Représentation paramétrique et équation cartésienne

Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur qui donne sa "direction". Imaginez une flèche qui pointe le long de la droite.

• Définition d'un vecteur directeur : Un vecteur $\vec{u}$ est un vecteur directeur d'une droite $(D)$ s'il est non nul et si la droite $(D)$ est parallèle à la droite portant le vecteur $\vec{u}$. En d'autres termes, il indique l'orientation de la droite.

• Propriétés des vecteurs directeurs :

  • Si $\vec{u}$ est un vecteur directeur d'une droite $(D)$, alors tout vecteur $k\vec{u}$ (avec $k \in \mathbb{R}^*$) est aussi un vecteur directeur de $(D)$. La direction reste la même, seule la "longueur" ou le sens peut changer.
  • Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

• Calcul d'un vecteur directeur à partir de deux points : Si une droite $(D)$ passe par deux points $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$, alors le vecteur $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$ est un vecteur directeur de cette droite.

  • Exemple 2D : Soit une droite passant par $A(1, 2)$ et $B(3, 5)$. Un vecteur directeur est $\vec{AB} = (3-1, 5-2) = (2, 3)$.
  • Exemple 3D : Soit une droite passant par $C(0, 1, -1)$ et $D(2, 0, 3)$. Un vecteur directeur est $\vec{CD} = (2-0, 0-1, 3-(-1)) = (2, -1, 4)$.

Le vecteur normal est l'opposé du vecteur directeur en termes d'orientation : il est perpendiculaire à la droite.

• Définition d'un vecteur normal : Un vecteur $\vec{n}$ est un vecteur normal à une droite $(D)$ s'il est non nul et si la droite portant le vecteur $\vec{n}$ est perpendiculaire à la droite $(D)$.

• Relation entre vecteur directeur et vecteur normal (orthogonalité) : Par définition, un vecteur directeur et un vecteur normal d'une même droite sont orthogonaux.

  • Cela signifie que leur produit scalaire est nul.
  • Si $\vec{u}(x_u, y_u)$ est un vecteur directeur et $\vec{n}(x_n, y_n)$ est un vecteur normal d'une droite en 2D, alors $\vec{u} \cdot \vec{n} = x_u x_n + y_u y_n = 0$.
  • Exemple 2D : Si $\vec{u}(2, 3)$ est un vecteur directeur, alors un vecteur normal $\vec{n}$ peut être $(3, -2)$ car $(2)(3) + (3)(-2) = 6 - 6 = 0$. Ou encore $(-3, 2)$. Il existe une infinité de vecteurs normaux pour une droite donnée, tous colinéaires entre eux.

En 3D, les concepts s'étendent aux plans. Un plan a un vecteur normal unique (à un facteur près) mais une infinité de vecteurs directeurs.

• Vecteur normal à un plan : Un vecteur $\vec{n}$ est un vecteur normal à un plan $(P)$ s'il est non nul et s'il est orthogonal à tous les vecteurs contenus dans le plan $(P)$.

  • Imaginez la normale comme une flèche qui sort perpendiculairement de la surface du plan.
  • Si un plan a pour équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$, alors le vecteur $\vec{n}(a, b, c)$ est un vecteur normal à ce plan.

• Vecteurs directeurs d'un plan : Un plan n'a pas un seul vecteur directeur, mais il est défini par deux vecteurs directeurs non colinéaires. Ces deux vecteurs "étirent" le plan dans deux directions différentes.

  • Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs directeurs non colinéaires d'un plan $(P)$, alors tout point $M$ du plan peut être atteint depuis un point fixe $A$ du plan par $\vec{AM} = s\vec{u} + t\vec{v}$ où $s, t \in \mathbb{R}$.

• Relation entre vecteur normal et vecteurs directeurs d'un plan : Un vecteur normal $\vec{n}$ à un plan est orthogonal à chacun des vecteurs directeurs de ce plan.

  • Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs directeurs d'un plan et $\vec{n}$ est un vecteur normal, alors $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$.
  • Le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$ d'un plan donne un vecteur normal au plan : $\vec{n} = \vec{u} \wedge \vec{v}$. C'est une méthode très pratique pour trouver un vecteur normal.

• Point et vecteur directeur : Pour définir une droite de manière paramétrique, il nous faut deux choses :

  1. Un point $A(x_A, y_A, z_A)$ par lequel passe la droite.
  2. Un vecteur directeur $\vec{u}(x_u, y_u, z_u)$ de la droite.

• Paramètre $t$ réel : Le paramètre $t$ est un nombre réel qui représente "combien de fois" on se déplace le long du vecteur directeur à partir du point $A$. Pour chaque valeur de $t$, on obtient un point unique sur la droite.

• Coordonnées $(x, y)$ ou $(x, y, z)$ en fonction de $t$ :

  • En 2D, un point $M(x, y)$ est sur la droite si $\vec{AM} = t\vec{u}$.
    • $x = x_A + t x_u$
    • $y = y_A + t y_u$
  • En 3D, un point $M(x, y, z)$ est sur la droite si $\vec{AM} = t\vec{u}$.
    • $x = x_A + t x_u$
    • $y = y_A + t y_u$
    • $z = z_A + t z_u$

  L'ensemble de ces équations est la représentation paramétrique de la droite.

C'est l'application directe des formules ci-dessus.

• Formule générale : Soit une droite $(D)$ passant par $A(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(x_u, y_u, z_u)$. Alors, la représentation paramétrique de $(D)$ est : $\begin{cases} x = x_A + t x_u \\ y = y_A + t y_u \\ z = z_A + t z_u \end{cases} \quad \text{où } t \in \mathbb{R}$

• Exemples en 2D :

  • Droite passant par $A(1, 2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3, -1)$. $\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 - t \end{cases} \quad \text{où } t \in \mathbb{R}$
  • Droite passant par l'origine $O(0, 0)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(-2, 4)$. $\begin{cases} x = -2t \\ y = 4t \end{cases} \quad \text{où } t \in \mathbb{R}$

• Exemples en 3D :

  • Droite passant par $B(0, -1, 5)$ et de vecteur directeur $\vec{w}(1, 0, -2)$. $\begin{cases} x = 0 + 1t \\ y = -1 + 0t \\ z = 5 - 2t \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x = t \\ y = -1 \\ z = 5 - 2t \end{cases} \quad \text{où } t \in \mathbb{R}$
  • Droite passant par $C(2, 3, 1)$ et $D(4, 0, 2)$. D'abord, trouvons un vecteur directeur : $\vec{CD} = (4-2, 0-3, 2-1) = (2, -3, 1)$. Ensuite, utilisons le point $C$ (ou $D$) : $\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = 3 - 3t \\ z = 1 + t \end{cases} \quad \text{où } t \in \mathbb{R}$

Pour savoir si un point $M(x_M, y_M, z_M)$ appartient à une droite définie par une représentation paramétrique, il suffit de voir si on peut trouver une valeur unique de $t$ qui satisfait toutes les équations.

• Substitution des coordonnées du point : Remplacez $x, y, z$ par les coordonnées du point $M$ dans les équations paramétriques. Par exemple, si la droite est donnée par $\begin{cases} x = x_A + t x_u \\ y = y_A + t y_u \\ z = z_A + t z_u \end{cases}$ et le point est $M(x_M, y_M, z_M)$, on obtient : $\begin{cases} x_M = x_A + t x_u \\ y_M = y_A + t y_u \\ z_M = z_A + t z_u \end{cases}$

• Résolution du système d'équations : Résolvez chaque équation pour $t$.

  • Si les valeurs de $t$ obtenues dans toutes les équations sont les mêmes, alors le point appartient à la droite.
  • Si les valeurs de $t$ sont différentes pour au moins deux équations, le point n'appartient pas à la droite.

