Mouvement et interactions

Pour décrire le mouvement d'un objet (qu'on appellera souvent "point matériel" ou "système"), nous avons besoin d'un point de référence fixe par rapport auquel observer ce mouvement. C'est le rôle du référentiel.

Un référentiel est un solide indéformable par rapport auquel on étudie le mouvement d'un corps. Il est constitué d'une origine O et de trois axes de coordonnées (Ox, Oy, Oz) formant un système d'axes.

Il existe plusieurs types de référentiels, mais un est particulièrement important en mécanique classique :

• Référentiel galiléen : C'est un référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié. En d'autres termes, un corps non soumis à des forces (ou soumis à des forces qui se compensent) y est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme. Les référentiels terrestres (lié à la Terre) sont considérés comme galiléens pour des durées courtes (inférieures à quelques heures) ; le référentiel géocentrique (lié au centre de la Terre, axes pointant vers des étoiles lointaines) est galiléen pour l'étude des satellites ; le référentiel héliocentrique (lié au centre du Soleil, axes pointant vers des étoiles lointaines) est galiléen pour l'étude des planètes.

Pour localiser un point M dans l'espace, on utilise des coordonnées.

• Coordonnées cartésiennes : C'est le système le plus courant. Le point M est repéré par ses coordonnées (x, y, z) dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. Son vecteur position est $\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$.
• Coordonnées polaires : Utilisées pour les mouvements plans (2D), notamment circulaires. Le point M est repéré par sa distance r à l'origine O et l'angle $\theta$ que fait le vecteur $\vec{OM}$ avec l'axe Ox. Le vecteur position est $\vec{OM} = r \vec{u_r}$, où $\vec{u_r}$ est un vecteur unitaire radial.

Le mouvement d'un point matériel M est décrit par l'évolution de son vecteur position au cours du temps, $\vec{OM}(t)$.

• Vecteur position : $\vec{OM}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}$. Il indique la position du point M à chaque instant t.

À partir du vecteur position, on peut déduire le vecteur vitesse et le vecteur accélération par dérivation temporelle.

• Vecteur vitesse instantanée : Il caractérise la rapidité et la direction du mouvement à un instant donné. C'est la dérivée du vecteur position par rapport au temps : $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{OM}}{dt} = \dot{\vec{OM}}$ En coordonnées cartésiennes : $\vec{v}(t) = \frac{dx}{dt}\vec{i} + \frac{dy}{dt}\vec{j} + \frac{dz}{dt}\vec{k} = v_x\vec{i} + v_y\vec{j} + v_z\vec{k}$. La norme du vecteur vitesse, $v = ||\vec{v}|| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$, est appelée la vitesse scalaire ou rapidité.

• Vecteur accélération : Il caractérise la variation du vecteur vitesse au cours du temps. C'est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps (et donc la dérivée seconde du vecteur position) : $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \dot{\vec{v}} = \frac{d^2\vec{OM}}{dt^2} = \ddot{\vec{OM}}$ En coordonnées cartésiennes : $\vec{a}(t) = \frac{dv_x}{dt}\vec{i} + \frac{dv_y}{dt}\vec{j} + \frac{dv_z}{dt}\vec{k} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$. L'accélération peut modifier la norme de la vitesse (accélération tangentielle) ou sa direction (accélération normale).

Selon la trajectoire et l'évolution de la vitesse, on distingue plusieurs types de mouvements.

• Mouvement rectiligne uniforme (MRU) :

  • La trajectoire est une droite.
  • Le vecteur vitesse est constant ($\vec{v} = constante$).
  • L'accélération est nulle ($\vec{a} = \vec{0}$).
  • Équations horaires (si le mouvement est selon l'axe Ox) : $x(t) = v_0 t + x_0$. La vitesse $v_0$ est constante.

• Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV) :

  • La trajectoire est une droite.
  • Le vecteur accélération est constant ($\vec{a} = constante$) et colinéaire à la trajectoire.
  • La vitesse varie linéairement avec le temps.
  • Équations horaires (si le mouvement est selon l'axe Ox) :
    • $v_x(t) = a_x t + v_{0x}$
    • $x(t) = \frac{1}{2}a_x t^2 + v_{0x} t + x_0$
  • Une relation utile : $v_x^2 - v_{0x}^2 = 2 a_x (x - x_0)$.

• Mouvement circulaire uniforme (MCU) :

  • La trajectoire est un cercle.
  • La norme du vecteur vitesse est constante ($||\vec{v}|| = v = constante$).
  • Le vecteur vitesse change de direction en permanence.
  • L'accélération est non nulle, dirigée vers le centre du cercle (accélération centripète ou normale).
  • Sa norme est $a = \frac{v^2}{R}$, où R est le rayon du cercle.
  • On utilise souvent la vitesse angulaire $\omega = \frac{v}{R}$ (en rad/s).

Aussi appelée première loi de Newton :

Dans un référentiel galiléen, si la somme vectorielle des forces extérieures s'exerçant sur un corps est nulle, alors son vecteur vitesse est constant. $\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \implies \vec{v} = constante$

Cela signifie que :

• Si le corps est au repos, il le restera.
• Si le corps est en mouvement, il continuera à se déplacer en mouvement rectiligne uniforme.

L'inertie est la propriété qu'ont les corps de résister au changement de leur état de mouvement. La masse est une mesure de cette inertie.

Aussi appelée deuxième loi de Newton :

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures s'exerçant sur un corps est égale au produit de sa masse inerte $m$ par le vecteur accélération $\vec{a}$ de son centre d'inertie. $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}$

• $\sum \vec{F}_{ext}$ est la somme des forces extérieures appliquées au système (en Newtons, N).
• $m$ est la masse inerte du système (en kilogrammes, kg). C'est une mesure de l'inertie du corps.
• $\vec{a}$ est le vecteur accélération du centre d'inertie du système (en mètres par seconde carrée, m/s²).

Cette loi est cruciale car elle permet de déterminer le mouvement d'un objet si l'on connaît les forces qui agissent sur lui. C'est une équation différentielle vectorielle.

Aussi appelée troisième loi de Newton :

Lorsque deux corps A et B sont en interaction, la force exercée par A sur B ($\vec{F}_{A/B}$) est égale et opposée à la force exercée par B sur A ($\vec{F}_{B/A}$). $\vec{F}_{A/B} = - \vec{F}_{B/A}$

Ces deux forces :

• Ont la même nature (par exemple, toutes deux gravitationnelles ou toutes deux électriques).
• Ont la même droite d'action (sont colinéaires).
• Ont la même intensité (norme).
• Ont des sens opposés.
• S'appliquent sur des corps différents (l'une sur B, l'autre sur A). Elles ne peuvent donc pas s'annuler mutuellement sur un même système.
• Apparaissent et disparaissent simultanément.

C'est le principe qui explique pourquoi, lorsque vous poussez un mur, le mur vous pousse en retour.

Appliquer les lois de Newton pour résoudre un problème de mécanique suit une méthodologie rigoureuse :

1. Définir le système étudié : Quel est l'objet ou l'ensemble d'objets dont on veut étudier le mouvement ?
2. Choisir un référentiel : Préciser le référentiel d'étude (terrestre, géocentrique, héliocentrique...) et s'assurer qu'il est galiléen.
3. Faire le bilan des forces : Identifier toutes les forces extérieures qui s'exercent sur le système. Représenter ces forces sur un schéma (diagramme de corps libre).
   • Exemples : poids ($\vec{P}$), force de frottement ($\vec{f}$), tension d'un fil ($\vec{T}$), réaction du support ($\vec{R}$), force électrique ($\vec{F}_e$), force magnétique ($\vec{F}_m$).
4. Appliquer la deuxième loi de Newton : Écrire l'équation vectorielle $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}$.
5. Projeter l'équation vectorielle : Choisir un système d'axes approprié et projeter l'équation sur ces axes. Cela donne un système d'équations scalaires.
6. Résoudre les équations différentielles : Intégrer les équations scalaires pour trouver les expressions de la vitesse et de la position en fonction du temps (équations horaires). Utiliser les conditions initiales (position et vitesse à t=0) pour déterminer les constantes d'intégration.

