Geometría analítica en el plano

Un vector $\vec{v}$ queda definido por tres elementos:

1. Módulo: La longitud del segmento.
2. Dirección: La recta sobre la que se apoya.
3. Sentido: Indicado por la punta de la flecha.

Coordenadas de un vector: Si tenemos un punto inicial $A(x_1, y_1)$ y un punto final $B(x_2, y_2)$, el vector $\vec{AB}$ se calcula restando las coordenadas del extremo menos las del origen: $\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$

Ejemplo: Si $A(1, 2)$ y $B(4, 6)$, entonces $\vec{AB} = (4-1, 6-2) = (3, 4)$.

Podemos operar con vectores de forma analítica (con números) y geométrica (con dibujos).

• Suma y Resta: Si $\vec{u} = (u_1, u_2)$ y $\vec{v} = (v_1, v_2)$, entonces $\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)$. Geométricamente, se usa la regla del paralelogramo.
• Producto por un escalar: Si multiplicamos un vector por un número $k$, obtenemos $k \cdot \vec{u} = (k \cdot u_1, k \cdot u_2)$.
  • Si $k > 0$, el sentido se mantiene.
  • Si $k < 0$, el sentido se invierte.
  • El módulo cambia por el factor $|k|$.

Un vector es combinación lineal de otros si puede expresarse como la suma de estos multiplicados por escalares: $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.

• Vectores linealmente independientes: Dos vectores son independientes si no tienen la misma dirección (no son proporcionales).
• Base del plano: Cualquier par de vectores independientes forman una base. La más común es la base canónica $\{\vec{i}(1,0), \vec{j}(0,1)\}$.

Existen dos formas de calcularlo, y ambas son equivalentes:

1. Expresión analítica: $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2$
2. Expresión geométrica: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\alpha)$, donde $\alpha$ es el ángulo que forman.

Propiedades: Es conmutativo ($\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$) y distributivo respecto a la suma.

A partir del producto escalar, derivamos fórmulas esenciales:

• Módulo de un vector: Se basa en el Teorema de Pitágoras. $|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}$
• Ángulo entre vectores: Despejando de la fórmula geométrica: $\cos(\alpha) = \frac{u_1 v_1 + u_2 v_2}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$
• Vector unitario: Es un vector con módulo 1. Se obtiene dividiendo un vector por su propio módulo: $\vec{u}_{unit} = \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}$.

Dos vectores son ortogonales (perpendiculares) si su producto escalar es cero ($\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$), ya que $\cos(90^\circ) = 0$.

• Para hallar un vector perpendicular a $\vec{v}(a, b)$, basta con intercambiar las coordenadas y cambiar una de signo: $\vec{v}_{\perp} = (-b, a)$.
• Proyección: La proyección de $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$ mide cuánto de $\vec{u}$ "cae" sobre la dirección de $\vec{v}$.

• Ecuación Vectorial: Expresa que cualquier punto $(x, y)$ de la recta se alcanza sumando al punto $P$ el vector $\vec{v}$ multiplicado por un parámetro $t$. $(x, y) = (x_0, y_0) + t \cdot (v_1, v_2)$
• Ecuaciones Paramétricas: Se obtienen desglosando la vectorial por componentes: $\begin{cases} x = x_0 + t \cdot v_1 \\ y = y_0 + t \cdot v_2 \end{cases}$

• Ecuación Continua: Despejando $t$ en ambas paramétricas e igualando: $\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2}$
• Ecuación Explícita: Es la forma más conocida, donde despejamos la $y$. $y = mx + n$ Donde $m$ es la pendiente ($m = \frac{v_2}{v_1}$) y $n$ es la ordenada en el origen (punto de corte con el eje Y).

• Ecuación Punto-Pendiente: Útil cuando conocemos un punto y la pendiente: $y - y_0 = m(x - x_0)$
• Ecuación General (Implícita): $Ax + By + C = 0$.
  • En esta forma, el vector director es $\vec{v}(-B, A)$.
  • El vector normal (perpendicular a la recta) es $\vec{n}(A, B)$.

Dadas dos rectas $r: Ax + By + C = 0$ y $s: A'x + B'y + C' = 0$:

• Rectas Paralelas: Tienen la misma pendiente ($m_1 = m_2$). Para hallar una paralela a $r$ por un punto $P$, usamos la misma $m$ y el punto $P$ en la forma punto-pendiente.
• Rectas Perpendiculares: Sus pendientes cumplen que $m_1 \cdot m_2 = -1$ (o $m_2 = -\frac{1}{m_1}$). Si una recta tiene vector director $(a, b)$, la perpendicular tendrá vector $(-b, a)$.

• Entre dos puntos $A$ y $B$: Es el módulo del vector $\vec{AB}$. $d(A, B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
• De un punto $P(x_0, y_0)$ a una recta $r: Ax + By + C = 0$: $d(P, r) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
• Punto medio de un segmento: $M = \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right)$.

• Baricentro ($G$): Punto donde se cruzan las medianas. Se calcula como la media aritmética de los tres vértices: $G = \frac{A+B+C}{3}$.
• Alineación: Tres puntos $A, B$ y $C$ están alineados si los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$ son proporcionales (tienen la misma dirección).
• Áreas: El área de un triángulo puede calcularse como la mitad de la base por la altura, usando la distancia entre puntos para la base y la distancia de un punto a una recta para la altura.

• Simétrico de un punto $P$ respecto a $M$: Si $P'$ es el simétrico, entonces $M$ debe ser el punto medio del segmento $PP'$.
• Simétrico respecto a una recta: Se traza una perpendicular a la recta por el punto $P$, se busca el punto de corte $M$ (pie de la perpendicular) y se aplica la simetría respecto a ese punto.
• Traslación: Mover un punto $P$ según un vector guía $\vec{t}$: $P' = P + \vec{t}$.

La geometría analítica permite modelizar situaciones reales:

1. Trayectorias: Si un barco se mueve en línea recta, su ruta se describe con una ecuación de la recta.
2. Intersecciones: El punto donde se cruzan dos carreteras es la solución al sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas.
3. Optimización: Calcular la ruta más corta entre una antena (punto) y un cable de fibra óptica (recta) mediante la fórmula de la distancia mínima.