) + (1 \times 0) & (0 \times 1) + (1 \times 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

On observe un motif : il semblerait que $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Cas particuliers :

• Pour une matrice diagonale $D = \begin{pmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \end{pmatrix}$, ses puissances sont très simples à calculer : $D^n = \begin{pmatrix} d_1^n & 0 \\ 0 & d_2^n \end{pmatrix}$.
• Si $A$ est une matrice telle que $A^k = 0$ pour un certain $k$ (matrice nilpotente), ses puissances finissent par s'annuler.

Quand un motif est observé pour les puissances d'une matrice, la démonstration par récurrence est l'outil idéal pour le prouver rigoureusement.

Pour prouver une propriété $P(n)$ concernant $A^n$ pour tout entier $n \geq 0$ :

1. Initialisation : Vérifier que la propriété $P(0)$ (ou $P(1)$) est vraie. Par exemple, montrer que $A^0 = I_n$ correspond bien à la formule trouvée.
2. Hérédité : Supposer que la propriété $P(k)$ est vraie pour un certain entier $k \geq 0$ (hypothèse de récurrence). C'est-à-dire, supposer que $A^k$ a la forme prédite. Ensuite, démontrer que la propriété $P(k+1)$ est également vraie. Pour cela, calculer $A^{k+1} = A^k \times A$ en utilisant l'hypothèse de récurrence.
3. Conclusion : Si l'initialisation et l'hérédité sont vérifiées, alors la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq 0$.

Exemple (suite) : Pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, montrons par récurrence que $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ pour tout $n \geq 0$.

1. Initialisation : Pour $n=0$, $A^0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. La formule donne $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. La propriété est vraie pour $n=0$.
2. Hérédité : Supposons que $A^k = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ pour un certain $k \geq 0$. Calculons $A^{k+1}$ : $A^{k+1} = A^k \times A = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $A^{k+1} = \begin{pmatrix} (1 \times 1) + (k \times 0) & (1 \times 1) + (k \times 1) \\ (0 \times 1) + (1 \times 0) & (0 \times 1) + (1 \times 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1+k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ Ceci correspond bien à la formule pour $n=k+1$. La propriété est héréditaire.
3. Conclusion : D'après le principe de récurrence, $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ pour tout $n \geq 0$.

Une matrice carrée $A$ de dimension $n \times n$ est dite inversible s'il existe une autre matrice carrée $B$ de même dimension telle que : $A \times B = B \times A = I_n$ Où $I_n$ est la matrice identité de dimension $n$. Si une telle matrice $B$ existe, elle est unique et est appelée l'inverse de $A$, notée $A^{-1}$. Si une matrice n'a pas d'inverse, elle est dite singulière ou non inversible.

Pour une matrice $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ de dimension $2 \times 2$, son inverse $A^{-1}$ existe si et seulement si son déterminant est non nul. Le déterminant de $A$ est $\det(A) = ad - bc$.

Si $\det(A) \neq 0$, alors l'inverse est donnée par la formule directe : $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

Exemple : Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$. $\det(A) = (1 \times 4) - (2 \times 3) = 4 - 6 = -2$. Puisque $\det(A) = -2 \neq 0$, $A$ est inversible. $A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}$ Pour vérifier, on peut calculer $A A^{-1}$ : $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times -2) + (2 \times 3/2) & (1 \times 1) + (2 \times -1/2) \\ (3 \times -2) + (4 \times 3/2) & (3 \times 1) + (4 \times -1/2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2+3 & 1-1 \\ -6+6 & 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$

La condition d'inversibilité pour une matrice 2x2 est que son déterminant soit non nul.

Pour les matrices de dimension supérieure à $2 \times 2$, la méthode de Gauss-Jordan est une technique systématique pour trouver l'inverse, si elle existe.

Le principe est de former une matrice augmentée en plaçant la matrice $A$ à gauche et la matrice identité $I_n$ à droite : $[A | I_n]$. Ensuite, on applique une série d'opérations élémentaires sur les lignes de cette matrice augmentée, dans le but de transformer la partie gauche ($A$) en la matrice identité ($I_n$). Les mêmes opérations étant appliquées à la partie droite, celle-ci se transformera alors en $A^{-1}$.

Les opérations élémentaires sur les lignes sont :

1. Échanger deux lignes ($L_i \leftrightarrow L_j$).
2. Multiplier une ligne par un scalaire non nul ($L_i \leftarrow kL_i$, avec $k \neq 0$).
3. Ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne ($L_i \leftarrow L_i + kL_j$).

Le but est d'arriver à la forme $[I_n | A^{-1}]$. Si la partie gauche ne peut pas être transformée en $I_n$ (par exemple, une ligne entière de zéros apparaît), alors la matrice $A$ n'est pas inversible.

Exemple (matrice $3 \times 3$) : Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. On forme la matrice augmentée : $[A | I_3] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ Objectif : rendre la partie gauche identité. On commence par les colonnes de droite pour les coefficients non diagonaux.