Cette méthode est la clé pour résoudre la plupart des problèmes de dynamique.

C'est l'interaction responsable de l'attraction entre tous les corps ayant une masse.

• Loi de gravitation universelle (Newton) : Deux corps ponctuels A et B de masses $m_A$ et $m_B$, séparés par une distance $r$, exercent l'un sur l'autre des forces d'attraction gravitationnelle de même intensité : $F_G = G \frac{m_A m_B}{r^2}$ où $G$ est la constante de gravitation universelle ($G \approx 6,67 \times 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$). Ces forces sont toujours attractives et s'exercent le long de la droite reliant les centres de masse des deux corps.

• Champ de gravitation : Tout corps massif crée autour de lui un champ de gravitation. En un point M, le vecteur champ de gravitation $\vec{g}$ est défini comme la force gravitationnelle subie par une masse test unitaire placée en ce point. $\vec{F}_G = m \vec{g}$ Près de la surface de la Terre, le champ de gravitation est presque uniforme, dirigé vers le centre de la Terre, et sa norme est $g_0 \approx 9,81 \text{ N/kg}$ ou $\text{m/s}^2$.

• Poids et masse :

  • La masse $m$ est une propriété intrinsèque d'un corps, mesure de son inertie et de la quantité de matière qu'il contient (en kg). Elle ne dépend pas du lieu.
  • Le poids $\vec{P}$ est la force d'attraction gravitationnelle exercée par un astre (comme la Terre) sur un corps.
  • $\vec{P} = m \vec{g}$
  • Le poids est une force (en N), il dépend donc de l'endroit où se trouve le corps (car $\vec{g}$ varie avec l'altitude et la latitude).

C'est l'interaction entre les corps ayant une charge électrique. Elle est responsable de presque toutes les forces que nous rencontrons au quotidien (frottements, tension, réactions de supports, etc.).

• Force électrique (Loi de Coulomb) : Deux charges ponctuelles $q_A$ et $q_B$, séparées par une distance $r$, exercent l'une sur l'autre des forces électriques de même intensité : $F_e = k \frac{|q_A q_B|}{r^2}$ où $k$ est la constante de Coulomb ($k \approx 9 \times 10^9 \text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$). Ces forces sont attractives si les charges sont de signes opposés, et répulsives si elles sont de même signe.

• Champ électrique : Une charge électrique crée autour d'elle un champ électrique $\vec{E}$. En un point M, le vecteur champ électrique est défini comme la force électrique subie par une charge test positive unitaire placée en ce point. $\vec{F}_e = q \vec{E}$ Le champ électrique est une grandeur vectorielle (en N/C ou V/m).

• Champ magnétique : Les charges électriques en mouvement (courants électriques) créent des champs magnétiques $\vec{B}$. Un champ magnétique exerce une force sur d'autres charges en mouvement ou sur des matériaux magnétiques.

  • La force de Lorentz est la force exercée par un champ magnétique sur une charge $q$ en mouvement à la vitesse $\vec{v}$ : $\vec{F}_m = q (\vec{v} \land \vec{B})$ où $\land$ représente le produit vectoriel. La force magnétique est toujours perpendiculaire à la fois à la vitesse et au champ magnétique.

Ces forces sont des manifestations de l'interaction électromagnétique à l'échelle macroscopique.

• Force de frottement fluide : Force qui s'oppose au mouvement d'un corps dans un fluide (liquide ou gaz). Elle dépend de la vitesse du corps et de la nature du fluide.

  • À faible vitesse (régime laminaire) : $F_f = -k \vec{v}$ (proportionnelle à la vitesse).
  • À vitesse élevée (régime turbulent) : $F_f = -k' v^2 \frac{\vec{v}}{||\vec{v}||}$ (proportionnelle au carré de la vitesse).
  • Le signe négatif indique que la force est opposée au sens du mouvement.

