Introducción al movimiento armónico simple

Para entender cómo se mueve un cuerpo en M.A.S., debemos definir variables específicas que no aparecen en movimientos rectilíneos uniformes:

• Elongación ($x$): Es la posición de la partícula en cualquier instante respecto al centro de oscilación. Se mide en metros (m).
• Amplitud ($A$): Es la elongación máxima, es decir, la distancia máxima desde el centro hasta uno de los extremos.
• Fase ($\phi$): Representa el estado de vibración en un instante dado. Se mide en radianes.
• Fase inicial ($\phi_0$): Indica el estado de vibración en el tiempo $t = 0$.
• Frecuencia angular o pulsación ($\omega$): Representa la velocidad a la que cambia la fase. Se mide en $rad/s$. Su relación con el periodo ($T$) y la frecuencia ($f$) es: $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$

La posición de un cuerpo con M.A.S. es una función periódica del tiempo. Podemos utilizar tanto la función seno como el coseno. La expresión más común es:

$x(t) = A \cdot \sin(\omega t + \phi_0)$

Esta ecuación demuestra que el M.A.S. puede entenderse como la proyección de un Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.) sobre un diámetro de la circunferencia. Mientras un objeto gira con velocidad angular constante, su sombra proyectada sobre el eje X realiza un movimiento armónico.

Para obtener la velocidad y la aceleración, recurrimos al cálculo diferencial derivando la posición respecto al tiempo:

1. Velocidad ($v$): Es la derivada de la posición: $v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cdot \cos(\omega t + \phi_0)$ La velocidad es máxima en el centro ($x=0$) y nula en los extremos ($x = \pm A$).
2. Aceleración ($a$): Es la derivada de la velocidad: $a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \cdot \sin(\omega t + \phi_0)$ Observamos una relación clave: ==$a = -\omega^2 x$==. Esto significa que la aceleración es siempre proporcional y opuesta a la elongación.

Un sistema oscila porque existe una fuerza restauradora que intenta devolver al cuerpo a su posición de equilibrio. En sistemas elásticos, esta fuerza sigue la Ley de Hooke:

$F = -k \cdot x$

Donde $k$ es la constante elástica del muelle ($N/m$). El signo negativo es crucial: indica que la fuerza siempre tiene sentido contrario al desplazamiento. Si estiras el muelle a la derecha, la fuerza tira hacia la izquierda.

Si aplicamos la Segunda Ley de Newton ($F = m \cdot a$) a la fuerza elástica, obtenemos: $-k \cdot x = m \cdot a$ Sustituyendo la relación cinemática de la aceleración ($a = -\omega^2 x$): $-k \cdot x = m \cdot (-\omega^2 x) \implies k = m\omega^2$

De aquí extraemos la fórmula para la pulsación propia del sistema: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ Esto nos permite calcular el periodo de oscilación: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$. Es importante notar que el periodo depende de la masa y de la rigidez del muelle, pero no de la amplitud.

• Oscilaciones horizontales: La fuerza normal y el peso se cancelan; solo actúa la fuerza elástica.
• Oscilaciones verticales: El peso desplaza la posición de equilibrio original. El muelle se estira una distancia $d$ tal que $mg = kd$. Una vez en equilibrio, si se desplaza, oscilará con la misma frecuencia que en horizontal.

Depende de la velocidad del cuerpo en cada instante: $E_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ Es máxima en el centro de la oscilación y cero en los extremos ($x = \pm A$).

Es el trabajo acumulado en el sistema debido a su deformación: $E_p = \frac{1}{2} k x^2$ Es mínima (cero) en el centro y máxima en los extremos de la trayectoria.

La energía total ($E_m$) es la suma de ambas. Si operamos las expresiones anteriores, vemos que: $E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2} k A^2$ La energía total es constante y proporcional al cuadrado de la amplitud. Durante la oscilación:

• En el centro: Toda la energía es cinética.
• En los extremos: Toda la energía es potencial.

Para que un péndulo sea considerado un oscilador armónico, el ángulo de oscilación debe ser pequeño (generalmente $\theta < 15^\circ$). En este caso, el seno del ángulo es aproximadamente igual al ángulo en radianes ($\sin \theta \approx \theta$), lo que permite linealizar la fuerza restauradora (la componente tangencial del peso).

Al realizar el análisis dinámico para ángulos pequeños, se obtiene que la pulsación es $\omega = \sqrt{g/L}$. Por tanto, el periodo es: $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ Propiedades fundamentales:

1. Es independiente de la masa de la lenteja del péndulo.
2. Es independiente de la amplitud (isocronismo).
3. Depende únicamente de la longitud del hilo y de la aceleración de la gravedad.

Las gráficas de posición, velocidad y aceleración frente al tiempo son todas sinusoidales, pero presentan desfases:

• La gráfica $v-t$ está adelantada $\pi/2$ rad respecto a la de $x-t$.
• La gráfica $a-t$ está en oposición de fase ($\pi$ rad) respecto a la de $x-t$. Al observar una gráfica $x-t$, la distancia entre dos crestas consecutivas nos da el Periodo ($T$), y la altura máxima desde el eje horizontal es la Amplitud ($A$).

Uno de los errores más comunes es olvidar la fase inicial ($\phi_0$). Si en $t=0$ el cuerpo no está en la posición de equilibrio, debemos calcular $\phi_0$ usando: $x(0) = A \sin(\phi_0) \implies \phi_0 = \arcsin\left(\frac{x_0}{A}\right)$ Es vital verificar el sentido del movimiento (signo de la velocidad) para elegir el cuadrante correcto del ángulo.

En el laboratorio, el estudio del M.A.S. suele centrarse en la medida del periodo.

1. Medida del periodo: Para reducir el error experimental, es mejor medir el tiempo de 10 o 20 oscilaciones y luego dividir por el número total, en lugar de medir una sola oscilación.
2. Determinación de $g$: Usando un péndulo y variando su longitud, se puede representar $T^2$ frente a $L$. La pendiente de la recta resultante permite calcular el valor local de la gravedad.