1. $L_2 \leftarrow L_2 - 4L_3$ pour annuler le 4 en $(2,3)$ : $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
2. $L_1 \leftarrow L_1 - 3L_3$ pour annuler le 3 en $(1,3)$ : $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
3. $L_1 \leftarrow L_1 - 2L_2$ pour annuler le 2 en $(1,2)$ : $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ La partie gauche est maintenant la matrice identité. La partie droite est l'inverse de $A$. $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

L'inverse d'une matrice possède plusieurs propriétés utiles :

• L'inverse d'un produit : $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$. Attention à l'ordre ! Ceci est dû à la non-commutativité du produit matriciel.
• L'inverse de l'inverse : $(A^{-1})^{-1} = A$.
• L'inverse d'un multiple scalaire : $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$ (pour $k \neq 0$).
• L'inverse de la transposée : $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$. (La transposée $A^T$ est obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de $A$).
• La matrice identité est son propre inverse : $I^{-1} = I$.

Un système d'équations linéaires peut être écrit sous forme matricielle, ce qui simplifie grandement sa résolution, surtout pour de grands systèmes.

Considérons un système de $n$ équations à $n$ inconnues :

Ce système peut être écrit sous la forme matricielle compacte : $AX = B$, où :

• $A = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}$ est la matrice des coefficients.
• $X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ est la matrice colonne des inconnues.
• $B = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}$ est la matrice colonne des constantes.

Si la matrice $A$ est inversible (c'est-à-dire si $\det(A) \neq 0$), alors on peut multiplier l'équation $AX = B$ par $A^{-1}$ à gauche : $A^{-1}(AX) = A^{-1}B$ $(A^{-1}A)X = A^{-1}B$ $I_n X = A^{-1}B$ $X = A^{-1}B$ La solution du système est donc directement donnée par le produit de l'inverse de la matrice des coefficients par la matrice des constantes.

Exemple : Résoudre le système $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 11 \end{cases}$ Sous forme matricielle : $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}$. On a $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}$. Nous avons déjà calculé $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}$. Donc, $X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2 \times 5) + (1 \times 11) \\ (3/2 \times 5) + (-1/2 \times 11) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10+11 \\ 15/2 - 11/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. La solution est $x=1$ et $y=2$. Cette méthode est particulièrement efficace pour les systèmes de grande taille, où elle est implémentée dans des algorithmes numériques.

La méthode de Gauss (ou d'élimination de Gauss) est une autre approche pour résoudre les systèmes linéaires, qui est souvent plus efficace numériquement que le calcul explicite de l'inverse pour les grandes matrices. Elle consiste à transformer la matrice augmentée $[A | B]$ en une forme échelonnée par des opérations élémentaires sur les lignes.

Les matrices sont largement utilisées pour modéliser l'évolution de systèmes discrets, où l'état du système change à des intervalles de temps réguliers.

• Matrices de transition : Elles décrivent le passage d'un état à un autre dans un système. Chaque élément $p_{ij}$ de la matrice représente la probabilité ou le taux de transition de l'état $j$ vers l'état $i$.
• Chaînes de Markov : Ce sont des modèles mathématiques de systèmes dont l'état futur ne dépend que de l'état actuel et non des états passés. Les matrices de transition sont au cœur des chaînes de Markov. Si $E_k$ est un vecteur colonne représentant la distribution des états à l'instant $k$, et $T$ est la matrice de transition, alors $E_{k+1} = T E_k$. Donc, $E_n = T^n E_0$, où $E_0$ est la distribution initiale des états. Le calcul des puissances de matrices est donc essentiel ici.

Exemple simplifié : Imaginez une population se déplaçant entre une ville (V) et la campagne (C). Si 80% des habitants de V restent à V et 20% vont à C chaque année, et 30% des habitants de C vont à V et 70% restent à C. La matrice de transition $T$ serait : $T = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{pmatrix} \quad \text{(colonnes = origine, lignes = destination)}$ Si la population initiale est 1000 habitants en ville et 0 à la campagne : $E_0 = \begin{pmatrix} 1000 \\ 0 \end{pmatrix}$. Après 1 an : $E_1 = T E_0 = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1000 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 800 \\ 200 \end{pmatrix}$. Après 2 ans : $E_2 = T E_1 = T^2 E_0$, et ainsi de suite.

En géométrie, les matrices permettent de représenter et de composer des transformations géométriques dans le plan ou dans l'espace. C'est le fondement de l'infographie 2D et 3D.

• Rotation : Une rotation d'un angle $\theta$ autour de l'origine dans le plan est représentée par la matrice : $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$ Si un point $P$ a pour coordonnées $(x,y)$, son vecteur colonne est $\vec{P} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. Le point transformé $P'$ aura pour coordonnées $\vec{P'} = R_\theta \vec{P}$.
• Homothétie (mise à l'échelle) : Une homothétie de facteur $k$ est représentée par : $H_k = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$
• Symétrie : Par exemple, la symétrie par rapport à l'axe des abscisses est : $S_x = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

La composition de transformations correspond au produit matriciel. Si l'on applique d'abord une transformation $T_1$ puis une transformation $T_2$, la transformation résultante est $T_2 T_1$. L'ordre est important !

Exemple : Faire tourner un point de 90° dans le sens trigonométrique, puis le redimensionner par un facteur 2. $R_{\pi/2} = \begin{pmatrix} \cos(\pi/2) & -\sin(\pi/2) \\ \sin(\pi/2) & \cos(\pi/2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ $H_2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ La matrice de la transformation composée est $M = H_2 R_{\pi/2} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$. Si le point initial est $(1,0)$, $\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$. Le point est transformé en $(0,2)$.