• Poussée d'Archimède : Force verticale, dirigée vers le haut, exercée par un fluide sur un corps qui y est partiellement ou totalement immergé.

  • $\vec{\Pi} = -\rho_{fluide} V_{immergé} \vec{g}$
  • $\rho_{fluide}$ est la masse volumique du fluide, $V_{immergé}$ est le volume de la partie immergée du corps. L'intensité de la poussée d'Archimède est égale au poids du fluide déplacé.

• Tension d'un fil : Force exercée par un fil (corde, câble) tendu. Elle est toujours dirigée le long du fil et est de nature électromagnétique (forces de liaison entre les atomes du fil).

Le travail d'une force $\vec{F}$ lors d'un déplacement de A vers B est une mesure de l'énergie transférée par cette force au système. Il est défini par le produit scalaire de la force par le déplacement : $W_{A \to B}(\vec{F}) = \int_A^B \vec{F} \cdot d\vec{l}$ Si la force est constante et le déplacement rectiligne $\vec{AB}$ : $W_{A \to B}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = ||\vec{F}|| \cdot ||\vec{AB}|| \cdot \cos(\alpha)$ où $\alpha$ est l'angle entre le vecteur force et le vecteur déplacement. L'unité du travail est le Joule (J).

• Travail moteur : $W > 0$. La force favorise le mouvement. (angle aigu $0 \le \alpha < \pi/2$).
• Travail résistant : $W < 0$. La force s'oppose au mouvement. (angle obtus $\pi/2 < \alpha \le \pi$).
• Travail nul : $W = 0$. La force est perpendiculaire au déplacement (par exemple, la réaction normale d'un support horizontal ou la force centripète en mouvement circulaire).

L'énergie cinétique $E_c$ est l'énergie qu'un corps possède du fait de son mouvement. Sa valeur dépend de la masse du corps et de sa vitesse : $E_c = \frac{1}{2} m v^2$ où $m$ est la masse (en kg) et $v$ est la norme de la vitesse (en m/s). L'unité de l'énergie cinétique est le Joule (J).

• Théorème de l'énergie cinétique : La variation de l'énergie cinétique d'un système entre deux instants est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures qui s'exercent sur ce système pendant cet intervalle de temps. $\Delta E_c = E_{c,B} - E_{c,A} = \sum W_{A \to B}(\vec{F}_{ext})$ Ce théorème est très utile pour relier la vitesse aux forces et aux déplacements, sans passer par l'accélération.

L'énergie potentielle est l'énergie qu'un corps possède en raison de sa position ou de sa configuration dans un champ de force conservatif. Une force est dite conservative si son travail ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement des positions initiale et finale.

• Énergie potentielle de pesanteur ($E_{pp}$) : Associée à la force gravitationnelle (le poids). $E_{pp} = mgh + Cte$ où $m$ est la masse, $g$ l'intensité du champ de pesanteur, et $h$ l'altitude par rapport à une référence où $E_{pp}=0$. La constante Cte est choisie arbitrairement.

• Énergie potentielle élastique ($E_{pe}$) : Associée à la force de rappel d'un ressort idéal. $E_{pe} = \frac{1}{2} k x^2 + Cte$ où $k$ est la constante de raideur du ressort et $x$ est l'allongement (ou la compression) par rapport à la position d'équilibre du ressort non déformé.

La force associée à une énergie potentielle $E_p$ est donnée par $\vec{F} = -\vec{\nabla}E_p$ (gradient de l'énergie potentielle).

L'énergie mécanique $E_m$ d'un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle : $E_m = E_c + E_p$

• Conservation de l'énergie mécanique : Si seules des forces conservatives travaillent sur le système (ou si le travail des forces non conservatives est nul), alors l'énergie mécanique du système se conserve. $E_m = constante \implies \Delta E_m = 0$ Cela signifie que l'énergie cinétique peut se transformer en énergie potentielle et vice-versa, mais leur somme reste constante. C'est le cas d'une chute libre sans frottements, ou d'une masse oscillant au bout d'un ressort sans frottements.

