Estadística unidimensional: muestreo y parámetros

Para comenzar cualquier estudio estadístico, debemos definir sobre quién vamos a recoger la información:

• Población: Es el conjunto total de elementos o personas que presentan la característica que queremos estudiar. Por ejemplo, todos los alumnos de un instituto.
• Muestra: Es un subconjunto representativo de la población. Se utiliza cuando la población es demasiado grande para analizarla por completo. Por ejemplo, 50 alumnos elegidos al azar.
• Individuo: Es cada uno de los elementos que componen la población.

La clave de un buen estudio es que la muestra sea representativa, es decir, que refleje fielmente las características de la población total para evitar sesgos.

Una variable estadística es la propiedad o característica que estamos midiendo. Se clasifican en:

1. Cualitativas: Expresan cualidades o características que no pueden medirse con números.
   • Nominales: No admiten un orden (ej. color de ojos, deporte favorito).
   • Ordinales: Existe un orden lógico (ej. nivel de satisfacción: bajo, medio, alto).
2. Cuantitativas: Se expresan mediante números.
   • Discretas: Toman valores aislados, generalmente números enteros (ej. número de hermanos, número de libros en la mochila).
   • Continuas: Pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo (ej. estatura, peso, tiempo de uso del móvil).

Para que una muestra sea válida, la selección debe ser justa:

• Muestreo aleatorio simple: Todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos (como un sorteo).
• Muestreo sistemático: Se elige un individuo al azar y, a partir de él, se seleccionan los demás siguiendo un intervalo fijo (cada 10 personas, por ejemplo).
• Muestreo estratificado: Se divide la población en grupos con características comunes (estratos) y se elige una muestra proporcional de cada grupo para garantizar la representatividad.

Una vez recogidos los datos, el primer paso es el recuento. La frecuencia absoluta ($n_i$) es el número de veces que aparece un determinado valor de la variable. La suma de todas las frecuencias absolutas debe ser igual al tamaño total de la muestra ($N$): $\sum n_i = N$

La frecuencia relativa ($f_i$) nos indica qué parte del total representa cada valor. Se calcula como: $f_i = \frac{n_i}{N}$ Si multiplicamos $f_i$ por 100, obtenemos el porcentaje (%). La suma de todas las frecuencias relativas siempre debe ser 1 (o el 100% si hablamos de porcentajes).

Son útiles cuando los datos están ordenados (variables cuantitativas o cualitativas ordinales):

• Frecuencia absoluta acumulada ($N_i$): Suma de la frecuencia absoluta del valor actual y todas las anteriores.
• Frecuencia relativa acumulada ($F_i$): Suma de las frecuencias relativas hasta ese valor.

Cuando tenemos una variable continua o muchos datos distintos, los agrupamos en intervalos o clases.

• Amplitud: Es la diferencia entre el límite superior e inferior del intervalo.
• Marca de clase ($x_i$): Es el punto medio del intervalo. Se calcula como $(L_{inferior} + L_{superior}) / 2$ y se utiliza para representar a todo el intervalo en los cálculos.

• Diagrama de barras: Se sitúan los valores en el eje X y las frecuencias en el eje Y. Las barras están separadas.
• Diagrama de sectores: Ideal para comparar partes de un todo. El ángulo de cada sector se calcula con una regla de tres: $\text{Ángulo} = \frac{n_i \cdot 360^\circ}{N}$.

• Histograma: A diferencia del diagrama de barras, las barras están pegadas porque representan intervalos continuos.
• Polígono de frecuencias: Línea que une los puntos medios (marcas de clase) de las partes superiores de las barras del histograma.

No basta con mirar el dibujo; hay que analizar la escala. Un error común es no empezar el eje Y en cero, lo que puede exagerar visualmente las diferencias entre datos. Un buen análisis estadístico requiere observar siempre las unidades y el origen de los ejes.

Es el valor promedio. Se calcula sumando todos los datos y dividiendo por el total. Si tenemos una tabla de frecuencias: $\bar{x} = \frac{\sum x_i \cdot n_i}{N}$ Nota: La media es muy sensible a los valores extremos (un dato muy alto o muy bajo puede "desviarla").

• Moda: Es el valor con mayor frecuencia absoluta (el que más se repite).
• Mediana: Es el valor que ocupa la posición central cuando los datos están ordenados de menor a mayor. Si $N$ es impar, es el dato central; si es par, es la media de los dos centrales. Podemos localizarla fácilmente usando la frecuencia acumulada ($N_i$).

• Si los datos son muy dispersos, la mediana suele ser más representativa que la media.
• En variables cualitativas nominales (ej. color favorito), la única medida posible es la moda.

• Rango o Recorrido: Diferencia entre el valor máximo y el mínimo.
• Desviación Media ($DM$): Media de los valores absolutos de las diferencias de cada dato respecto a la media: $DM = \frac{\sum |x_i - \bar{x}| \cdot n_i}{N}$.

• Varianza: Media de los cuadrados de las desviaciones. Su fórmula es $s^2 = \frac{\sum x_i^2 \cdot n_i}{N} - \bar{x}^2$.
• Desviación Típica: Es la raíz cuadrada de la varianza ($s = \sqrt{s^2}$). Es la medida de dispersión más importante; cuanto mayor sea $s$, más dispersos están los datos.

Permite comparar la dispersión de dos poblaciones con distintas unidades o medias: $CV = \frac{s}{|\bar{x}|}$ Se suele expresar en porcentaje. Un $CV$ bajo indica que los datos están muy agrupados en torno a la media (la muestra es homogénea).

Dividen la serie de datos en partes iguales:

• Cuartiles: Dividen los datos en 4 partes (25% cada una).
  • $Q_1$: Deja el 25% por debajo.
  • $Q_2$: Es la mediana (50%).
  • $Q_3$: Deja el 75% por debajo.
• Percentiles ($P_k$): Dividen la muestra en 100 partes.

Es una representación gráfica basada en los cuartiles.

1. La caja central va desde $Q_1$ hasta $Q_3$.
2. La línea interior es la mediana.
3. Los bigotes se extienden hasta los valores mínimo y máximo. Este gráfico permite ver de un vistazo la simetría de los datos y si existen valores atípicos (outliers).

Para concluir un estudio, debemos combinar todo lo anterior:

1. Contextualizar: ¿Qué estamos midiendo?
2. Analizar el centro: ¿Cuál es el promedio y dónde está la mayoría de los datos?
3. Analizar la dispersión: ¿Es el promedio fiable o los datos están muy dispersos?
4. Redactar conclusiones: Usar un lenguaje claro, apoyado en los parámetros calculados y las gráficas obtenidas.

Ejemplo práctico: Si una clase tiene una media de 5 en un examen con una desviación típica de 4, significa que hay notas muy variadas (muchos dieces y muchos ceros). Si la desviación es de 0.5, significa que casi todos han sacado una nota muy cercana al 5.