Le mouvement d'un corps celeste dans un champ de gravitation

Pour étudier le mouvement d'un corps céleste (comme une planète, un satellite ou une étoile), il est essentiel de choisir un référentiel adapté et de savoir comment repérer ce corps dans l'espace.

• Référentiels d'étude :

  • Référentiel géocentrique : Son origine est le centre de la Terre. Ses trois axes sont dirigés vers des étoiles lointaines considérées comme fixes. Il est utilisé pour décrire le mouvement des satellites terrestres (naturels comme la Lune, artificiels comme les satellites de communication) ou des objets proches de la Terre. Ce référentiel n'est pas galiléen pour des études de très haute précision sur de longues durées, mais il est considéré comme tel pour la plupart des applications courantes en mécanique céleste.
  • Référentiel héliocentrique (ou de Copernic) : Son origine est le centre du Soleil. Ses trois axes sont également dirigés vers des étoiles lointaines considérées comme fixes. Il est utilisé pour décrire le mouvement des planètes du système solaire, des comètes ou des astéroïdes autour du Soleil. Ce référentiel est considéré comme galiléen pour l'étude du mouvement des planètes.

• Coordonnées et vecteurs : Pour repérer un point M dans l'espace, on utilise généralement des coordonnées cartésiennes $(x, y, z)$. Cependant, pour les mouvements circulaires ou elliptiques, les coordonnées polaires sont souvent plus pratiques.

  • Coordonnées polaires (dans un plan) : Un point M est repéré par sa distance $r$ à l'origine O et l'angle $\theta$ que fait le segment OM avec un axe de référence (souvent l'axe des abscisses).
  • Vecteur position : Le vecteur position $\vec{OM}$ (souvent noté $\vec{r}$) relie l'origine du référentiel au point M. Sa norme est la distance $r$.
    • En coordonnées cartésiennes : $\vec{r} = x\vec{u_x} + y\vec{u_y} + z\vec{u_z}$
    • En coordonnées polaires : $\vec{r} = r\vec{u_r}$, où $\vec{u_r}$ est un vecteur unitaire radial dirigé de O vers M.

Johannes Kepler a établi ces trois lois empiriques au début du XVIIe siècle en étudiant les observations de Tycho Brahe sur le mouvement des planètes autour du Soleil. Elles décrivent le mouvement des corps célestes en orbite.

1. Première loi de Kepler (Loi des orbites) : "Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d'inertie d'une planète est une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers."

   • Une ellipse est une courbe fermée définie par deux foyers F1 et F2. La somme des distances de tout point de l'ellipse aux deux foyers est constante.
   • Dans le cas particulier où les deux foyers coïncident, l'ellipse devient un cercle. Les orbites planétaires sont des ellipses peu excentriques, c'est-à-dire assez proches de cercles.
   • Périhélie : Point de l'orbite le plus proche du Soleil.
   • Aphélie : Point de l'orbite le plus éloigné du Soleil.

2. Deuxième loi de Kepler (Loi des aires) : "Le segment de droite reliant le centre du Soleil au centre d'inertie de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales."

   • Cela signifie que la vitesse aréolaire (aire balayée par unité de temps) est constante.
   • Conséquence importante : la vitesse de la planète n'est pas constante sur son orbite. Elle est plus rapide quand elle est proche du Soleil (au périhélie) et plus lente quand elle est loin du Soleil (à l'aphélie).

3. Troisième loi de Kepler (Loi des périodes) : "Pour toutes les planètes du système solaire, le rapport du carré de la période de révolution $T$ au cube du demi-grand axe $a$ de l'orbite est une constante."

   • Mathématiquement : $\frac{T^2}{a^3} = k$, où $k$ est une constante identique pour tous les corps en orbite autour du Soleil.
   • $T$ : Période de révolution (temps mis pour faire un tour complet).
   • $a$ : Demi-grand axe de l'ellipse (pour un cercle, $a$ est le rayon).
   • Cette loi permet de comparer les mouvements des différentes planètes : une planète plus éloignée du Soleil a une période de révolution plus longue.
   • Application aux satellites : Cette loi s'applique aussi aux satellites (naturels ou artificiels) autour d'un corps central. Par exemple, pour les satellites de la Terre, $\frac{T^2}{a^3} = k'$, où $k'$ est une constante différente de $k$, car elle dépend de la masse du corps central (ici la Terre, et non le Soleil).