• Existence d'un unique paramètre $t$ :

  • Exemple : Soit la droite $(D)$ d'équations paramétriques $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 2 + 3t \end{cases}$. Le point $P(3, 2, 5)$ appartient-il à $(D)$ ?

    1. $3 = 1 + 2t \Rightarrow 2t = 2 \Rightarrow t = 1$
    2. $2 = 3 - t \Rightarrow t = 3 - 2 \Rightarrow t = 1$
    3. $5 = 2 + 3t \Rightarrow 3t = 3 \Rightarrow t = 1$ Comme nous avons trouvé la même valeur $t=1$ pour les trois équations, le point $P(3, 2, 5)$ appartient bien à la droite $(D)$.

    Le point $Q(0, 1, 0)$ appartient-il à $(D)$ ?

    1. $0 = 1 + 2t \Rightarrow 2t = -1 \Rightarrow t = -1/2$
    2. $1 = 3 - t \Rightarrow t = 3 - 1 \Rightarrow t = 2$ Les valeurs de $t$ sont différentes ($-1/2 \neq 2$). Donc, le point $Q$ n'appartient pas à la droite $(D)$.

Pour trouver l'intersection de deux droites données par leurs représentations paramétriques, nous cherchons un point qui satisfait les équations des deux droites simultanément.

• Égalité des représentations paramétriques : Soit $(D_1) : \begin{cases} x = x_1 + t_1 x_{u_1} \\ y = y_1 + t_1 y_{u_1} \\ z = z_1 + t_1 z_{u_1} \end{cases}$ et $(D_2) : \begin{cases} x = x_2 + t_2 x_{u_2} \\ y = y_2 + t_2 y_{u_2} \\ z = z_2 + t_2 z_{u_2} \end{cases}$. Pour un point d'intersection, les coordonnées $(x, y, z)$ doivent être les mêmes pour une certaine valeur $t_1$ et une certaine valeur $t_2$. Il est crucial d'utiliser des paramètres différents ($t_1$ et $t_2$) pour chaque droite !

• Système d'équations à deux inconnues : On obtient un système de 3 équations (en 3D) avec 2 inconnues ($t_1$ et $t_2$). $\begin{cases} x_1 + t_1 x_{u_1} = x_2 + t_2 x_{u_2} \\ y_1 + t_1 y_{u_1} = y_2 + t_2 y_{u_2} \\ z_1 + t_1 z_{u_1} = z_2 + t_2 z_{u_2} \end{cases}$ On résout les deux premières équations pour trouver $t_1$ et $t_2$. Ensuite, on vérifie si ces valeurs satisfont la troisième équation.

• Cas des droites sécantes, parallèles, confondues :

  1. Droites sécantes : Le système a une solution unique pour $(t_1, t_2)$. On substitue $t_1$ (ou $t_2$) dans la représentation paramétrique de la droite correspondante pour trouver les coordonnées du point d'intersection.
  2. Droites parallèles (non confondues) : Les vecteurs directeurs sont colinéaires, mais le système n'a pas de solution.
  3. Droites confondues : Les vecteurs directeurs sont colinéaires, et le système a une infinité de solutions (les deux droites sont la même).
  4. Droites gauches (en 3D seulement) : Les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, et le système n'a pas de solution. Les droites ne se rencontrent pas et ne sont pas parallèles.

  Pour distinguer les cas, il est souvent utile de vérifier d'abord la colinéarité des vecteurs directeurs.

