La description du mouvement et la deuxième loi de Newton

Pour décrire le mouvement d'un point, il est indispensable de choisir un point de vue, appelé référentiel, et un système de coordonnées, appelé repère.

• Un référentiel est un solide de référence par rapport auquel on étudie le mouvement. Il est composé d'un point d'origine et de trois axes.

  • Référentiel terrestre : lié à la Terre. Utilisé pour les mouvements sur Terre (voiture, balle...).
  • Référentiel géocentrique : son origine est le centre de la Terre, ses axes sont dirigés vers des étoiles lointaines (fixes). Utilisé pour les satellites en orbite autour de la Terre.
  • Référentiel héliocentrique (ou de Copernic) : son origine est le centre du Soleil, ses axes sont dirigés vers des étoiles lointaines. Utilisé pour le mouvement des planètes autour du Soleil.
  • Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel la première loi de Newton (principe d'inertie) est vérifiée. Les référentiels géocentrique et héliocentrique sont considérés comme galiléens. Le référentiel terrestre est galiléen pour des durées courtes.

• Un repère est un système d'axes permettant de localiser un point dans l'espace.

  • Repère cartésien : Le plus courant, défini par trois axes $(Ox, Oy, Oz)$ perpendiculaires entre eux. La position d'un point M est donnée par ses coordonnées $(x, y, z)$.
  • Repère de Frenet : Utilisé pour les mouvements curvilignes. Il est lié au point matériel en mouvement et se déplace avec lui. Il est composé de deux vecteurs unitaires :
    • $\vec{u_T}$ (ou $\vec{t}$) : vecteur tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.
    • $\vec{u_N}$ (ou $\vec{n}$) : vecteur normal, perpendiculaire à la trajectoire et orienté vers l'intérieur de la courbure. Ce repère est particulièrement utile pour analyser l'accélération.

Le mouvement d'un point matériel est entièrement décrit par ces trois vecteurs.

• Vecteur position : Il localise le point M dans le repère choisi. Dans un repère cartésien $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, le vecteur position $\vec{OM}(t)$ a pour coordonnées : $\vec{OM}(t) = x(t) \vec{i} + y(t) \vec{j} + z(t) \vec{k}$ où $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ sont les coordonnées cartésiennes du point M à l'instant $t$.

• Vecteur vitesse instantanée : Il décrit la rapidité et la direction du mouvement à chaque instant. C'est la dérivée du vecteur position par rapport au temps. $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{OM}}{dt} = \dot{x}(t) \vec{i} + \dot{y}(t) \vec{j} + \dot{z}(t) \vec{k}$ où $\dot{x}(t) = \frac{dx}{dt}$, $\dot{y}(t) = \frac{dy}{dt}$, $\dot{z}(t) = \frac{dz}{dt}$. La norme du vecteur vitesse est la vitesse scalaire $v = ||\vec{v}|| = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2}$.

• Vecteur accélération instantanée : Il décrit la variation du vecteur vitesse (en direction ou en norme). C'est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps. $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{OM}}{dt^2} = \ddot{x}(t) \vec{i} + \ddot{y}(t) \vec{j} + \ddot{z}(t) \vec{k}$ où $\ddot{x}(t) = \frac{d^2x}{dt^2}$, etc.

  Dans le repère de Frenet, l'accélération se décompose en deux composantes : $\vec{a} = a_T \vec{u_T} + a_N \vec{u_N}$

  • $a_T = \frac{dv}{dt}$ : accélération tangentielle. Elle est responsable de la modification de la norme de la vitesse (accélération ou freinage).
  • $a_N = \frac{v^2}{R}$ : accélération normale (ou centripète). Elle est responsable de la modification de la direction de la vitesse (courbure de la trajectoire), où $R$ est le rayon de courbure de la trajectoire.

On peut classer les mouvements en fonction de leur trajectoire et de l'évolution de leur vitesse.

• Mouvement rectiligne uniforme (MRU) :

  • Trajectoire : Droite.
  • Vitesse : Constante en norme et en direction ($\vec{v} = \text{constante}$).
  • Accélération : Nulle ($\vec{a} = \vec{0}$).
  • Équation horaire de la position (pour un mouvement selon $x$) : $x(t) = v_0 t + x_0$.

• Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV) :

  • Trajectoire : Droite.
  • Vitesse : Sa norme varie linéairement en fonction du temps.
  • Accélération : Constante et non nulle ($\vec{a} = \text{constante} \neq \vec{0}$).
  • Équations horaires (pour un mouvement selon $x$) :
    • $v_x(t) = a_x t + v_{x0}$
    • $x(t) = \frac{1}{2} a_x t^2 + v_{x0} t + x_0$

• Mouvement circulaire uniforme (MCU) :

  • Trajectoire : Cercle.
  • Vitesse : Sa norme est constante ($v = \text{constante}$), mais sa direction change constamment.
  • Accélération : Non nulle, dirigée vers le centre du cercle (accélération centripète). L'accélération tangentielle est nulle ($a_T = 0$), l'accélération normale est constante en norme : $a = a_N = \frac{v^2}{R}$.

La description complète d'un mouvement passe par la détermination de sa trajectoire et de ses équations horaires.

• Les équations horaires du mouvement sont les expressions des coordonnées du vecteur position (ou vitesse, ou accélération) en fonction du temps : $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$. Elles sont souvent obtenues par intégration des équations de l'accélération, en utilisant les conditions initiales (position et vitesse à $t=0$).

• L'équation de la trajectoire est la relation entre les coordonnées spatiales $x$, $y$, $z$ qui ne dépend pas du temps. On l'obtient en éliminant le temps $t$ des équations horaires. Par exemple, pour un mouvement plan $(x,y)$, l'équation de la trajectoire est $y = f(x)$.

Énoncé : Dans un référentiel galiléen, si la somme vectorielle des forces extérieures s'exerçant sur un corps est nulle, alors son vecteur vitesse est constant. Réciproquement, si le vecteur vitesse d'un corps est constant, alors la somme des forces extérieures est nulle.

• Si $\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}$, alors $\vec{v} = \text{constante}$.
• Cela signifie que l'objet est soit au repos ($\vec{v} = \vec{0}$), soit en mouvement rectiligne uniforme.
• Cette loi met en évidence la notion d'inertie : un corps tend à conserver son état de mouvement (ou de repos) en l'absence de forces extérieures. C'est pourquoi la masse est parfois appelée masse inerte.

Énoncé : Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures s'exerçant sur un corps est égale au produit de sa masse par le vecteur accélération de son centre d'inertie.

• $\sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a}$

  • $\sum \vec{F}_{ext}$ est la somme des forces extérieures s'exerçant sur le système (en Newton, N).
  • $m$ est la masse inerte du système (en kilogrammes, kg).
  • $\vec{a}$ est le vecteur accélération du centre d'inertie du système (en mètres par seconde carrée, m/s²).

• Cette loi est fondamentale car elle relie les causes du mouvement (les forces) aux effets du mouvement (l'accélération).

• Si la masse $m$ est constante, on peut aussi l'écrire $\sum \vec{F}_{ext} = \frac{d(m\vec{v})}{dt} = \frac{d\vec{p}}{dt}$, où $\vec{p} = m\vec{v}$ est le vecteur quantité de mouvement.

Énoncé : Lorsque deux corps A et B sont en interaction, la force exercée par A sur B est l'opposée de la force exercée par B sur A.

• $\vec{F}_{A/B} = - \vec{F}_{B/A}$
• Ces deux forces ont :
  • Même direction.
  • Même valeur (norme).
  • Sens opposés.
  • Elles s'appliquent sur des corps différents. C'est pourquoi elles ne s'annulent jamais mutuellement sur un même système.
• Elles sont toujours de même nature (ex: deux forces gravitationnelles, deux forces de contact...).