Le mouvement circulaire uniforme (MCU) est un cas particulier des lois de Kepler (une ellipse de très faible excentricité, soit un cercle). C'est un mouvement très fréquent pour les satellites artificiels.

• Caractéristiques :

  • Trajectoire : Circulaire (rayon $R$ constant).
  • Vitesse : La norme de la vitesse (la vitesse linéaire $v$) est constante, mais la direction du vecteur vitesse change constamment (il est tangent à la trajectoire).
  • Période de révolution ($T$) : Le temps mis pour faire un tour complet.
  • Fréquence ($f$) : Nombre de tours par unité de temps ($f = 1/T$).

• Vitesse angulaire ($\omega$) : Mesure la vitesse de rotation. C'est l'angle balayé par unité de temps. $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ (en rad/s). Pour un MCU, $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$.

• Relation entre vitesse linéaire et vitesse angulaire : $v = R \cdot \omega$ (en m/s).

• Accélération centripète ($\vec{a}$) : Bien que la vitesse linéaire soit constante en norme, la direction du vecteur vitesse change. Il y a donc une accélération.

  • Cette accélération est toujours dirigée vers le centre du cercle (d'où le nom "centripète" qui signifie "qui cherche le centre"). Elle est perpendiculaire au vecteur vitesse.
  • Sa norme est $a = \frac{v^2}{R} = R\omega^2$.
  • Le fait qu'une accélération existe pour un MCU est fondamental pour comprendre la force responsable de ce mouvement.

Isaac Newton a formulé cette loi en 1687, reliant la chute des corps sur Terre et le mouvement des planètes. C'est une force fondamentale de la nature.

• Interaction gravitationnelle : Deux corps massifs quelconques exercent l'un sur l'autre une force attractive mutuelle. C'est une interaction à distance.

  • Considérons deux corps ponctuels (ou à répartition de masse sphérique) $A$ et $B$ de masses respectives $m_A$ et $m_B$, dont les centres sont séparés par une distance $d$.
  • La force exercée par $A$ sur $B$, notée $\vec{F}_{A/B}$, et la force exercée par $B$ sur $A$, notée $\vec{F}_{B/A}$, ont les caractéristiques suivantes :
    • Direction : La droite joignant les centres de gravité des deux corps.
    • Sens : Attractif (l'un vers l'autre).
    • Norme : Égale pour les deux forces, et donnée par la formule : $F = G \frac{m_A m_B}{d^2}$
  • $G$ : C'est la constante universelle de gravitation. Sa valeur est $G \approx 6,67 \times 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$. C'est une constante fondamentale de l'Univers.
  • $m_A, m_B$ : Masses des corps (en kg).
  • $d$ : Distance entre les centres des corps (en m).

• Forme vectorielle : Si $\vec{u}_{AB}$ est le vecteur unitaire allant de $A$ vers $B$, alors : $\vec{F}_{A/B} = -G \frac{m_A m_B}{d^2} \vec{u}_{AB}$ $\vec{F}_{B/A} = +G \frac{m_A m_B}{d^2} \vec{u}_{AB}$ On vérifie bien que $\vec{F}_{A/B} = -\vec{F}_{B/A}$ (principe des actions réciproques).

Un corps massif modifie l'espace autour de lui, créant un champ de gravitation. Ce champ est la propriété de l'espace d'exercer une force gravitationnelle sur tout autre corps massif qui y est placé.

• Vecteur champ de gravitation ($\vec{g}$) : En un point P de l'espace, le vecteur champ de gravitation $\vec{g}$ créé par un corps de masse $M$ est défini comme la force gravitationnelle $\vec{F}$ qu'il exercerait sur une masse test $m$ placée en P, divisée par cette masse test $m$. $\vec{g}(\text{P}) = \frac{\vec{F}}{m}$

  • L'unité de $\vec{g}$ est le N/kg, ou m/s$^2$ (dimensions d'une accélération).
  • Pour un corps central sphérique de masse $M$ et de rayon $R$, en un point P situé à une distance $r$ de son centre ($r \ge R$) : $\vec{g}(\text{P}) = -G \frac{M}{r^2} \vec{u}_r$ où $\vec{u}_r$ est le vecteur unitaire radial dirigé du centre du corps $M$ vers le point P.
  • Le champ de gravitation est toujours dirigé vers le corps massif qui le crée.