• Vecteur normal $(a, b)$ : En 2D, si une droite $(D)$ a un vecteur normal $\vec{n}(a, b)$, alors tous les points $M(x, y)$ de la droite vérifient une relation linéaire.
• Point de la droite $(x_0, y_0)$ : Si un point $A(x_0, y_0)$ appartient à la droite, alors pour tout autre point $M(x, y)$ de la droite, le vecteur $\vec{AM}(x-x_0, y-y_0)$ est orthogonal au vecteur normal $\vec{n}$.
• Formule $ax + by + c = 0$ : Le produit scalaire $\vec{n} \cdot \vec{AM} = 0$ donne : $a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$ $ax - ax_0 + by - by_0 = 0$ $ax + by + (-ax_0 - by_0) = 0$ En posant $c = -ax_0 - by_0$, on obtient l'équation cartésienne générale d'une droite en 2D : $ax + by + c = 0$. ==Le vecteur normal à la droite $ax + by + c = 0$ est $\vec{n}(a, b)$.==

1. Élimination du paramètre $t$ : Soit la représentation paramétrique : $\begin{cases} x = x_A + t x_u \\ y = y_A + t y_u \end{cases}$. Si $x_u \neq 0$, on peut isoler $t$ de la première équation : $t = \frac{x - x_A}{x_u}$. On substitue cette expression de $t$ dans la deuxième équation : $y = y_A + \left(\frac{x - x_A}{x_u}\right) y_u$ $y x_u = y_A x_u + y_u x - y_u x_A$ $y_u x - x_u y + (y_A x_u - y_u x_A) = 0$. C'est de la forme $ax + by + c = 0$ avec $a = y_u$, $b = -x_u$ et $c = y_A x_u - y_u x_A$.

2. Utilisation du vecteur directeur pour trouver le vecteur normal : Si la droite a un vecteur directeur $\vec{u}(x_u, y_u)$, alors un vecteur normal est $\vec{n}(-y_u, x_u)$ ou $\vec{n}(y_u, -x_u)$. On a donc l'équation $y_u x - x_u y + c = 0$.

3. Calcul de la constante $c$ : Pour trouver $c$, on utilise un point connu de la droite, par exemple $A(x_A, y_A)$. On substitue ses coordonnées dans l'équation : $y_u x_A - x_u y_A + c = 0 \Rightarrow c = x_u y_A - y_u x_A$. D'où l'équation cartésienne : $y_u x - x_u y + (x_u y_A - y_u x_A) = 0$.

   • Exemple : Droite passant par $A(1, 2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3, -1)$. Vecteur normal $\vec{n}(1, 3)$. L'équation est de la forme $1x + 3y + c = 0$. En utilisant $A(1, 2)$ : $1(1) + 3(2) + c = 0 \Rightarrow 1 + 6 + c = 0 \Rightarrow c = -7$. Donc, l'équation cartésienne est $x + 3y - 7 = 0$.

1. Choix d'un point de la droite : On donne une valeur arbitraire à $x$ (par exemple $x=0$) et on résout pour $y$, ou vice versa.

   • Exemple : $x + 3y - 7 = 0$. Si $x=1$, alors $1 + 3y - 7 = 0 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2$. Donc $A(1, 2)$ est un point de la droite.

2. Déduction d'un vecteur directeur : Si l'équation cartésienne est $ax + by + c = 0$, le vecteur normal est $\vec{n}(a, b)$. Un vecteur directeur $\vec{u}$ est orthogonal à $\vec{n}$. On peut prendre $\vec{u}(-b, a)$ ou $\vec{u}(b, -a)$.

   • Exemple : $x + 3y - 7 = 0$. Vecteur normal $\vec{n}(1, 3)$. Un vecteur directeur est $\vec{u}(-3, 1)$.

3. Expression des coordonnées en fonction de $t$ : Avec $A(1, 2)$ et $\vec{u}(-3, 1)$, la représentation paramétrique est : $\begin{cases} x = 1 - 3t \\ y = 2 + t \end{cases} \quad \text{où } t \in \mathbb{R}$ On peut aussi isoler une variable de l'équation cartésienne et l'utiliser comme paramètre. Par exemple, si $x + 3y - 7 = 0$, on peut écrire $x = 7 - 3y$. En posant $y = t$, on obtient : $\begin{cases} x = 7 - 3t \\ y = t \end{cases}$. C'est une autre représentation paramétrique valide.

Pour trouver l'intersection de deux droites en 2D données par leurs équations cartésiennes, on résout le système formé par ces deux équations.

