Estadística unidimensional

En estadística, los términos no siempre se refieren a personas:

• Población: Es el conjunto completo de todos los elementos que queremos estudiar (personas, bombillas fabricadas, árboles de un bosque).
• Muestra: Es un subconjunto representativo de la población. Se utiliza cuando la población es demasiado grande para analizarla por completo.
• Individuo: Cada uno de los elementos que componen la población.

La representatividad es clave: una muestra debe reflejar fielmente las características de la población total para que las conclusiones sean válidas.

La variable estadística es la propiedad que estamos midiendo. Se clasifican en:

1. Cualitativas: Expresan cualidades o atributos no numéricos.
   • Nominales: No admiten un orden (ej. color de ojos, deporte favorito).
   • Ordinales: Existe un orden lógico (ej. nivel de satisfacción: bajo, medio, alto).
2. Cuantitativas: Se expresan mediante números.
   • Discretas: Toman valores aislados, generalmente números enteros (ej. número de hermanos, número de coches en un parking).
   • Continuas: Pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo (ej. altura, peso, tiempo de reacción).

Para que una muestra sea útil, debe elegirse correctamente:

• Muestreo aleatorio simple: Todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos (como un sorteo).
• Muestreo sistemático: Se elige un individuo al azar y, a partir de él, se seleccionan los demás siguiendo un intervalo fijo (cada 10 personas, por ejemplo).

El principal problema en la recogida de datos es el sesgo, que ocurre cuando la muestra no es representativa y favorece ciertos resultados de forma injusta.

Para cada valor de la variable ($x_i$), definimos:

• Frecuencia absoluta ($f_i$): Número de veces que aparece el valor.
• Frecuencia acumulada ($F_i$): Suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o iguales al actual.
• Frecuencia relativa ($h_i$): Cociente $\frac{f_i}{N}$, donde $N$ es el total de datos.
• Porcentaje ($$): $h_i \cdot 100$.

La suma de todas las frecuencias absolutas debe ser igual a N, y la suma de las frecuencias relativas debe ser 1.

Cuando la variable es continua o hay demasiados valores distintos, agrupamos los datos en intervalos o clases.

• Rango (R): Diferencia entre el valor máximo y el mínimo.
• Marca de clase ($x_i$): El punto medio de cada intervalo. Se calcula como $\frac{\text{Límite inferior} + \text{Límite superior}}{2}$.
• Límites: Normalmente se usan intervalos semiabiertos $[a, b)$, donde el valor $a$ entra en el intervalo pero el $b$ no (entraría en el siguiente).

Para calcular parámetros más adelante, añadimos columnas auxiliares como $x_i \cdot f_i$ (para la media) o $x_i^2 \cdot f_i$ (para la varianza). La interpretación de los datos acumulados nos permite responder preguntas rápidamente, como "¿qué porcentaje de alumnos pesa menos de 60 kg?".

• Diagrama de barras: Las alturas de las barras son proporcionales a las frecuencias. Las barras están separadas.
• Diagrama de sectores: Útil para comparar partes de un todo. El ángulo de cada sector se calcula con la fórmula: $\alpha = \frac{f_i \cdot 360^\circ}{N}$.

• Histograma: A diferencia del diagrama de barras, aquí las barras están pegadas porque representan intervalos continuos. El área de la barra es proporcional a la frecuencia.
• Polígono de frecuencias: Línea que une los puntos medios (marcas de clase) de la parte superior de las barras del histograma.

La ojiva es el polígono de frecuencias acumuladas. Es fundamental para localizar visualmente la mediana (el punto donde llegamos al 50% de los datos) y observar si el crecimiento de los datos es constante o se concentra en ciertos valores.

Es el promedio de los datos.

• Fórmula: $\bar{x} = \frac{\sum x_i \cdot f_i}{N}$
• Propiedad: Es muy sensible a valores extremos. Si en un grupo de amigos todos ganan 1.000€ y uno gana 1.000.000€, la media no será representativa del grupo.

• Moda: Es el valor que más se repite. En datos agrupados, hablamos de intervalo modal.
• Mediana: Es el valor que ocupa la posición central una vez ordenados los datos. Si $N$ es impar, es el valor central; si es par, es la media de los dos centrales. La mediana es una medida robusta porque no le afectan los valores extremos.

• Si la distribución es simétrica, la media, la mediana y la moda coinciden.
• Si hay valores muy altos que "tiran" de la media, esta será mayor que la mediana (asimetría positiva).

• Cuartiles: Dividen los datos en cuatro partes (25% cada una).
  • $Q_1$: Deja el 25% por debajo.
  • $Q_2$: Es la mediana (50%).
  • $Q_3$: Deja el 75% por debajo.
• Percentiles ($P_k$): Dividen los datos en 100 partes. El $P_{80}$ es el valor que deja por debajo al 80% de la población.

Es una representación gráfica basada en cinco números: Mínimo, $Q_1$, Mediana, $Q_3$ y Máximo.

1. La "caja" abarca desde $Q_1$ a $Q_3$.
2. La línea central es la mediana.
3. Los "bigotes" llegan hasta los valores extremos. Permite detectar outliers (valores atípicos) que están inusualmente lejos del resto.

Se usa mucho en pediatría (percentiles de peso y talla) para ver cómo evoluciona un bebé respecto a la media de su edad, o en educación para comparar el rendimiento de diferentes centros escolares.

• Rango: $Max - Min$. Solo da información de los extremos.
• Desviación Media ($DM$): Promedio de las distancias de cada dato a la media (en valor absoluto). $DM = \frac{\sum |x_i - \bar{x}| \cdot f_i}{N}$.

Son las medidas más importantes:

• Varianza ($\sigma^2$): $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2 \cdot f_i}{N} - \bar{x}^2$. Se mide en unidades al cuadrado.
• Desviación Típica ($\sigma$): Es la raíz cuadrada de la varianza. Tiene las mismas unidades que los datos originales, lo que facilita su interpretación.

Se calcula como $CV = \frac{\sigma}{|\bar{x}|}$. Es una medida adimensional (sin unidades). Sirve para comparar la dispersión de dos poblaciones distintas. Por ejemplo, ¿qué tiene más variabilidad: el peso de un elefante o el de un ratón? Como sus pesos medios son tan distintos, solo el $CV$ nos permite compararlos de forma justa. Un $CV$ menor indica mayor homogeneidad.