• Intensité du champ de gravitation : La norme du vecteur champ de gravitation est $g = G \frac{M}{r^2}$.

  • L'intensité du champ de gravitation diminue avec le carré de la distance au centre du corps massif.
  • Près de la surface de la Terre (rayon $R_T$), $r \approx R_T$, donc $g \approx G \frac{M_T}{R_T^2}$.

• Analogie avec le champ de pesanteur : Le champ de pesanteur $\vec{g}_{\text{pesanteur}}$ à la surface de la Terre est une approximation du champ de gravitation. Il inclut aussi les effets de la rotation de la Terre (force centrifuge), mais ceux-ci sont généralement négligeables.

  • Pour la plupart des exercices, on peut considérer que le champ de pesanteur est égal au champ de gravitation.
  • À la surface de la Terre, l'intensité de la pesanteur est $g_0 \approx 9,81 \text{ N/kg}$ ou $\text{m/s}^2$.

• Variation avec l'altitude : L'intensité du champ de gravitation diminue avec l'altitude $h$ (distance à la surface du corps). Si $r = R + h$ (où $R$ est le rayon du corps central), alors $g(h) = G \frac{M}{(R+h)^2}$. Plus on s'éloigne du corps central, plus le champ de gravitation s'affaiblit.

La notion de poids est directement liée à la force gravitationnelle.

• Relation entre force gravitationnelle et poids : Le poids $\vec{P}$ d'un corps de masse $m$ est la force gravitationnelle qu'exerce un corps céleste (comme la Terre) sur ce corps $m$. Ainsi, $\vec{P} = m \vec{g}$, où $\vec{g}$ est le vecteur champ de pesanteur (ou de gravitation) local.

  • À la surface de la Terre, la norme du poids est $P = m g_0$.
  • En altitude $h$, le poids diminue : $P(h) = m g(h) = m G \frac{M}{(R+h)^2}$.

• Masse inerte et masse grave :

  • La masse inerte $m_i$ est la propriété d'un corps à résister au changement de son état de mouvement (elle apparaît dans la deuxième loi de Newton : $\vec{F} = m_i \vec{a}$).
  • La masse grave $m_g$ est la propriété d'un corps à subir et à créer l'interaction gravitationnelle (elle apparaît dans la loi de Newton de la gravitation : $F = G \frac{m_g M}{d^2}$).
  • ==Le principe d'équivalence postule que la masse inerte est égale à la masse grave ($m_i = m_g$).== C'est une hypothèse fondamentale de la relativité générale et elle a été vérifiée expérimentalement avec une très grande précision.

• Accélération de la pesanteur $g$ : L'accélération de la pesanteur est, par définition, l'accélération que subirait un corps en chute libre dans le champ de pesanteur. D'après la deuxième loi de Newton, si seule la force de pesanteur agit : $\vec{P} = m \vec{a}$, donc $m \vec{g} = m \vec{a}$, ce qui implique $\vec{a} = \vec{g}$. L'accélération de la pesanteur $g$ est donc l'intensité du champ de pesanteur.

• Poids apparent : Le poids apparent est la force ressentie par un corps en raison des forces de contact exercées par son support. Il peut différer du poids réel si le corps est en accélération (ascenseur, fusée) ou s'il subit d'autres forces (poussée d'Archimède dans un fluide).

  • Par exemple, en apesanteur, un astronaute ne ressent plus son poids car il est en chute libre autour de la Terre, même si la force gravitationnelle y est encore significative.

La deuxième loi de Newton (ou Principe Fondamental de la Dynamique) est l'outil principal pour étudier le mouvement des corps sous l'effet des forces.

• Méthodologie :
  1. Définir le système : Le corps dont on étudie le mouvement (ex: une planète, un satellite).
  2. Choisir le référentiel d'étude : Il doit être galiléen (ex: référentiel héliocentrique pour les planètes, géocentrique pour les satellites terrestres).
  3. Faire le bilan des forces : Identifier toutes les forces extérieures s'exerçant sur le système.
     • Pour le mouvement des corps célestes autour d'un astre central, la seule force significative est la force gravitationnelle. On néglige les frottements et les forces exercées par d'autres corps célestes, sauf si l'on étudie des perturbations.
  4. Appliquer la deuxième loi de Newton : La somme vectorielle des forces extérieures est égale au produit de la masse du système par le vecteur accélération de son centre d'inertie. $\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \vec{a}$
  • Vecteur accélération : C'est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps : $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$.