Pour appliquer correctement la deuxième loi de Newton, suivez ces étapes :

1. Définir le système étudié : Isoler l'objet ou l'ensemble d'objets dont on veut étudier le mouvement.
2. Choisir un référentiel d'étude : Préciser le référentiel et s'assurer qu'il est galiléen (ou assimilé comme tel).
3. Faire le bilan des forces extérieures : Identifier toutes les forces agissant sur le système, en les représentant par des vecteurs sur un schéma.
   • Poids ($\vec{P}$), dû à l'attraction gravitationnelle.
   • Force normale ($\vec{R_N}$), force de contact perpendiculaire à la surface.
   • Force de frottement ($\vec{f}$), force de contact parallèle à la surface, s'opposant au mouvement.
   • Tension d'un fil ($\vec{T}$).
   • Poussée d'Archimède ($\vec{\Pi}$), pour les objets immergés.
4. Appliquer la deuxième loi de Newton : Écrire l'équation vectorielle $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}$.
5. Projeter les vecteurs : Choisir un repère adapté (souvent cartésien) et projeter l'équation vectorielle sur ses axes. Cela donne un système d'équations scalaires.
6. Résoudre les équations différentielles : Intégrer les équations scalaires pour obtenir les expressions des composantes de la vitesse, puis de la position en fonction du temps, en utilisant les conditions initiales.

Un corps est en chute libre si la seule force qui s'exerce sur lui est son poids. On néglige alors les frottements de l'air et la poussée d'Archimède.

• Système : Le corps en chute.
• Référentiel : Terrestre (supposé galiléen).
• Bilan des forces : Seulement le poids $\vec{P} = m\vec{g}$.
• Deuxième loi de Newton : $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a} \implies \vec{P} = m \vec{a}$ Donc, $m\vec{g} = m\vec{a}$, ce qui implique $\vec{a} = \vec{g}$.
• L'accélération de la pesanteur $\vec{g}$ est un vecteur constant, vertical et dirigé vers le bas, de norme $g \approx 9,81 \text{ m/s}^2$.
• Les équations horaires du mouvement sont obtenues par intégration de $\vec{a} = \vec{g}$ avec les conditions initiales. Exemple (chute verticale selon Oz, vers le bas) :
  • $a_z = g$
  • $v_z(t) = gt + v_{z0}$
  • $z(t) = \frac{1}{2}gt^2 + v_{z0}t + z_0$

Considérons un corps glissant sur un plan incliné d'un angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale.

• Forces en jeu :
  • Poids $\vec{P} = m\vec{g}$, vertical vers le bas.
  • Force normale $\vec{R_N}$ (ou $\vec{N}$), perpendiculaire au plan, vers le haut.
  • Éventuellement, force de frottement $\vec{f}$, parallèle au plan, s'opposant au mouvement. Si le mouvement est sans frottement, $\vec{f} = \vec{0}$.
• Repère adapté : Souvent un repère $(O, x, y)$ dont l'axe $Ox$ est parallèle au plan incliné (dans le sens du mouvement) et l'axe $Oy$ est perpendiculaire au plan.
• Projection du poids : C'est la partie la plus délicate.
  • $P_x = mg \sin(\alpha)$ (composante qui "tire" le corps vers le bas du plan)
  • $P_y = -mg \cos(\alpha)$ (composante perpendiculaire au plan, vers le bas)
• En appliquant la 2e loi de Newton et en projetant sur les axes :
  • Sur $Ox$ : $P_x - f = ma_x \implies mg \sin(\alpha) - f = ma_x$
  • Sur $Oy$ : $R_N + P_y = ma_y$. Si pas de décollage, $a_y = 0$, donc $R_N - mg \cos(\alpha) = 0 \implies R_N = mg \cos(\alpha)$.
  • Si frottement solide, $f = \mu_c R_N = \mu_c mg \cos(\alpha)$ (où $\mu_c$ est le coefficient de frottement cinétique).

C'est un cas de chute libre où le corps est lancé avec une vitesse initiale non verticale. On néglige les frottements de l'air.

• Système : Le projectile.
• Référentiel : Terrestre (galiléen).
• Bilan des forces : Seulement le poids $\vec{P} = m\vec{g}$.
• Accélération : $\vec{a} = \vec{g}$.
• Repère : $(O, x, y)$, avec $Ox$ horizontal et $Oy$ vertical vers le haut.
  • $a_x = 0$
  • $a_y = -g$
• Équations horaires (en intégrant avec $v_0$ et $\alpha$ angle de lancement) :
  • $v_x(t) = v_0 \cos(\alpha)$
  • $v_y(t) = -gt + v_0 \sin(\alpha)$
  • $x(t) = (v_0 \cos(\alpha)) t + x_0$
  • $y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + (v_0 \sin(\alpha)) t + y_0$
• Équation de la trajectoire : En éliminant $t$ des équations de $x(t)$ et $y(t)$, on obtient une équation de la forme $y = Ax^2 + Bx + C$, qui est l'équation d'une parabole. $y(x) = -\frac{g}{2(v_0 \cos(\alpha))^2} x^2 + (\tan(\alpha)) x + y_0$
• Portée : Distance horizontale maximale atteinte par le projectile ($x$ quand $y=0$, hors conditions initiales).
• Hauteur maximale : Ordonnée maximale atteinte par le projectile (quand $v_y = 0$).

