Trigonometría: funciones y resolución de triángulos

Para medir la amplitud de un ángulo, utilizamos principalmente dos sistemas:

1. Sistema Sexagesimal (grados): Divide la circunferencia en 360 partes iguales denominadas grados ($^\circ$). Cada grado se divide en 60 minutos ($'$) y cada minuto en 60 segundos ($''$).
2. Sistema Internacional (radianes): Un radián ($rad$) es el ángulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

La relación fundamental para convertir entre sistemas es: $180^\circ = \pi \text{ radianes}$

• Longitud de arco ($L$): Si el ángulo $\alpha$ está en radianes, $L = R \cdot \alpha$.
• Área de un sector circular ($A$): $A = \frac{1}{2} R^2 \cdot \alpha$.

En un triángulo rectángulo, definimos las razones respecto a un ángulo agudo $\alpha$:

Además, existen las razones recíprocas:

• Cosecante: $\text{cosec}(\alpha) = \frac{1}{\text{sen}(\alpha)}$
• Secante: $\sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)}$
• Cotangente: $\text{cotg}(\alpha) = \frac{1}{\text{tg}(\alpha)}$

==La relación fundamental que nunca debes olvidar es $\text{tg}(\alpha) = \frac{\text{sen}(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.==

Es una circunferencia de radio $R=1$ centrada en el origen de coordenadas. En ella, el seno es la ordenada ($y$) y el coseno es la abscisa ($x$).

• Signos según el cuadrante:
  • I ($0^\circ$ a $90^\circ$): Todos positivos.
  • II ($90^\circ$ a $180^\circ$): Seno (+), Coseno (-), Tangente (-).
  • III ($180^\circ$ a $270^\circ$): Seno (-), Coseno (-), Tangente (+).
  • IV ($270^\circ$ a $360^\circ$): Seno (-), Coseno (+), Tangente (-).

Reducción al primer cuadrante: Para un ángulo $\alpha$ en el primer cuadrante:

• Suplementarios ($180^\circ - \alpha$): $\text{sen}(180^\circ-\alpha) = \text{sen}(\alpha)$; $\cos(180^\circ-\alpha) = -\cos(\alpha)$.
• Opuestos ($-\alpha$ o $360^\circ - \alpha$): $\text{sen}(-\alpha) = -\text{sen}(\alpha)$; $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.

Las identidades son igualdades que se cumplen para cualquier valor del ángulo. La más importante es la Identidad Pitagórica: $\text{sen}^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$

De esta se derivan otras dos muy útiles dividiendo por $\cos^2(\alpha)$ o $\text{sen}^2(\alpha)$:

1. $1 + \text{tg}^2(\alpha) = \sec^2(\alpha)$
2. $1 + \text{cotg}^2(\alpha) = \text{cosec}^2(\alpha)$

Para demostrar identidades complejas, el truco suele ser pasar todas las razones a seno y coseno y operar algebraicamente.

Estas fórmulas permiten calcular razones de ángulos desconocidos a partir de otros conocidos:

Suma y resta:

• $\text{sen}(\alpha \pm \beta) = \text{sen}(\alpha)\cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\text{sen}(\beta)$
• $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) \mp \text{sen}(\alpha)\text{sen}(\beta)$
• $\text{tg}(\alpha \pm \beta) = \frac{\text{tg}(\alpha) \pm \text{tg}(\beta)}{1 \mp \text{tg}(\alpha)\text{tg}(\beta)}$

Ángulo doble ($2\alpha$):

• $\text{sen}(2\alpha) = 2\text{sen}(\alpha)\cos(\alpha)$
• $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \text{sen}^2(\alpha)$

Ángulo mitad ($\alpha/2$):

• $\text{sen}\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{2}}$
• $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1+\cos(\alpha)}{2}}$

Una ecuación trigonométrica es aquella donde la incógnita aparece bajo una razón trigonométrica. Pasos para resolverlas:

1. Utilizar identidades para que solo aparezca una razón (ej. todo en función de senos).
2. Realizar un cambio de variable si es necesario (ej. $z = \text{sen}(x)$).
3. Resolver la ecuación algebraica resultante.
4. Deshacer el cambio y encontrar los ángulos.

Recuerda añadir siempre $+ 360^\circ k$ o $+ 2\pi k$ para indicar que las soluciones se repiten en cada vuelta, y comprobar si las soluciones son válidas en la ecuación original.

En cualquier triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos: $\frac{a}{\text{sen}(A)} = \frac{b}{\text{sen}(B)} = \frac{c}{\text{sen}(C)} = 2R$ Donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita.

• Uso: Cuando conocemos dos ángulos y un lado, o dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

Es una generalización del Teorema de Pitágoras para cualquier triángulo: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)$ (Análogamente para $b^2$ y $c^2$).

• Uso: Cuando conocemos los tres lados (para hallar los ángulos) o dos lados y el ángulo que forman.

• Área de un triángulo: Si conocemos dos lados y el ángulo que forman: $Área = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \text{sen}(C)$.
• Estrategia de la doble observación: Muy común en topografía para calcular alturas de objetos inaccesibles. Se basa en medir ángulos desde dos puntos distintos y resolver el sistema de ecuaciones resultante mediante la tangente.

Ambas son funciones periódicas de periodo $T = 2\pi$.

1. Función Seno ($f(x) = \text{sen}(x)$):
   • Dominio: $\mathbb{R}$. Recorrido: $[-1, 1]$.
   • Es una función impar: $\text{sen}(-x) = -\text{sen}(x)$.
   • Corta al eje X en múltiplos de $\pi$ ($k\pi$).
2. Función Coseno ($f(x) = \cos(x)$):
   • Dominio: $\mathbb{R}$. Recorrido: $[-1, 1]$.
   • Es una función par: $\cos(-x) = \cos(x)$.
   • Es una traslación del seno: $\cos(x) = \text{sen}(x + \pi/2)$.

Amplitud y desfase: En $f(x) = A \cdot \text{sen}(Bx + C)$, $A$ es la amplitud, y el periodo cambia a $T = \frac{2\pi}{B}$.

La función $f(x) = \text{tg}(x)$ tiene un comportamiento muy distinto:

• Dominio: $\mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \}$, ya que en esos puntos el coseno es cero.
• Asíntotas verticales: En los puntos donde no está definida.
• Recorrido: $(-\infty, +\infty)$.
• Periodicidad: Su periodo es $T = \pi$.
• Es siempre creciente en sus intervalos de definición.

Como las funciones trigonométricas son periódicas, no son inyectivas. Para definir sus inversas, restringimos su dominio:

1. Arcoseno ($\text{arcsen}(x)$): Devuelve el ángulo cuyo seno es $x$. Rango: $[-\pi/2, \pi/2]$.
2. Arcocoseno ($\text{arccos}(x)$): Devuelve el ángulo cuyo coseno es $x$. Rango: $[0, \pi]$.
3. Arcotangente ($\text{arctg}(x)$): Devuelve el ángulo cuya tangente es $x$. Rango: $(-\pi/2, \pi/2)$.

Las funciones inversas son fundamentales para despejar la incógnita $x$ en las ecuaciones trigonométricas mediante la calculadora.