Considérons un corps de masse $m$ (satellite, planète) en mouvement autour d'un astre central de masse $M$ (Terre, Soleil).

• Force gravitationnelle unique : Dans le référentiel galiléen choisi, la seule force agissant sur le corps $m$ est la force gravitationnelle exercée par le corps central $M$. $\vec{F} = -G \frac{M m}{r^2} \vec{u}_r$, où $\vec{u}_r$ est le vecteur unitaire radial dirigé du centre de $M$ vers $m$.

• Accélération du centre de masse : En appliquant la deuxième loi de Newton : $\vec{F} = m \vec{a}$ $-G \frac{M m}{r^2} \vec{u}_r = m \vec{a}$ $\vec{a} = -G \frac{M}{r^2} \vec{u}_r$

  • On constate que l'accélération du corps $m$ ne dépend pas de sa propre masse $m$, mais uniquement de la masse du corps central $M$ et de la distance $r$. Tous les corps, quelle que soit leur masse, subissent la même accélération gravitationnelle au même endroit.

• Cas du mouvement circulaire : Si la trajectoire est circulaire de rayon $R$, on a vu que l'accélération centripète a pour norme $a = \frac{v^2}{R}$. En identifiant cette norme à celle de l'accélération gravitationnelle : $\frac{v^2}{R} = G \frac{M}{R^2}$ Ceci permet de déterminer la vitesse nécessaire pour maintenir une orbite circulaire.

• Cas du mouvement elliptique : Lorsque la deuxième loi de Newton est appliquée avec la force gravitationnelle, on retrouve les lois de Kepler. La résolution complète des équations différentielles du mouvement montre que la trajectoire est une conique (cercle, ellipse, parabole ou hyperbole). Pour un mouvement lié (non évasif), la trajectoire est une ellipse (ou un cercle, cas particulier).

Pour un mouvement circulaire uniforme d'un satellite de masse $m$ autour d'un astre de masse $M$ et de rayon $R_{astre}$ sur une orbite de rayon $r = R_{astre} + h$ (où $h$ est l'altitude).

• Expression de la vitesse orbitale ($v$) : A partir de $\frac{v^2}{r} = G \frac{M}{r^2}$, on isole $v^2$ : $v^2 = G \frac{M}{r}$ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

  • La vitesse orbitale dépend de la masse du corps central $M$ et du rayon de l'orbite $r$. Elle est indépendante de la masse du satellite.
  • Plus le satellite est éloigné ($r$ grand), plus sa vitesse orbitale est faible.

• Expression de la période de révolution ($T$) : Pour un mouvement circulaire uniforme, la vitesse est $v = \frac{2\pi r}{T}$. En combinant avec l'expression de $v$ : $\frac{2\pi r}{T} = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ En élevant au carré des deux côtés : $\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{GM}{r}$ On réarrange pour trouver $T^2$ : $T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM}$ $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$

• Relation avec la 3ème loi de Kepler : En réarrangeant l'expression de $T^2$, on obtient : $\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$

  • Pour un mouvement circulaire, le demi-grand axe $a$ est égal au rayon $r$. On retrouve donc la troisième loi de Kepler : $\frac{T^2}{a^3} = \text{constante}$.
  • La constante de Kepler est ici $k = \frac{4\pi^2}{GM}$. Elle dépend de la masse du corps central $M$ et est donc universelle pour tous les satellites autour de ce corps central.

• Influence du rayon de l'orbite :

  • Plus le rayon de l'orbite $r$ est grand, plus la vitesse orbitale $v$ est faible.
  • Plus le rayon de l'orbite $r$ est grand, plus la période de révolution $T$ est longue.
  • Exemple : Les satellites géostationnaires sont à une altitude telle que leur période de révolution est de 24 heures, leur permettant de rester "fixes" au-dessus d'un point de l'équateur.

L'énergie potentielle est associée à la position d'un corps dans un champ de force conservatif. La force gravitationnelle est conservative.

