Nombres et calculs

Les nombres relatifs sont l'ensemble des nombres positifs, des nombres négatifs et de zéro.

• Les nombres positifs sont précédés d'un signe + (souvent omis) ou n'ont pas de signe : $+5$, $12$, $0,7$.
• Les nombres négatifs sont précédés d'un signe - : $-3$, $-15,2$.
• Zéro ($0$) est le seul nombre qui n'est ni positif ni négatif.

On peut représenter les nombres relatifs sur une axe numérique (ou droite graduée). Le point d'origine est $0$. Les nombres positifs sont à droite de $0$, et les nombres négatifs sont à gauche de $0$.

L'opposé d'un nombre est le nombre qui a la même distance à zéro mais le signe contraire.

• L'opposé de $5$ est $-5$.
• L'opposé de $-3,5$ est $3,5$.
• L'opposé de $0$ est $0$. Deux nombres opposés ont une somme égale à $0$. Par exemple, $5 + (-5) = 0$.

Addition

• Pour additionner deux nombres de même signe : On additionne leurs distances à zéro et on garde le signe commun.
  • Ex: $(+3) + (+5) = +8$
  • Ex: $(-3) + (-5) = -8$
• Pour additionner deux nombres de signes différents : On soustrait la plus petite distance à zéro à la plus grande, et on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
  • Ex: $(+7) + (-4) = +3$ (car $7 > 4$, et $7$ est positif)
  • Ex: $(-10) + (+6) = -4$ (car $10 > 6$, et $10$ est négatif)

Soustraction

Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé. C'est une règle très importante !

• $a - b = a + (-b)$
  • Ex: $(+7) - (+3) = (+7) + (-3) = +4$
  • Ex: $(-5) - (-2) = (-5) + (+2) = -3$
  • Ex: $(+8) - (-4) = (+8) + (+4) = +12$

Calculs avec parenthèses

Lorsqu'il y a plusieurs opérations, on peut simplifier l'écriture :

• Un + devant une parenthèse ne change pas les signes à l'intérieur : $+(+a) = +a$, $+(-a) = -a$.
• Un - devant une parenthèse change les signes à l'intérieur : $-(+a) = -a$, $-(-a) = +a$.
  • Ex: $5 + (-3) - (+2) = 5 - 3 - 2 = 0$
  • Ex: $-4 - (-6) + (+1) = -4 + 6 + 1 = 3$

Règle des signes (pour la multiplication et la division)

C'est la même règle pour les deux opérations :

• $(+) \times (+) = (+)$ et $(+) \div (+) = (+)$
• $(-) \times (-) = (+)$ et $(-) \div (-) = (+)$
• $(+) \times (-) = (-)$ et $(+) \div (-) = (-)$
• $(-) \times (+) = (-)$ et $(-) \div (+) = (-)$

En bref :

• Si les deux nombres ont le même signe, le résultat est positif.
• Si les deux nombres ont des signes différents, le résultat est négatif.

Exemples

• Multiplication :
  • $(-4) \times (-5) = +20$
  • $(+3) \times (-7) = -21$
  • $(-2) \times (+6) = -12$
• Division :
  • $(-15) \div (-3) = +5$
  • $(+24) \div (-6) = -4$
  • $(-30) \div (+5) = -6$

Priorités opératoires

Les règles de priorité sont toujours valables :

1. Parenthèses (du plus profond au moins profond)
2. Multiplications et divisions (de gauche à droite)
3. Additions et soustractions (de gauche à droite)

Ex: $-5 + 3 \times (-2) = -5 + (-6) = -11$

Une fraction est une manière d'exprimer une division. Elle s'écrit $\frac{a}{b}$ où $a$ est le numérateur et $b$ est le dénominateur (non nul).

Simplification

Simplifier une fraction, c'est la rendre irréductible, c'est-à-dire que son numérateur et son dénominateur n'ont plus de diviseurs communs autres que $1$. Pour cela, on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD). Ex: $\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$

Comparaison

Pour comparer des fractions (dire laquelle est la plus grande ou la plus petite), il faut les mettre au même dénominateur.

1. Cherche un multiple commun aux dénominateurs (le plus petit commun multiple, PPCM, est idéal).
2. Transforme chaque fraction pour qu'elle ait ce dénominateur commun (en multipliant le numérateur et le dénominateur par le même nombre).
3. Compare les numérateurs : la fraction avec le plus grand numérateur est la plus grande.

Ex: Comparer $\frac{2}{3}$ et $\frac{3}{4}$.

1. Le PPCM de $3$ et $4$ est $12$.
2. $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$
3. $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$
4. Comme $8 < 9$, alors $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, donc $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.

