Estadística descriptiva bidimensional

En la estadística unidimensional estudiamos una sola característica de una población (por ejemplo, la altura). Sin embargo, en la realidad, los fenómenos suelen estar relacionados. Una variable estadística bidimensional $(X, Y)$ surge cuando observamos simultáneamente dos caracteres en cada individuo de una muestra de tamaño $n$.

Los datos se presentan como pares de valores $(x_i, y_i)$, donde $x_i$ es el valor de la primera variable y $y_i$ el de la segunda para el mismo individuo. La forma más intuitiva de visualizar esta relación es mediante la nube de puntos o diagrama de dispersión, que consiste en representar cada par de datos como un punto en un sistema de ejes cartesianos.

La nube de puntos permite apreciar visualmente si existe algún tipo de relación o tendencia entre las dos variables antes de realizar cálculos complejos.

Cuando el número de datos es muy grande o los valores se repiten con frecuencia, utilizamos tablas de doble entrada o tablas de contingencia. En ellas:

• Las filas representan los valores de la variable $X$.
• Las columnas representan los valores de la variable $Y$.
• $n_{ij}$ es la frecuencia absoluta conjunta, es decir, el número de veces que aparece simultáneamente el par $(x_i, y_j)$.

La suma de todas las frecuencias conjuntas debe ser igual al tamaño total de la muestra $N$: $\sum \sum n_{ij} = N$

A partir de una tabla bidimensional, podemos estudiar cada variable por separado. Estas se denominan distribuciones marginales:

1. Distribución marginal de X: Se obtiene sumando las frecuencias de todas las columnas para cada fila. Nos indica cómo se comporta $X$ sin tener en cuenta a $Y$.
2. Distribución marginal de Y: Se obtiene sumando las frecuencias de todas las filas para cada columna.

Las frecuencias marginales se denotan como $n_{i \cdot}$ (para $X$) y $n_{\cdot j}$ (para $Y$).

A veces nos interesa estudiar cómo se comporta una variable cuando la otra toma un valor fijo. Esto es la distribución condicionada. Por ejemplo, "¿cuál es la distribución de la altura ($Y$) condicionada a que el individuo sea hombre ($X=x_1$)?".

Se dice que dos variables son estadísticamente independientes si el comportamiento de una no influye en la otra. Matemáticamente, esto ocurre si para todos los pares se cumple que: $\frac{n_{ij}}{N} = \frac{n_{i \cdot}}{N} \cdot \frac{n_{\cdot j}}{N}$ Si existe independencia, las distribuciones condicionadas coinciden con las marginales.

En una distribución bidimensional, el punto que representa el promedio de ambos caracteres se llama centro de gravedad. Se denota como $(\bar{x}, \bar{y})$ y sus coordenadas son las medias aritméticas de las distribuciones marginales: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}, \quad \bar{y} = \frac{\sum y_i}{n}$ Este punto es fundamental, ya que la recta de regresión siempre pasará por él.

La covarianza, denotada como $s_{xy}$ o $\sigma_{xy}$, es una medida que indica el grado de variación conjunta de dos variables aleatorias respecto a sus medias. Su fórmula de definición es: $s_{xy} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n}$

Para facilitar los cálculos, solemos usar la fórmula simplificada: $s_{xy} = \frac{\sum x_i y_i}{n} - \bar{x} \cdot \bar{y}$

El signo de la covarianza nos da información crucial:

• Si $s_{xy} > 0$: La relación es directa (al aumentar $X$, tiende a aumentar $Y$).
• Si $s_{xy} < 0$: La relación es inversa (al aumentar $X$, tiende a disminuir $Y$).

Aunque la covarianza nos indica la dirección de la relación, tiene un problema principal: depende de las unidades de medida. Si medimos la altura en metros o en centímetros, el valor de la covarianza cambiará drásticamente, aunque la relación entre las variables sea la misma. Por ello, la covarianza no sirve para comparar la intensidad de la relación entre distintos pares de variables.

Para solucionar las limitaciones de la covarianza, Karl Pearson definió el coeficiente de correlación lineal ($r$). Se obtiene dividiendo la covarianza por el producto de las desviaciones típicas de cada variable: $r = \frac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y}$

Este coeficiente tiene dos propiedades fundamentales:

1. Es adimensional: No tiene unidades, lo que permite comparar diferentes estudios.
2. Su rango es $[-1, 1]$: Siempre estará comprendido entre estos dos valores.

El valor de $r$ nos indica la fuerza y el sentido de la relación lineal:

• $r = 1$: Correlación lineal positiva perfecta. Los puntos están exactamente sobre una recta creciente.
• $r = -1$: Correlación lineal negativa perfecta. Los puntos están sobre una recta decreciente.
• $r \approx 0$: Ausencia de relación lineal (las variables están incorreladas).
• $0.7 < |r| < 1$: Correlación fuerte.
• $|r| < 0.3$: Correlación débil.

Es vital entender que la existencia de correlación no implica necesariamente causalidad. Que dos variables varíen juntas no significa que una sea la causa de la otra.

• Ejemplo clásico: Existe una alta correlación entre el consumo de helados y los ahogamientos en piscinas. ¿Significa esto que comer helado causa ahogamientos? No, existe una variable de confusión (el calor del verano) que aumenta ambas variables de forma independiente.

Si observamos una correlación fuerte, nuestro objetivo es encontrar la función matemática que mejor se ajuste a la nube de puntos. En este nivel, buscamos la recta de regresión.

El método utilizado es el de mínimos cuadrados, que consiste en encontrar la recta que hace mínima la suma de los cuadrados de los residuos (la distancia vertical entre cada punto de la nube y la recta).

La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ (usada para predecir $Y$ conociendo $X$) tiene la forma: $y - \bar{y} = \frac{s_{xy}}{s_x^2} (x - \bar{x})$

Donde:

• $\frac{s_{xy}}{s_x^2}$ es la pendiente ($m$), que indica cuánto aumenta $Y$ por cada unidad que aumenta $X$.
• La recta pasa obligatoriamente por el centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$.

Si despejamos la $y$, obtenemos la forma habitual $y = mx + n$.

Una vez obtenida la recta, podemos realizar estimaciones. Sin embargo, no todas las predicciones son igual de fiables. Para medir la calidad del ajuste, usamos el coeficiente de determinación ($R^2$), que en regresión lineal simple es el cuadrado del coeficiente de Pearson.

$R^2 = r^2$

$R^2$ representa el porcentaje de la variabilidad de $Y$ que queda explicada por la variable $X$. Cuanto más cercano a 1, más fiable es la predicción.

• Interpolación: Predecir valores dentro del rango de datos observados (suele ser fiable).
• Extrapolación: Predecir valores muy alejados del rango observado (es arriesgado y poco fiable).

La regresión lineal se aplica en innumerables campos:

1. Economía: Predecir el gasto de las familias en función de sus ingresos.
2. Biología: Estimar el peso de un animal a partir de su longitud corporal.
3. Psicología: Relacionar el tiempo de estudio con la calificación obtenida.

Para realizar estos cálculos de forma eficiente, es fundamental el uso de calculadoras científicas en modo estadístico (STAT) o software como hojas de cálculo, que automatizan la obtención de sumatorios y coeficientes.