• Système de deux équations à deux inconnues : Soient $(D_1) : a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ et $(D_2) : a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$. On résout le système : $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = -c_1 \\ a_2 x + b_2 y = -c_2 \end{cases}$

• Méthodes de résolution (substitution, combinaison) :

  • Substitution : Isoler $x$ ou $y$ d'une équation et le substituer dans l'autre.
  • Combinaison linéaire : Multiplier les équations par des coefficients pour éliminer une variable en les additionnant/soustraire.

• Interprétation géométrique des solutions :

  1. Solution unique : Les droites sont sécantes en un unique point.
  2. Aucune solution : Les droites sont strictement parallèles.
  3. Infinité de solutions : Les droites sont confondues.
  • Exemple : $(D_1) : x + 3y - 7 = 0$ $(D_2) : 2x - y + 7 = 0$ De $(D_2)$, $y = 2x + 7$. On substitue dans $(D_1)$ : $x + 3(2x + 7) - 7 = 0$ $x + 6x + 21 - 7 = 0$ $7x + 14 = 0 \Rightarrow 7x = -14 \Rightarrow x = -2$. On trouve $y = 2(-2) + 7 = -4 + 7 = 3$. Le point d'intersection est $(-2, 3)$. Les droites sont sécantes.

• Point du plan : Un point $A(x_A, y_A, z_A)$ par lequel passe le plan.
• Deux vecteurs directeurs non colinéaires : Deux vecteurs $\vec{u}(x_u, y_u, z_u)$ et $\vec{v}(x_v, y_v, z_v)$ qui sont parallèles au plan et qui ne sont pas colinéaires (c'est-à-dire qu'ils ne sont pas multiples l'un de l'autre). Ils définissent "l'orientation" du plan.
• Deux paramètres réels $(s, t)$ : Pour tout point $M(x, y, z)$ du plan, le vecteur $\vec{AM}$ peut être exprimé comme une combinaison linéaire des deux vecteurs directeurs : $\vec{AM} = s\vec{u} + t\vec{v}$, où $s, t \in \mathbb{R}$.

• Formule générale en 3D : Soit un plan $(P)$ passant par $A(x_A, y_A, z_A)$ et dirigé par les vecteurs non colinéaires $\vec{u}(x_u, y_u, z_u)$ et $\vec{v}(x_v, y_v, z_v)$. La représentation paramétrique de $(P)$ est : $\begin{cases} x = x_A + s x_u + t x_v \\ y = y_A + s y_u + t y_v \\ z = z_A + s z_u + t z_v \end{cases} \quad \text{où } s, t \in \mathbb{R}$

• Exemples de construction :

  • Plan passant par $A(1, 0, -1)$ et dirigé par $\vec{u}(2, 1, 0)$ et $\vec{v}(0, 3, 1)$. $\begin{cases} x = 1 + 2s + 0t \\ y = 0 + 1s + 3t \\ z = -1 + 0s + 1t \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x = 1 + 2s \\ y = s + 3t \\ z = -1 + t \end{cases} \quad \text{où } s, t \in \mathbb{R}$
  • Plan passant par $B(0, 0, 0)$, $C(1, 1, 0)$ et $D(0, 1, 1)$. On peut prendre $B$ comme point du plan. Les vecteurs directeurs sont $\vec{BC} = (1, 1, 0)$ et $\vec{BD} = (0, 1, 1)$. Ils sont non colinéaires (car $(1,1,0) \neq k(0,1,1)$). $\begin{cases} x = 0 + 1s + 0t \\ y = 0 + 1s + 1t \\ z = 0 + 0s + 1t \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x = s \\ y = s + t \\ z = t \end{cases} \quad \text{où } s, t \in \mathbb{R}$

• Vérification de la non-colinéarité : Pour que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient directeurs d'un plan, ils ne doivent pas être colinéaires. Ceci est vérifié si l'un n'est pas un multiple scalaire de l'autre, ou si leur produit vectoriel $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est non nul.