Pour additionner ou soustraire des fractions, elles doivent impérativement avoir le même dénominateur.

1. Si elles ont le même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur commun.
   • Ex: $\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3+2}{7} = \frac{5}{7}$
   • Ex: $\frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5-2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ (toujours simplifier !)
2. Si elles n'ont pas le même dénominateur, il faut d'abord les mettre au même dénominateur (comme pour la comparaison).
   • Ex: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$
     • Dénominateur commun : $6$.
     • $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ et $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$
     • $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

Un entier peut s'écrire sous forme de fraction avec un dénominateur de $1$. Ex: $2 + \frac{1}{3} = \frac{2}{1} + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Multiplication

Pour multiplier des fractions, c'est simple : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$

• Ex: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$
• Ex: $3 \times \frac{2}{7} = \frac{3}{1} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{7}$ Astuce : On peut simplifier avant de multiplier si des numérateurs et dénominateurs ont des facteurs communs. Ex: $\frac{2}{3} \times \frac{9}{4} = \frac{2 \times 9}{3 \times 4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$. Ou plus intelligemment : $\frac{\cancel{2}}{ \cancel{3}} \times \frac{\cancel{3} \times 3}{\cancel{2} \times 2} = \frac{3}{2}$.

Division

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. L'inverse d'une fraction $\frac{c}{d}$ est $\frac{d}{c}$. $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$

• Ex: $\frac{2}{3} \div \frac{5}{7} = \frac{2}{3} \times \frac{7}{5} = \frac{14}{15}$
• Ex: $\frac{6}{5} \div 3 = \frac{6}{5} \div \frac{3}{1} = \frac{6}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

Les fractions sont très utiles pour résoudre des problèmes concrets.

Prendre une fraction d'une quantité

Pour calculer une fraction d'une quantité, on multiplie la fraction par la quantité. Le mot "de" ou "du" se traduit souvent par une multiplication. Ex: "Les $\frac{2}{5}$ de $100$ €" signifie $\frac{2}{5} \times 100 = \frac{2 \times 100}{5} = \frac{200}{5} = 40$ €.

Calculer une part

Ex: Dans une classe de $30$ élèves, les $\frac{2}{3}$ sont des filles. Nombre de filles = $\frac{2}{3} \times 30 = \frac{60}{3} = 20$ filles. Nombre de garçons = $30 - 20 = 10$ garçons (ou $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ de garçons, donc $\frac{1}{3} \times 30 = 10$).

Résoudre des problèmes concrets demande de bien lire l'énoncé et de traduire les informations en opérations avec des fractions. N'oublie pas de toujours simplifier tes résultats !

Une puissance est une façon d'écrire une multiplication répétée du même nombre. On écrit $a^n$, où $a$ est la base et $n$ est l'exposant.

Exposant positif

$a^n = a \times a \times \dots \times a$ ($n$ fois)

• Ex: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
• Ex: $(-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25$
• Ex: $-5^2 = -(5 \times 5) = -25$ (attention, l'exposant ne porte que sur le $5$)

Exposant négatif

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (pour $a \ne 0$)

• Ex: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
• Ex: $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$

Cas particuliers

• $a^1 = a$ (tout nombre à la puissance $1$ est lui-même)
• $a^0 = 1$ (tout nombre non nul à la puissance $0$ est $1$)
  • Ex: $7^0 = 1$
  • Ex: $(-3)^0 = 1$

Produit de puissances de même base

Pour multiplier des puissances de même base, on additionne les exposants. $a^m \times a^n = a^{m+n}$

• Ex: $3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$
• Ex: $10^5 \times 10^{-2} = 10^{5+(-2)} = 10^3$

Quotient de puissances de même base

Pour diviser des puissances de même base, on soustrait les exposants. $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (pour $a \ne 0$)

• Ex: $\frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4$
• Ex: $\frac{10^2}{10^5} = 10^{2-5} = 10^{-3}$

Puissance d'une puissance

Pour élever une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants. $(a^m)^n = a^{m \times n}$

• Ex: $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6$
• Ex: $(10^{-1})^4 = 10^{-1 \times 4} = 10^{-4}$

Ces règles sont fondamentales pour simplifier les calculs !

L'écriture scientifique permet d'exprimer des nombres très grands ou très petits de manière compacte. Un nombre en écriture scientifique est de la forme $a \times 10^n$, où :

• $a$ est un nombre décimal tel que $1 \le |a| < 10$ (il n'a qu'un seul chiffre non nul avant la virgule).
• $n$ est un entier relatif.

