Cinemática: descripción de movimientos

Para describir un movimiento, lo primero que necesitamos es un sistema de referencia (un punto de origen y unos ejes de coordenadas). Decimos que el movimiento es relativo porque depende del observador.

• Vector de posición ($\vec{r}$): Es el vector que une el origen del sistema de referencia con el punto donde se encuentra el móvil en un instante $t$. En el plano se expresa como: $\vec{r}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j}$
• Trayectoria: Es la línea imaginaria que describe el móvil en su recorrido. Puede ser rectilínea o curvilínea.
• Vector desplazamiento ($\Delta\vec{r}$): Es la diferencia entre el vector de posición final e inicial: $\Delta\vec{r} = \vec{r}_f - \vec{r}_0$. El desplazamiento solo depende de los puntos inicial y final, no del camino seguido.
• Distancia recorrida ($s$): Es la longitud medida sobre la trayectoria. Solo coincide con el módulo del desplazamiento si el movimiento es rectilíneo y no hay cambio de sentido.

La velocidad mide la rapidez con la que cambia la posición.

1. Velocidad media ($\vec{v}_m$): Es el cociente entre el desplazamiento y el tiempo transcurrido: $\vec{v}_m = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$.
2. Velocidad instantánea ($\vec{v}$): Es la velocidad en un punto preciso de la trayectoria. Matemáticamente es la derivada del vector posición respecto al tiempo. Su dirección es siempre tangente a la trayectoria.
3. Celeridad: Es el módulo de la velocidad instantánea. Es un escalar.

Unidades: En el Sistema Internacional (SI), la velocidad se mide en $m/s$. Para pasar de $km/h$ a $m/s$, dividimos entre 3,6.

La aceleración mide la variación del vector velocidad por unidad de tiempo.

• Aceleración media: $\vec{a}_m = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$.
• Componentes intrínsecas: Cuando un móvil cambia su velocidad, pueden ocurrir dos cosas: que cambie su rapidez o que cambie su dirección.
  • Aceleración tangencial ($a_t$): Informa sobre el cambio en el módulo de la velocidad.
  • Aceleración normal o centrípeta ($a_n$): Informa sobre el cambio en la dirección de la velocidad. Siempre apunta hacia el centro de curvatura.

$\vec{a}_{total} = \vec{a}_t + \vec{a}_n \implies a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}$

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Se caracteriza porque la trayectoria es una línea recta y la velocidad es constante ($\vec{v} = cte$). Esto implica que la aceleración es nula ($a=0$).

Ecuación de la posición: $x = x_0 + v \cdot t$

• Gráfica $x-t$: Es una línea recta cuya pendiente representa la velocidad.
• Problemas de encuentro: Se resuelven igualando las ecuaciones de posición de dos móviles ($x_1 = x_2$) teniendo en cuenta el sistema de referencia elegido.

En este movimiento, la trayectoria es recta pero la velocidad varía de forma lineal, ya que existe una aceleración constante.

Ecuaciones fundamentales:

1. Velocidad: $v = v_0 + a \cdot t$
2. Posición: $x = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2$
3. Relación útil (sin tiempo): $v^2 - v_0^2 = 2 \cdot a \cdot \Delta x$

En el frenado, la aceleración tiene signo opuesto a la velocidad. La distancia de frenado es el espacio recorrido hasta que $v = 0$.

Son casos particulares de MRUV donde la aceleración es la de la gravedad ($g \approx 9,8 \, m/s^2$).

• Criterio de signos: Se recomienda situar el origen en el suelo y considerar positivo hacia arriba. Así, $g$ siempre será $-9,8 \, m/s^2$.
• Altura máxima: Se alcanza cuando la velocidad final es cero ($v = 0$).
• Tiempo de vuelo: Tiempo total que el objeto permanece en el aire hasta volver a la altura de lanzamiento o al suelo.

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Según el Principio de Independencia de Galileo, un movimiento complejo puede descomponerse en dos movimientos simples simultáneos e independientes.

• Ejemplo clásico: Una barca cruzando un río. El movimiento horizontal está determinado por la corriente del río (MRU), y el vertical por el motor de la barca (MRU). La velocidad resultante es la suma vectorial: $\vec{v}_r = \vec{v}_{barca} + \vec{v}_{rio}$.

Es el movimiento de un proyectil lanzado con una velocidad inicial $v_0$ y un ángulo $\alpha$. Se descompone en:

• Eje X (Horizontal): Un MRU sin aceleración ($a_x = 0$).
  • $v_x = v_0 \cdot \cos\alpha$
  • $x = x_0 + v_x \cdot t$
• Eje Y (Vertical): Un MRUV bajo la acción de la gravedad ($a_y = -g$).
  • $v_y = v_0 \cdot \sin\alpha - g \cdot t$
  • $y = y_0 + v_0 \cdot \sin\alpha \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2$

Puntos clave:

• Alcance máximo ($R$): Distancia horizontal recorrida cuando el proyectil vuelve a la altura de lanzamiento ($y=0$).
• Ecuación de la trayectoria: Si despejamos $t$ en $x$ y sustituimos en $y$, obtenemos una ecuación parabólica del tipo $y = f(x)$.

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En trayectorias circulares, es más cómodo medir el ángulo girado que la distancia lineal.

• Radián ($rad$): Unidad de ángulo del SI. $360^\circ = 2\pi \, rad$.
• Posición angular ($\theta$): Ángulo en radianes.
• Velocidad angular ($\omega$): Rapidez con la que varía el ángulo. Se mide en $rad/s$. $\omega = \frac{d\theta}{dt}$
• Relación: $s = \theta \cdot R$ y $v = \omega \cdot R$ (donde $R$ es el radio).

El móvil recorre arcos iguales en tiempos iguales. La velocidad angular $\omega$ es constante.

• Aceleración: No tiene aceleración tangencial ($a_t = 0$), pero SÍ tiene aceleración normal o centrípeta ($a_n = v^2/R$) porque la dirección de la velocidad cambia constantemente.
• Periodo ($T$): Tiempo en dar una vuelta completa ($T = 2\pi/\omega$).
• Frecuencia ($f$): Número de vueltas por segundo ($f = 1/T$), se mide en Hercios ($Hz$).

Existe una aceleración angular constante ($\alpha$), lo que significa que la velocidad angular cambia uniformemente.

Ecuaciones análogas al MRUV:

1. $\omega = \omega_0 + \alpha \cdot t$
2. $\theta = \theta_0 + \omega_0 \cdot t + \frac{1}{2} \alpha \cdot t^2$

Aceleración total: En el MCUA existen ambas componentes:

• $a_t = \alpha \cdot R$ (cambia el módulo de $v$).
• $a_n = \omega^2 \cdot R$ (cambia la dirección de $v$). La aceleración total es la suma vectorial de ambas.