• Forces non conservatives : Si des forces non conservatives (comme les frottements) travaillent, l'énergie mécanique n'est pas conservée. Le travail des forces non conservatives entraîne une variation de l'énergie mécanique : $\Delta E_m = W_{nc}$ Souvent, ce travail est dissipé sous forme de chaleur.

La chute libre est le mouvement d'un corps soumis uniquement à son poids (on néglige les frottements de l'air et la poussée d'Archimède). Dans un champ de pesanteur uniforme (près de la surface terrestre), l'accélération est constante et égale à $\vec{g}$.

• Équations horaires (en prenant l'axe Oy vertical vers le haut, Ox horizontal) :

  • $\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ -g \end{pmatrix}$
  • $\vec{v}(t) = \begin{pmatrix} v_x(0) \\ -gt + v_y(0) \end{pmatrix}$
  • $\vec{OM}(t) = \begin{pmatrix} v_x(0)t + x_0 \\ -\frac{1}{2}gt^2 + v_y(0)t + y_0 \end{pmatrix}$

• Mouvement parabolique : Si la vitesse initiale n'est pas verticale, la trajectoire est une parabole.

  • La portée est la distance horizontale parcourue avant de revenir à la même altitude initiale.
  • La flèche est l'altitude maximale atteinte.

L'étude de ces mouvements repose sur la loi de gravitation universelle et la deuxième loi de Newton.

• Lois de Kepler : Décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil (ou des satellites autour d'une planète).

  1. Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe un des foyers.
  2. Le rayon vecteur reliant le Soleil à une planète balaie des aires égales pendant des durées égales.
  3. Le rapport du carré de la période de révolution T au cube du demi-grand axe a de l'orbite est une constante pour tous les corps en orbite autour du même astre central : $\frac{T^2}{a^3} = Cte$.

• Vitesse de satellisation : Pour une orbite circulaire de rayon R autour d'un astre de masse M, la vitesse du satellite est : $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ où G est la constante de gravitation universelle.

• Orbites circulaires et elliptiques : Les orbites sont déterminées par la vitesse initiale. Une vitesse trop faible entraîne une chute, une vitesse trop grande une trajectoire parabolique ou hyperbolique (échappement).

Un classique de la mécanique !

1. Bilan des forces :
   • Poids $\vec{P}$ (vertical vers le bas).
   • Réaction normale du support $\vec{R}_N$ (perpendiculaire au plan, vers le haut).
   • Force de frottement cinétique $\vec{f}$ (parallèle au plan, s'oppose au mouvement). Si les frottements sont négligés, $\vec{f} = \vec{0}$.
2. Choix du repère : Il est judicieux de choisir un axe Ox parallèle au plan incliné (vers le bas) et un axe Oy perpendiculaire au plan (vers le haut).
3. Décomposition des forces : Le poids est décomposé en une composante parallèle au plan ($P_x = mg \sin\alpha$) et une composante perpendiculaire au plan ($P_y = -mg \cos\alpha$), où $\alpha$ est l'angle d'inclinaison du plan.
4. Application de la 2e loi de Newton : $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}$.
   • Sur Ox : $P_x - f = ma_x \implies mg \sin\alpha - f = ma_x$
   • Sur Oy : $R_N + P_y = ma_y \implies R_N - mg \cos\alpha = 0$ (car pas de mouvement selon Oy, donc $a_y=0$).
5. Accélération : On en déduit l'accélération $a_x$ le long du plan.
   • Si frottements cinétiques : $f = \mu_c R_N = \mu_c mg \cos\alpha$.
   • Alors $a_x = g(\sin\alpha - \mu_c \cos\alpha)$. Si $a_x > 0$, le solide descend en accélérant.

Ces exemples montrent comment les principes fondamentaux de la mécanique permettent d'analyser une grande variété de situations physiques, des plus simples aux plus complexes.