Exemples:

• $1230000 = 1,23 \times 10^6$ (la virgule a été décalée de 6 rangs vers la gauche, donc exposant positif)
• $0,000045 = 4,5 \times 10^{-5}$ (la virgule a été décalée de 5 rangs vers la droite, donc exposant négatif)
• $-78,9 = -7,89 \times 10^1$

L'écriture scientifique est utile pour donner l'ordre de grandeur d'un nombre (la puissance de $10$ la plus proche).

• L'ordre de grandeur de $1,23 \times 10^6$ est $10^6$.
• L'ordre de grandeur de $4,5 \times 10^{-5}$ est $10^{-5}$.
• L'ordre de grandeur de $7,89 \times 10^1$ est $10^2$ (car $7,89$ est plus proche de $10$ que de $1$).

Une expression littérale est une expression mathématique qui contient des lettres (appelées variables) en plus des nombres et des signes d'opération. Ces lettres représentent des nombres inconnus ou des nombres qui peuvent changer de valeur. Ex: $3x + 5$, $a(b-2)$, $x^2 - 4y$.

Conventions d'écriture

Pour simplifier l'écriture, on peut omettre le signe de multiplication :

• Entre un nombre et une lettre : $3 \times x = 3x$
• Entre deux lettres : $a \times b = ab$
• Entre un nombre ou une lettre et une parenthèse : $5 \times (x+y) = 5(x+y)$
• Devant une variable au carré ou à une puissance : $x \times x = x^2$

Un terme est une partie d'une expression littérale séparée par un + ou un -. Ex: Dans $3x + 5 - 2y^2$, les termes sont $3x$, $5$ et $-2y^2$. Le coefficient d'un terme littéral est le nombre qui multiplie la variable. Ex: Dans $3x$, le coefficient est $3$. Dans $-2y^2$, le coefficient est $-2$. Pour $x$, le coefficient est $1$.

Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme (ou une différence).

Simple distributivité

$k(a+b) = k \times a + k \times b = ka + kb$ $k(a-b) = k \times a - k \times b = ka - kb$

• Ex: $3(x+4) = 3x + 3 \times 4 = 3x + 12$
• Ex: $-2(y-5) = -2y - (-2) \times 5 = -2y + 10$

Double distributivité

$(a+b)(c+d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d = ac + ad + bc + bd$

• Ex: $(x+2)(y+3) = xy + 3x + 2y + 6$
• Ex: $(2x-1)(x+4) = 2x \times x + 2x \times 4 - 1 \times x - 1 \times 4 = 2x^2 + 8x - x - 4 = 2x^2 + 7x - 4$

Réduction d'expressions

Réduire une expression, c'est regrouper les termes de même nature. On additionne ou soustrait les coefficients des termes qui ont la même partie littérale (même variable, même exposant).

• Ex: $5x + 3 - 2x + 7 = (5x - 2x) + (3 + 7) = 3x + 10$
• Ex: $4x^2 + 2x - x^2 + 5x = (4x^2 - x^2) + (2x + 5x) = 3x^2 + 7x$

Factoriser, c'est l'opération inverse du développement : transformer une somme (ou une différence) en un produit.

Facteur commun

On cherche un terme qui est commun à plusieurs parties de l'expression. $ka + kb = k(a+b)$ $ka - kb = k(a-b)$

• Ex: $5x + 15 = 5 \times x + 5 \times 3 = 5(x+3)$
• Ex: $7y - 14y^2 = 7y \times 1 - 7y \times 2y = 7y(1 - 2y)$
• Ex: $(x+1) \times 3 + (x+1) \times y = (x+1)(3+y)$

Utilisation des identités remarquables (introduction)

En 4ème, on commence à peine à les entrevoir. Ce sont des cas particuliers de factorisation ou de développement très fréquents.

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ Tu les étudieras en détail en 3ème. Pour l'instant, retiens que parfois, tu pourrais les rencontrer !

Substituer signifie remplacer une variable par une valeur numérique donnée. Évaluer une expression, c'est calculer sa valeur numérique après avoir effectué la substitution.

Pour éviter les erreurs, il est souvent utile de remettre les signes de multiplication omis et d'utiliser des parenthèses, surtout avec des nombres négatifs.

• Ex: Évalue l'expression $A = 3x + 5$ pour $x = 2$. $A = 3 \times 2 + 5 = 6 + 5 = 11$.

• Ex: Évalue l'expression $B = x^2 - 4x$ pour $x = -3$. $B = (-3)^2 - 4 \times (-3) = 9 - (-12) = 9 + 12 = 21$.

Vérification d'égalité

Pour vérifier si une égalité est vraie pour une certaine valeur de la variable, on évalue séparément les deux membres de l'égalité. Si les deux résultats sont égaux, l'égalité est vérifiée.