Pour vérifier si un point $M(x_M, y_M, z_M)$ appartient à un plan donné par sa représentation paramétrique, on substitue les coordonnées de $M$ et on essaie de trouver des valeurs $s$ et $t$ uniques.

• Substitution des coordonnées du point : $\begin{cases} x_M = x_A + s x_u + t x_v \\ y_M = y_A + s y_u + t y_v \\ z_M = z_A + s z_u + t z_v \end{cases}$

• Résolution du système d'équations : C'est un système de 3 équations à 2 inconnues $(s, t)$.

  1. Choisissez deux des équations et résolvez-les pour trouver $s$ et $t$.
  2. Substituez ces valeurs de $s$ et $t$ dans la troisième équation.
  3. Si la troisième équation est satisfaite, le point appartient au plan. Sinon, il n'appartient pas.

• Existence d'un couple $(s, t)$ :

  • Exemple : Plan $(P)$ d'équations paramétriques $\begin{cases} x = 1 + 2s \\ y = s + 3t \\ z = -1 + t \end{cases}$. Le point $P(1, 4, 0)$ appartient-il au plan $(P)$ ?

    1. $1 = 1 + 2s \Rightarrow 2s = 0 \Rightarrow s = 0$
    2. $4 = s + 3t \Rightarrow 4 = 0 + 3t \Rightarrow 3t = 4 \Rightarrow t = 4/3$
    3. $0 = -1 + t \Rightarrow 0 = -1 + 4/3 \Rightarrow 0 = 1/3$. Ceci est Faux ! Donc, le point $P(1, 4, 0)$ n'appartient pas au plan $(P)$.

    Le point $Q(1, 3, 0)$ appartient-il au plan $(P)$ ?

    1. $1 = 1 + 2s \Rightarrow s = 0$
    2. $3 = s + 3t \Rightarrow 3 = 0 + 3t \Rightarrow t = 1$
    3. $0 = -1 + t \Rightarrow 0 = -1 + 1 \Rightarrow 0 = 0$. Ceci est Vrai ! Donc, le point $Q(1, 3, 0)$ appartient bien au plan $(P)$.

• Vecteur normal $(a, b, c)$ : Un plan est caractérisé par un vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ qui lui est orthogonal.
• Point du plan $(x_0, y_0, z_0)$ : Si un point $A(x_0, y_0, z_0)$ appartient au plan, alors pour tout autre point $M(x, y, z)$ du plan, le vecteur $\vec{AM}(x-x_0, y-y_0, z-z_0)$ est orthogonal au vecteur normal $\vec{n}$.
• Formule $ax + by + cz + d = 0$ : Le produit scalaire $\vec{n} \cdot \vec{AM} = 0$ donne : $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ $ax - ax_0 + by - by_0 + cz - cz_0 = 0$ $ax + by + cz + (-ax_0 - by_0 - cz_0) = 0$ En posant $d = -ax_0 - by_0 - cz_0$, on obtient l'équation cartésienne générale d'un plan en 3D : $ax + by + cz + d = 0$. ==Le vecteur $\vec{n}(a, b, c)$ est un vecteur normal au plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$.==

1. Calcul du vecteur normal (produit vectoriel) : Soit un plan donné par un point $A(x_A, y_A, z_A)$ et deux vecteurs directeurs non colinéaires $\vec{u}(x_u, y_u, z_u)$ et $\vec{v}(x_v, y_v, z_v)$. Un vecteur normal $\vec{n}$ au plan est donné par le produit vectoriel de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : $\vec{n} = \vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} y_u z_v - z_u y_v \\ z_u x_v - x_u z_v \\ x_u y_v - y_u x_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$. On a alors l'équation : $ax + by + cz + d = 0$.

2. Substitution d'un point pour trouver $d$ : On utilise le point $A(x_A, y_A, z_A)$ du plan et les coefficients $a, b, c$ trouvés : $a x_A + b y_A + c z_A + d = 0 \Rightarrow d = - (a x_A + b y_A + c z_A)$.

