Funciones lineales y cuadráticas

Para describir una función, utilizamos habitualmente cuatro lenguajes distintos:

1. Enunciado: Una descripción verbal (ej. "El coste del taxi es de 3€ por bajada de bandera más 1€ por kilómetro").
2. Tabla de valores: Una lista de pares ordenados $(x, y)$.
3. Gráfica: Representación en los ejes cartesianos.
4. Fórmula o expresión analítica: $y = f(x)$. Es la forma más precisa.

En cualquier función, distinguimos:

• Variable independiente ($x$): La que fijamos nosotros (habitualmente el tiempo, la distancia, etc.).
• Variable dependiente ($y$ o $f(x)$): Su valor "depende" de lo que valga la $x$.
• Dominio: Conjunto de valores que puede tomar la $x$.
• Recorrido (o Imagen): Conjunto de valores que toma la $y$.

Para analizar cómo se comporta una función sin mirar punto por punto, observamos sus rasgos generales:

• Continuidad: Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo. Si presenta saltos o puntos vacíos, es discontinua.
• Crecimiento y decrecimiento:
  • Creciente: Al aumentar la $x$, aumenta la $y$.
  • Decreciente: Al aumentar la $x$, disminuye la $y$.
• Máximos y mínimos relativos: Son los "picos" y "valles" de la gráfica. Un máximo relativo es un punto donde la función pasa de crecer a decrecer.

Saber leer una gráfica es fundamental para extraer información crítica. Los elementos más importantes son:

• Puntos de corte con los ejes:
  • Eje Y: Se calcula haciendo $x = 0$. Solo puede haber uno.
  • Eje X: Se calcula haciendo $y = 0$. Puede haber varios, uno o ninguno (son las soluciones de la ecuación).
• Tendencias: ¿Qué ocurre cuando la $x$ se hace muy grande? Esto ayuda a predecir comportamientos futuros en modelos económicos o científicos.

En la ecuación $y = mx + n$, cada letra tiene un significado geométrico:

• Pendiente ($m$): Indica la inclinación de la recta. Representa cuánto varía la $y$ por cada unidad que aumenta la $x$.
  • Si $m > 0$, la función es creciente.
  • Si $m < 0$, la función es decreciente.
  • Cálculo de la pendiente mediante dos puntos $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
• Ordenada en el origen ($n$): Es el valor de la $y$ cuando $x = 0$. Indica el punto donde la recta corta al eje vertical $(0, n)$.

Dependiendo de los valores de $m$ y $n$, clasificamos las rectas en:

1. Función Lineal (o de proporcionalidad directa): Su forma es $y = mx$. Pasa siempre por el origen de coordenadas $(0, 0)$.
2. Función Afín: Su forma es $y = mx + n$ (con $n \neq 0$). No pasa por el origen.
3. Función Constante: Su forma es $y = n$ (la pendiente es $m = 0$). Es una recta horizontal.

Existen diferentes formas de escribir la misma recta según los datos que tengamos:

• Forma explícita: $y = mx + n$. Es la más útil para graficar directamente.
• Forma punto-pendiente: Si conocemos un punto $P(x_0, y_0)$ y la pendiente $m$, usamos: $y - y_0 = m(x - x_0)$ Esta forma es la más rápida para hallar la ecuación si nos dan un punto y la inclinación.

La forma general de una función cuadrática es: $y = ax^2 + bx + c$ Donde $a, b$ y $c$ son números reales y $a \neq 0$.

• El coeficiente $a$: Determina la curvatura.
  • Si $a > 0$, la parábola es convexa (forma de U, ramas hacia arriba).
  • Si $a < 0$, la parábola es cóncava (forma de campana, ramas hacia abajo).
• Cuanto mayor sea el valor absoluto de $a$, más "cerrada" o estrecha será la parábola.

Para dibujar una parábola con precisión, necesitamos calcular sus puntos críticos:

1. Vértice ($V$): Es el punto máximo o mínimo de la curva.
   • La coordenada $x$ del vértice se halla con: $x_v = \frac{-b}{2a}$
   • La coordenada $y$ se halla sustituyendo $x_v$ en la función: $y_v = f(x_v)$
2. Eje de simetría: Es la recta vertical $x = x_v$ que divide a la parábola en dos partes idénticas.
3. Puntos de corte:
   • Eje Y: Siempre es el punto $(0, c)$.
   • Eje X: Resolvemos la ecuación de segundo grado $ax^2 + bx + c = 0$. Podemos obtener dos, uno o ningún punto de corte.

Para representar una parábola, seguimos este orden lógico:

1. Identificar la orientación (¿hacia arriba o hacia abajo?).
2. Calcular y situar el vértice.
3. Hallar los puntos de corte con los ejes.
4. Crear una pequeña tabla de valores con puntos a la izquierda y derecha del vértice para asegurar la simetría.
5. Unir los puntos con una curva suave (no usar regla).

• Costes y beneficios: Una función lineal puede representar el coste de producción $C(x) = mx + n$, donde $n$ es el coste fijo y $m$ el coste por unidad producida.
• Física (MRU): La posición de un objeto que se mueve a velocidad constante sigue una función lineal: $s = s_0 + v \cdot t$.
• Crecimiento constante: Por ejemplo, el llenado de un depósito de agua a ritmo constante.

En muchos problemas se busca el valor "óptimo" (el máximo beneficio o el mínimo coste). En una función cuadrática, este valor siempre se encuentra en el vértice de la parábola.

• Trayectorias de proyectiles: La altura $h$ de un balón lanzado al aire sigue una función del tipo $h(t) = -4,9t^2 + v_0t + h_0$. El vértice nos dirá la altura máxima alcanzada y en qué momento ocurre.
• Áreas máximas: Si tenemos una cantidad fija de valla para cercar un jardín rectangular, la función que relaciona el lado con el área es cuadrática, y el máximo nos indica las dimensiones ideales.

A veces necesitamos saber cuándo dos fenómenos coinciden.

• Punto de equilibrio: En economía, es el punto donde la función de oferta y la de demanda se cruzan.
• Resolución: Para hallar los puntos comunes entre una recta ($y = mx + n$) y una parábola ($y = ax^2 + bx + c$), igualamos ambas expresiones: $ax^2 + bx + c = mx + n$ Esto genera una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son las coordenadas $x$ de los puntos de encuentro. Si no hay solución real, significa que la recta y la parábola no se tocan.