• Définition de l'énergie potentielle : L'énergie potentielle de gravitation $E_p(r)$ d'un corps de masse $m$ dans le champ de gravitation d'un corps central de masse $M$ est définie à une constante près. Il est conventionnel de choisir l'énergie potentielle nulle à l'infini. $E_p(r) = -G \frac{Mm}{r}$

  • $G$ : Constante de gravitation.
  • $M$ : Masse du corps central.
  • $m$ : Masse du corps en mouvement.
  • $r$ : Distance entre les centres des deux corps.
  • L'énergie potentielle de gravitation est toujours négative (car elle est nulle à l'infini et la force est attractive, donc il faut fournir de l'énergie pour éloigner les corps).
  • Plus $r$ est grand, plus $E_p(r)$ est proche de zéro (donc plus "grande" en valeur algébrique).

• Travail de la force gravitationnelle : Le travail de la force gravitationnelle entre deux points A et B est égal à l'opposé de la variation de l'énergie potentielle de gravitation : $W_{A \to B}(\vec{F}_g) = E_p(A) - E_p(B) = -(E_p(B) - E_p(A)) = -\Delta E_p$.

  • Le travail est positif si le corps se rapproche du centre (l'énergie potentielle diminue).
  • Le travail est négatif si le corps s'éloigne du centre (l'énergie potentielle augmente).

• Expression de l'énergie cinétique ($E_c$) : L'énergie cinétique d'un corps de masse $m$ et de vitesse $v$ est donnée par : $E_c = \frac{1}{2} m v^2$ Elle est toujours positive ou nulle.

• Définition de l'énergie mécanique ($E_m$) : L'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle. $E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2} m v^2 - G \frac{Mm}{r}$

• Conservation de l'énergie mécanique : Dans un champ de gravitation (où la force est conservative) et en l'absence d'autres forces non conservatives (comme les frottements), l'énergie mécanique du système se conserve. $\Delta E_m = 0 \implies E_m = \text{constante}$. Ceci est une conséquence du théorème de l'énergie cinétique si seule la force gravitationnelle travaille : $\Delta E_c = W(\vec{F}_g) = -\Delta E_p \implies \Delta E_c + \Delta E_p = 0$. La conservation de l'énergie mécanique est un outil puissant pour analyser le mouvement sans passer par les forces.

• Système conservatif : Un système est dit conservatif si les seules forces qui travaillent sont conservatives. Dans ce cas, l'énergie mécanique est conservée.

L'énergie mécanique d'un corps en mouvement dans un champ de gravitation détermine la nature de sa trajectoire.

• Vitesse de satellisation (ou vitesse de mise en orbite) : C'est la vitesse minimale qu'un corps doit avoir pour se maintenir en orbite autour d'un astre, sans retomber ni s'échapper. Pour une orbite circulaire à une distance $r$ du centre de l'astre, la vitesse est $v_{sat} = \sqrt{\frac{GM}{r}}$.

  • À la surface de la Terre (en négligeant l'atmosphère, $r \approx R_T$), $v_{sat} \approx 7,9 \text{ km/s}$.

• Vitesse de libération (ou d'évasion) : C'est la vitesse minimale qu'un corps doit posséder pour échapper définitivement à l'attraction gravitationnelle d'un astre, c'est-à-dire pour atteindre l'infini avec une vitesse nulle. Cela correspond à une énergie mécanique nulle ou positive. Si $E_m = 0$, alors $E_c + E_p = 0 \implies \frac{1}{2} m v_{lib}^2 - G \frac{Mm}{r} = 0$. $v_{lib} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$

  • On remarque que $v_{lib} = \sqrt{2} \cdot v_{sat}$.
  • À la surface de la Terre ($r \approx R_T$), $v_{lib} \approx 11,2 \text{ km/s}$.
  • Si un corps a une vitesse supérieure à la vitesse de libération, il s'échappe de l'attraction de l'astre.

• Influence de l'énergie mécanique sur la trajectoire :

  • $E_m < 0$ : Orbites liées (fermées) Le corps est capturé par l'astre central. La trajectoire est une ellipse (ou un cercle si $E_m = \text{min})$. Le corps ne peut pas s'éloigner indéfiniment.
  • $E_m = 0$ : Trajectoire parabolique (ouverte) Le corps s'échappe de l'attraction de l'astre, mais sa vitesse tend vers zéro à l'infini. C'est la condition limite pour l'évasion.
  • $E_m > 0$ : Trajectoire hyperbolique (ouverte) Le corps s'échappe de l'attraction de l'astre avec une vitesse résiduelle non nulle à l'infini. Cela correspond à des passages rapides d'objets interstellaires, par exemple.

En résumé, l'énergie mécanique est un indicateur clé du destin d'un corps dans un champ de gravitation.