3. Élimination des paramètres $s$ et $t$ (méthode alternative) : C'est une méthode plus longue mais qui fonctionne. On exprime $s$ et $t$ en fonction de $x, y, z$ à partir de deux équations, puis on substitue dans la troisième.

   • Exemple : Plan passant par $A(1, 0, -1)$ et dirigé par $\vec{u}(2, 1, 0)$ et $\vec{v}(0, 3, 1)$.
     1. Calcul du vecteur normal : $\vec{n} = \vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(1) - (0)(3) \\ (0)(0) - (2)(1) \\ (2)(3) - (1)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$. Donc, l'équation est de la forme $x - 2y + 6z + d = 0$.
     2. Calcul de $d$ avec $A(1, 0, -1)$ : $1(1) - 2(0) + 6(-1) + d = 0$ $1 - 0 - 6 + d = 0 \Rightarrow -5 + d = 0 \Rightarrow d = 5$. L'équation cartésienne du plan est $x - 2y + 6z + 5 = 0$.

1. Choix de deux variables comme paramètres : Soit le plan $ax + by + cz + d = 0$. On peut choisir deux variables, par exemple $y$ et $z$, comme paramètres. Posons $y = s$ et $z = t$, où $s, t \in \mathbb{R}$.

2. Expression de la troisième variable : On exprime $x$ en fonction de $s$ et $t$ (ou $y$ ou $z$ selon le choix initial) : $ax = -by - cz - d \Rightarrow x = -\frac{b}{a}y - \frac{c}{a}z - \frac{d}{a}$ (si $a \neq 0$). En substituant $y=s$ et $z=t$ : $x = -\frac{b}{a}s - \frac{c}{a}t - \frac{d}{a}$.

3. Déduction d'un point et de deux vecteurs directeurs : La représentation paramétrique est alors : $\begin{cases} x = -\frac{d}{a} - \frac{b}{a}s - \frac{c}{a}t \\ y = 0 + 1s + 0t \\ z = 0 + 0s + 1t \end{cases}$ On peut identifier un point $A(-\frac{d}{a}, 0, 0)$ et des vecteurs directeurs $\vec{u}(-\frac{b}{a}, 1, 0)$ et $\vec{v}(-\frac{c}{a}, 0, 1)$.

   • Exemple : Plan d'équation $x - 2y + 6z + 5 = 0$. Posons $y=s$ et $z=t$. $x = 2y - 6z - 5$. En substituant : $\begin{cases} x = -5 + 2s - 6t \\ y = s \\ z = t \end{cases} \quad \text{où } s, t \in \mathbb{R}$ On retrouve un point $(-5, 0, 0)$ et des vecteurs directeurs $(2, 1, 0)$ et $(-6, 0, 1)$. Ces vecteurs sont colinéaires aux vecteurs directeurs originaux, mais pas identiques. C'est normal, il y a plusieurs façons de représenter un plan.

Pour trouver l'intersection d'une droite et d'un plan, on substitue la représentation paramétrique de la droite dans l'équation cartésienne du plan.

• Substitution de la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan : Soit la droite $(D) : \begin{cases} x = x_D + t x_u \\ y = y_D + t y_u \\ z = z_D + t z_u \end{cases}$ et le plan $(P) : ax + by + cz + d = 0$. On substitue les expressions de $x, y, z$ de la droite dans l'équation du plan : $a(x_D + t x_u) + b(y_D + t y_u) + c(z_D + t z_u) + d = 0$.

• Résolution de l'équation en $t$ : On obtient une équation du premier degré en $t$ : $(a x_u + b y_u + c z_u)t + (a x_D + b y_D + c z_D + d) = 0$. Soit $At + B = 0$.

