Derivadas y sus aplicaciones en economía

La Tasa de Variación Media de una función $f(x)$ en un intervalo cerrado $[a, b]$ representa cuánto cambia la función, en promedio, por cada unidad que aumenta la variable independiente $x$.

Se define mediante el cociente: $TVM[a, b] = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

• Interpretación geométrica: Es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $P(a, f(a))$ y $Q(b, f(b))$.
• Significado económico: Si $f(x)$ representa el coste de producción, la TVM indica el incremento medio del coste al pasar de producir $a$ unidades a $b$ unidades.

Si queremos saber qué ocurre en un punto exacto y no en un intervalo, debemos hacer que el intervalo $[a, b]$ sea cada vez más pequeño. Esto nos lleva al concepto de límite.

La derivada de una función en un punto $x = a$ es el límite de la TVM cuando el incremento de la variable tiende a cero: $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

La derivada representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto específico. En economía, esto se traduce como el cambio marginal.

La función derivada, denotada como $f'(x)$, es una nueva función que nos da el valor de la derivada para cualquier punto $x$ del dominio.

• Dominio de derivabilidad: Es el conjunto de puntos donde existe el límite anterior. Una función no es derivable en puntos con "picos", discontinuidades o tangentes verticales.
• Continuidad y derivabilidad: Es vital recordar que si una función es derivable en un punto, entonces es continua en él. Sin embargo, el recíproco no siempre es cierto: una función puede ser continua pero no derivable (como la función valor absoluto en $x=0$).

Para agilizar los cálculos, utilizamos tablas de derivadas preestablecidas:

Sean $u$ y $v$ dos funciones derivables y $k$ un número real:

1. Suma/Resta: $(u \pm v)' = u' \pm v'$
2. Producto por un número: $(k \cdot u)' = k \cdot u'$
3. Producto de funciones: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$
4. Cociente de funciones: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$

La regla de la cadena se utiliza para derivar funciones compuestas $f(g(x))$. Se enuncia como: $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

En la práctica, para una función potencia generalizada como $f(x) = [g(x)]^n$, su derivada es $f'(x) = n \cdot [g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$.

El signo de la primera derivada nos indica la dirección de la función:

• Si $f'(x) > 0$ en un intervalo, la función es estrictamente creciente.
• Si $f'(x) < 0$ en un intervalo, la función es estrictamente decreciente.

Los puntos donde $f'(x) = 0$ se denominan puntos críticos o estacionarios, y son candidatos a ser máximos o mínimos.

Para determinar si un punto crítico es un máximo o un mínimo, podemos usar dos criterios:

1. Criterio de la primera derivada: Observar si la función pasa de crecer a decrecer (Máximo) o de decrecer a crecer (Mínimo).
2. Criterio de la segunda derivada:
   • Si $f'(a) = 0$ y $f''(a) > 0 \implies$ Mínimo relativo en $a$.
   • Si $f'(a) = 0$ y $f''(a) < 0 \implies$ Máximo relativo en $a$.

La segunda derivada $f''(x)$ nos informa sobre la forma de la curva:

• Concavidad ($\cup$): Si $f''(x) > 0$, la función es convexa (o cóncava hacia arriba).
• Convexidad ($\cap$): Si $f''(x) < 0$, la función es cóncava (o cóncava hacia abajo).

Los puntos de inflexión ocurren donde la curvatura cambia de signo, lo cual implica que $f''(x) = 0$ y hay un cambio efectivo en la tendencia de la pendiente.

En economía, el término marginal se refiere a la derivada. Indica el cambio en una variable total al producir o vender una unidad adicional.

• Coste Marginal ($C_m$): Derivada de la función de Coste Total. $C_m(x) = C'(x)$.
• Ingreso Marginal ($I_m$): Derivada de la función de Ingreso Total. $I_m(x) = I'(x)$.
• Beneficio Marginal ($B_m$): $B'(x) = I'(x) - C'(x)$.

El objetivo principal de una empresa suele ser maximizar el beneficio total $B(x) = I(x) - C(x)$. Para hallar el beneficio máximo:

1. Derivamos $B(x)$ e igualamos a cero: $B'(x) = 0$.
2. Esto ocurre cuando el Ingreso Marginal es igual al Coste Marginal ($I' = C'$).
3. Comprobamos que es un máximo usando la segunda derivada ($B''(x) < 0$).

La elasticidad-precio de la demanda ($E_p$) mide la sensibilidad de la cantidad demandada ante cambios en el precio. Se define como: $E_p = - \frac{dq}{dp} \cdot \frac{p}{q}$ (Donde $q$ es la cantidad y $p$ el precio).

• $E_p > 1$ (Elástica): La demanda es muy sensible; una subida de precio reduce mucho los ingresos.
• $E_p < 1$ (Inelástica): La demanda es poco sensible; una subida de precio puede aumentar los ingresos.
• $E_p = 1$ (Unitaria): La variación porcentual es idéntica.

Optimizar consiste en encontrar el valor máximo o mínimo de una función sujeta a ciertas condiciones. Los pasos son:

1. Definir las variables: Identificar qué magnitudes intervienen (ej. $x$ = precio, $y$ = cantidad).
2. Función objetivo: Escribir la fórmula de la cantidad que queremos maximizar o minimizar.
3. Restricciones: Usar los datos del problema para relacionar las variables y dejar la función objetivo con una sola incógnita.

Ejemplos comunes incluyen:

• Gestión de inventarios: Minimizar los costes de almacenamiento y pedido.
• Marketing: Encontrar el gasto en publicidad que maximiza las ventas.
• Geometría: Hallar las dimensiones de un recinto que minimicen el coste de la valla (perímetro) dado un espacio fijo (área).

Una vez hallado el valor matemático (el punto crítico), es imprescindible:

• Comprobar el contexto: ¿Tiene sentido una producción negativa? ¿Está el valor dentro del intervalo permitido?
• Análisis de extremos: En ocasiones, el máximo no está donde la derivada es cero, sino en los extremos del dominio permitido por la situación económica.
• Comunicación: Traducir el resultado numérico a una recomendación estratégica (ej. "Para maximizar el beneficio, se deben fabricar 500 unidades").