• Ex: L'égalité $2x + 1 = 7$ est-elle vraie pour $x = 3$ ?
  • Membre de gauche : $2 \times 3 + 1 = 6 + 1 = 7$.
  • Membre de droite : $7$.
  • Les deux membres sont égaux, donc l'égalité est vraie pour $x = 3$.

Une équation est une égalité qui contient une ou plusieurs inconnues (souvent représentées par $x$). Le but est de trouver la valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie. Ex: $2x + 5 = 11$

• Inconnue : $x$
• Membre de gauche : $2x + 5$
• Membre de droite : $11$
• La valeur de $x$ qui rend l'égalité vraie est la solution de l'équation.

Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de l'inconnue. L'objectif est d'isoler l'inconnue (la laisser seule d'un côté de l'égalité). Pour cela, on utilise les opérations inverses.

Le principe fondamental est : tout ce que l'on fait d'un côté de l'égalité, on doit le faire de l'autre côté pour maintenir l'équilibre.

1. Supprimer les additions/soustractions :

   • Pour enlever un terme ajouté, on soustrait ce terme des deux côtés.
   • Pour enlever un terme soustrait, on ajoute ce terme des deux côtés. Ex: $x + 3 = 7 \implies x + 3 - 3 = 7 - 3 \implies x = 4$ Ex: $x - 5 = 2 \implies x - 5 + 5 = 2 + 5 \implies x = 7$

2. Supprimer les multiplications/divisions :

   • Pour enlever un terme multiplié, on divise par ce terme des deux côtés.
   • Pour enlever un terme divisé, on multiplie par ce terme des deux côtés. Ex: $4x = 12 \implies \frac{4x}{4} = \frac{12}{4} \implies x = 3$ Ex: $\frac{x}{2} = 5 \implies \frac{x}{2} \times 2 = 5 \times 2 \implies x = 10$

Étapes de résolution pour des équations plus complexes

• Développer si nécessaire.
• Regrouper tous les termes avec l'inconnue d'un côté de l'égalité, et les termes numériques de l'autre côté (en utilisant les opérations inverses).
• Réduire les expressions de chaque côté.
• Isoler l'inconnue.

Ex: $3x + 5 = x + 11$

1. Enlever $x$ du membre de droite : $3x + 5 - x = x + 11 - x \implies 2x + 5 = 11$
2. Enlever $5$ du membre de gauche : $2x + 5 - 5 = 11 - 5 \implies 2x = 6$
3. Diviser par $2$ : $\frac{2x}{2} = \frac{6}{2} \implies x = 3$

Vérification de la solution

Pour vérifier si ta solution est correcte, remplace la valeur trouvée pour $x$ dans l'équation d'origine. Les deux membres doivent être égaux. Pour $x=3$ dans $3x + 5 = x + 11$:

• Membre de gauche : $3(3) + 5 = 9 + 5 = 14$
• Membre de droite : $3 + 11 = 14$ Les deux membres sont égaux, la solution est correcte.

Beaucoup de problèmes peuvent être résolus en les traduisant en équations.

Étapes pour résoudre un problème avec une équation :

1. Choisir l'inconnue : Identifie ce que tu cherches et représente-le par une lettre (souvent $x$).
2. Mettre le problème en équation : Traduis les informations de l'énoncé en une égalité mathématique. C'est l'étape la plus délicate.
3. Résoudre l'équation : Utilise les techniques vues précédemment.
4. Vérifier le résultat : Assure-toi que la solution de l'équation a du sens par rapport au problème.
5. Interpréter la solution : Rédige une phrase pour répondre à la question posée dans l'énoncé.

Ex: "J'ai acheté $3$ stylos et un cahier à $2$ €. J'ai payé $8$ €. Quel est le prix d'un stylo ?"

1. Inconnue : Soit $x$ le prix d'un stylo en euros.
2. Mise en équation : Le prix des $3$ stylos est $3x$. Le coût total est $3x + 2$. Ce coût est égal à $8$ €. Donc, l'équation est : $3x + 2 = 8$.
3. Résolution : $3x + 2 - 2 = 8 - 2$ $3x = 6$ $\frac{3x}{3} = \frac{6}{3}$ $x = 2$
4. Vérification : Si un stylo coûte $2$ €, alors $3$ stylos coûtent $3 \times 2 = 6$ €. Avec le cahier à $2$ €, le total est $6 + 2 = 8$ €. C'est correct.
5. Interprétation : Un stylo coûte $2$ €.

Ce chapitre est une base solide pour tes futures études en mathématiques. Maîtrise bien chaque partie, et tu seras prêt pour de nouveaux défis !