• Cas de l'intersection unique, droite incluse, droite parallèle :

  1. Intersection unique : Si $A \neq 0$, il y a une solution unique pour $t$. On substitue cette valeur de $t$ dans la représentation paramétrique de la droite pour obtenir les coordonnées du point d'intersection. La droite est sécante au plan.
  2. Droite incluse dans le plan : Si $A = 0$ et $B = 0$, l'équation $0t + 0 = 0$ est vraie pour tout $t$. Cela signifie que tous les points de la droite appartiennent au plan. La droite est incluse dans le plan.
  3. Droite parallèle au plan (pas incluse) : Si $A = 0$ et $B \neq 0$, l'équation $0t + B = 0$ n'a pas de solution. Cela signifie que la droite est strictement parallèle au plan.
     • Note : $A = a x_u + b y_u + c z_u$ est le produit scalaire du vecteur normal du plan $\vec{n}(a, b, c)$ et du vecteur directeur de la droite $\vec{u}(x_u, y_u, z_u)$. Si $A=0$, cela signifie que $\vec{n}$ et $\vec{u}$ sont orthogonaux, donc la droite est parallèle au plan.

Comprendre comment les droites et les plans s'agencent dans l'espace est une application directe des concepts vus.

• Droites parallèles, sécantes, gauches :

  • Parallèles : Leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Elles n'ont pas de point commun (strictement parallèles) ou sont confondues.
  • Sécantes : Elles ont un unique point commun. Leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.
  • Gauches (en 3D) : Elles n'ont pas de point commun et leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires. Elles ne sont ni parallèles ni sécantes.

• Plans parallèles, sécants :

  • Parallèles : Leurs vecteurs normaux sont colinéaires. Ils n'ont pas de point commun (strictement parallèles) ou sont confondues.
  • Sécants : Leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. Leur intersection est une droite.

• Droite et plan (sécants, parallèles, droite incluse) : Décrit précédemment dans l'intersection d'un plan et d'une droite.

  • Sécants : Un unique point d'intersection.
  • Parallèles : Aucun point d'intersection.
  • Droite incluse : Tous les points de la droite sont dans le plan.

• Distance d'un point à une droite : En 2D et 3D, on utilise souvent la projection orthogonale. Le pied de la perpendiculaire issue du point à la droite donne la distance. En 2D, une formule existe : $d(M_0, D) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$. En 3D, c'est plus complexe, souvent via l'aire d'un parallélogramme ou la projection.

• Distance d'un point à un plan : La distance d'un point $M_0(x_0, y_0, z_0)$ à un plan $(P)$ d'équation $ax + by + cz + d = 0$ est donnée par la formule : $d(M_0, P) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ Cette formule est fondamentale et à connaître par cœur.

• Utilisation de la projection orthogonale : Pour calculer la distance d'un point $A$ à une droite $(D)$ ou à un plan $(P)$, on peut trouver le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $(D)$ ou $(P)$. La distance est alors la longueur $AH$. Cela implique de trouver l'intersection de la droite/plan avec une droite perpendiculaire passant par $A$.

Les équations de droites et de plans sont les briques de base pour décrire des solides comme des cubes, des tétraèdres, des pyramides, etc.

• Calcul de volumes et d'aires : Connaître les coordonnées des sommets (qui sont des points) permet de calculer des longueurs (distances entre points), des aires de faces (par exemple, aire d'un triangle avec le produit vectoriel), et des volumes.

  • Exemple : Le volume d'un tétraèdre $ABCD$ est $\frac{1}{6} |(\vec{AB} \wedge \vec{AC}) \cdot \vec{AD}|$.

• Intersection de solides : La description des faces des solides par des plans permet de calculer les intersections (par exemple, l'intersection de deux cubes, ou d'une droite avec une face d'un solide).

• Application dans des contextes réels : Ces concepts sont utilisés en infographie 3D (modélisation, rendu), en robotique (navigation, positionnement), en architecture (conception de bâtiments), et en physique (trajectoires de particules, champs de force). Par exemple, pour simuler un rayon lumineux (une droite) frappant une surface (un plan).