Le travail d'une force est l'énergie transférée par cette force à un système lors d'un déplacement. Il s'exprime en Joules (J).

• Pour une force constante $\vec{F}$ se déplaçant d'un point A à un point B : $W_{A \to B}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = ||\vec{F}|| \cdot ||\vec{AB}|| \cdot \cos(\alpha)$ où $\alpha$ est l'angle entre le vecteur force et le vecteur déplacement $\vec{AB}$. C'est un produit scalaire.
• Signe du travail :
  • Si $0 \le \alpha < 90^\circ$ (force favorise le mouvement) : $W > 0$, travail moteur.
  • Si $\alpha = 90^\circ$ (force perpendiculaire au mouvement) : $W = 0$, travail nul (ex: force normale, tension d'un fil sans frottement).
  • Si $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$ (force s'oppose au mouvement) : $W < 0$, travail résistant (ex: frottements).

L'énergie cinétique ($E_c$) est l'énergie que possède un corps du fait de son mouvement.

• Définition : $E_c = \frac{1}{2} m v^2$

  • $m$ : masse du corps (kg)
  • $v$ : norme de la vitesse du corps (m/s)
  • $E_c$ est toujours positive ou nulle et s'exprime en Joules (J).

• Théorème de l'énergie cinétique : La variation de l'énergie cinétique d'un système entre deux instants est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures s'exerçant sur le système entre ces deux instants. $\Delta E_c = E_{c,B} - E_{c,A} = \sum W_{A \to B}(\vec{F}_{ext})$ Ce théorème est très utile quand on ne s'intéresse pas directement à l'accélération mais à la variation de vitesse.

L'énergie potentielle de pesanteur ($E_{pp}$) est l'énergie que possède un corps du fait de sa position dans un champ de pesanteur. Elle est liée au travail de la force de pesanteur.

• Une force est dite conservative si son travail ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement des positions initiale et finale. Le poids est une force conservative.
• Définition : $E_{pp} = mgh + C$
  • $m$ : masse (kg)
  • $g$ : intensité de la pesanteur (N/kg ou m/s²)
  • $h$ : altitude du centre de gravité du corps par rapport à un niveau de référence choisi arbitrairement ($E_{pp}=0$ pour $h=0$).
  • $C$ : constante d'intégration qui dépend du choix du niveau de référence.
• Le travail du poids entre A et B est lié à la variation d'énergie potentielle de pesanteur : $W_{A \to B}(\vec{P}) = E_{pp,A} - E_{pp,B} = -\Delta E_{pp}$

L'énergie mécanique ($E_m$) est la somme de l'énergie cinétique et de toutes les énergies potentielles du système.

• Définition : $E_m = E_c + E_{pp}$ (pour un mouvement uniquement soumis au poids).

• Conservation de l'énergie mécanique :

  • Si seules des forces conservatives (comme le poids) travaillent sur le système, alors l'énergie mécanique du système est conservée. $E_m = \text{constante} \implies \Delta E_m = 0$ Cela signifie que $E_c + E_{pp} = \text{constante}$. Si $E_c$ augmente, $E_{pp}$ diminue, et inversement.
  • Si des forces non conservatives (comme les frottements) travaillent sur le système, l'énergie mécanique n'est pas conservée. La variation de l'énergie mécanique est égale au travail des forces non conservatives. $\Delta E_m = \sum W_{A \to B}(\vec{F}_{non-conservatives})$ Les frottements sont des forces non conservatives, leur travail est toujours résistant ($W_f < 0$), ils dissipent de l'énergie mécanique en chaleur. Dans ce cas, $E_m$ diminue.