Ecuaciones de primer grado

En matemáticas, a menudo necesitamos representar cantidades desconocidas. Para ello utilizamos variables, que son letras (normalmente la $x$, $y$ o $z$) que sustituyen a un número que no conocemos.

• Expresiones algebraicas básicas: Son combinaciones de números y letras unidos por signos de operación.
• Del lenguaje común al matemático: Para resolver problemas, debemos traducir frases cotidianas a símbolos.

El lenguaje algebraico permite generalizar propiedades y fórmulas que serían imposibles de escribir solo con números.

Una igualdad es una relación matemática que indica que dos expresiones tienen el mismo valor, separadas por el signo $=$.

1. Igualdades numéricas: Solo contienen números (ej. $5 + 3 = 8$). Son siempre ciertas.
2. Identidades: Son igualdades con letras que se cumplen para cualquier valor de la letra (ej. $2x + 3x = 5x$).
3. Ecuaciones: Son igualdades que solo se cumplen para algunos valores específicos de las letras. Por ejemplo, $x + 2 = 10$ solo es verdad si $x = 8$.

Podemos imaginar una ecuación como una balanza en equilibrio. Si lo que hay en el plato izquierdo pesa lo mismo que lo del derecho, la balanza está nivelada.

Para trabajar con ecuaciones, debemos conocer sus partes:

• Miembros: Son las expresiones que hay a cada lado del signo igual. El de la izquierda es el primer miembro y el de la derecha el segundo miembro.
• Términos: Son cada uno de los sumandos que forman los miembros. Pueden ser términos con incógnita (tienen $x$) o términos independientes (solo números).
• Grado: Es el mayor exponente al que está elevada la incógnita. En este curso estudiaremos las de primer grado, donde el exponente de la $x$ es 1.

La solución (o raíz) es el valor numérico que, al sustituirlo por la $x$, convierte la ecuación en una igualdad numérica verdadera.

• Comprobación: Si creemos que $x=3$ es la solución de $2x + 1 = 7$, sustituimos: $2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7$. Como $7 = 7$, la solución es correcta.
• Ecuaciones equivalentes: Son aquellas que tienen la misma solución. El objetivo de resolver una ecuación es transformarla en otras equivalentes más sencillas hasta despejar la $x$.

Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta un mismo número o expresión, obtenemos una ecuación equivalente. En la práctica, esto se conoce como transposición de términos:

• Si un término está sumando en un miembro, pasa al otro restando.
• Si un término está restando, pasa al otro sumando.

Ejemplo: $x - 5 = 10 \Rightarrow x = 10 + 5 \Rightarrow x = 15$.

Si multiplicamos o dividimos ambos miembros por un mismo número (distinto de cero), la igualdad se mantiene.

• Si un número está multiplicando a toda la incógnita, pasa al otro miembro dividiendo.
• Si un número está dividiendo, pasa al otro miembro multiplicando.

Ejemplo: $3x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{3} \Rightarrow x = 4$.

Son aquellas que se resuelven en uno o dos pasos aplicando las reglas anteriores.

• Tipo $x + a = b$: Se despeja restando $a$.
• Tipo $ax = b$: Se despeja dividiendo por $a$.
• Tipo $ax + b = c$: Primero movemos el término independiente ($b$) y luego el coeficiente ($a$).

Ejemplo: $2x - 4 = 6$

1. Pasamos el 4 sumando: $2x = 6 + 4 \Rightarrow 2x = 10$
2. Pasamos el 2 dividiendo: $x = \frac{10}{2} \Rightarrow x = 5$

Cuando aparecen paréntesis, debemos eliminarlos primero usando la propiedad distributiva: el número que multiplica al paréntesis multiplica a todos los términos de su interior.

$3(x - 2) = 9$

1. Multiplicamos: $3 \cdot x - 3 \cdot 2 = 9 \Rightarrow 3x - 6 = 9$
2. Resolvemos normal: $3x = 9 + 6 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$

Cuidado con los signos negativos delante de un paréntesis: cambian el signo de todos los términos interiores.

Para eliminar fracciones, multiplicamos todos los términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores.

Ejemplo: $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5$

1. El mcm de 2 y 3 es 6.
2. Multiplicamos todo por 6: $6 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{x}{3} = 6 \cdot 5$
3. Simplificamos: $3x + 2x = 30$
4. Agrupamos: $5x = 30 \Rightarrow x = 6$

Para cualquier ecuación, sigue este orden:

1. Quitar paréntesis.
2. Quitar denominadores (si los hay).
3. Agrupar: Poner todos los términos con $x$ en un miembro y los números en el otro.
4. Reducir: Sumar y restar los términos semejantes.
5. Despejar: Dejar la $x$ sola dividiendo por su coeficiente.

Debes seguir estos pasos rigurosamente:

1. Lectura comprensiva: Leer el enunciado varias veces hasta entender qué se pide.
2. Identificación de la incógnita: Decidir qué cantidad llamaremos $x$.
3. Planteamiento: Traducir las relaciones del enunciado a una igualdad matemática.
4. Resolución: Aplicar las reglas algebraicas para hallar $x$.
5. Comprobación y respuesta: Verificar si el resultado tiene sentido.

Son ejercicios clásicos sobre propiedades numéricas.

• Números consecutivos: Si uno es $x$, el siguiente es $x+1$.
• Doble y mitad: "Un número más su mitad es 9" se traduce como $x + \frac{x}{2} = 9$.

Ejemplo: La suma de tres números consecutivos es 33. Ecuación: $x + (x+1) + (x+2) = 33 \Rightarrow 3x + 3 = 33 \Rightarrow 3x = 30 \Rightarrow x = 10$. Los números son 10, 11 y 12.

• Edades: Es útil organizar los datos en "Hoy" y "Futuro/Pasado". Si hoy tengo $x$ años, dentro de 5 años tendré $x+5$.
• Geometría: Se basan en fórmulas de perímetros y áreas.
  • Ejemplo: Un rectángulo mide el doble de largo que de ancho y su perímetro es 30 cm.
  • Ancho = $x$; Largo = $2x$.
  • Perímetro: $x + 2x + x + 2x = 30 \Rightarrow 6x = 30 \Rightarrow x = 5$ cm.

Nunca des por finalizado un problema sin comprobar el contexto real. Si un problema pide calcular el número de personas en un autobús y el resultado es $x = 12,5$ o $x = -4$, sabremos que el planteamiento es erróneo, ya que no puede haber media persona ni personas negativas. Siempre redacta la respuesta final indicando las unidades (cm, euros, años, etc.).