Elementos de la geometría plana

• El Punto: Es la unidad mínima. No tiene dimensiones (ni largo, ni ancho). Se representa con una letra mayúscula ($A, B, C$).
• La Recta: Es una línea infinita de puntos que no tiene principio ni fin. Se nombra con una letra minúscula ($r, s, t$). Por dos puntos distintos pasa una única recta.
• El Plano: Es una superficie infinita que tiene dos dimensiones. Imagina una hoja de papel que se extiende para siempre. Se suele nombrar con letras griegas ($\alpha, \beta, \pi$).

Cuando dibujamos dos rectas en un mismo plano, pueden relacionarse de tres formas:

1. Rectas Secantes: Se cortan en un único punto común.
   • Caso especial: Rectas Perpendiculares, que al cortarse forman cuatro ángulos rectos de $90^\circ$.
2. Rectas Paralelas: No tienen ningún punto en común, por mucho que se prolonguen. La distancia entre ellas es siempre la misma.
3. Rectas Coincidentes: Son, en realidad, la misma recta; tienen todos sus puntos en común.

Si marcamos puntos sobre una recta, obtenemos fragmentos:

• Semirrecta: Es cada una de las dos partes en que un punto (origen) divide a una recta. Tiene principio pero no fin.
• Segmento: Es la porción de recta comprendida entre dos puntos llamados extremos. A diferencia de la recta, el segmento sí se puede medir.
  • La longitud del segmento $AB$ se expresa como $\overline{AB}$.
  • Decimos que dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud.

Los elementos de un ángulo son:

• Vértice: El punto de origen común.
• Lados: Las dos semirrectas que lo limitan.
• Amplitud: La "abertura" del ángulo.

Para medir ángulos utilizamos el sistema sexagesimal, cuya unidad es el grado ($^\circ$). Un círculo completo tiene $360^\circ$. El instrumento básico para medir en papel es el transportador de ángulos.

Podemos clasificar los ángulos comparándolos con medidas clave:

Además, un ángulo es convexo si mide menos de $180^\circ$ y cóncavo si mide más de $180^\circ$.

Dos ángulos pueden estar relacionados por su posición o por la suma de sus amplitudes:

• Ángulos Consecutivos: Tienen el vértice y un lado en común.
• Ángulos Adyacentes: Son consecutivos y sus lados no comunes forman una línea recta (suman $180^\circ$).
• Ángulos Opuestos por el Vértice: Tienen el vértice común y los lados de uno son la prolongación de los del otro. Miden lo mismo.
• Ángulos Complementarios: Dos ángulos que sumados dan $90^\circ$.
• Ángulos Suplementarios: Dos ángulos que sumados dan $180^\circ$.

La mediatriz es la recta perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio.

• Propiedad fundamental: Cualquier punto de la mediatriz está a la misma distancia de los extremos del segmento (propiedad de equidistancia).
• Construcción: Se trazan dos arcos de igual radio desde los extremos $A$ y $B$. La recta que une los puntos donde se cortan los arcos es la mediatriz.

La bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

• Propiedad: Todos los puntos de la bisectriz están a la misma distancia de los lados del ángulo.
• Construcción: Pinchando con el compás en el vértice, se hace un arco que corte los dos lados. Desde esos cortes, se hacen dos arcos que se crucen en el centro del ángulo.

1. Entre dos puntos: Es la longitud del segmento que los une. Es el camino más corto.
2. De un punto a una recta: Es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta.
3. Entre dos rectas paralelas: Es la distancia perpendicular entre cualquier punto de una y la otra recta.

• Lados: Segmentos que forman la frontera.
• Vértices: Puntos donde se unen los lados.
• Ángulos interiores: Ángulos dentro del polígono formados por los lados.
• Diagonales: Segmentos que unen dos vértices no consecutivos.
• Perímetro ($P$): La suma de las longitudes de todos sus lados.

• Según sus lados y ángulos:
  • Regulares: Tienen todos sus lados y ángulos iguales (ej. cuadrado, triángulo equilátero).
  • Irregulares: Tienen lados o ángulos diferentes.
• Según el número de lados: Triángulo (3), Cuadrilátero (4), Pentágono (5), Hexágono (6), etc.

El triángulo es el polígono más simple. Una regla de oro es que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es siempre $180^\circ$.

• Se clasifican por sus lados (Equilátero, Isósceles, Escaleno) o por sus ángulos (Acutángulo, Rectángulo, Obtusángulo).

Los cuadriláteros tienen 4 lados y sus ángulos suman $360^\circ$. Se dividen en:

• Paralelogramos: Lados paralelos dos a dos (Cuadrado, Rectángulo, Rombo, Romboide).
• No paralelogramos: Trapecios (solo dos lados paralelos) y trapezoides (ningún lado paralelo).

La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están a la misma distancia de un punto interior llamado centro.

• Radio ($r$): Segmento que une el centro con cualquier punto de la curva.
• Diámetro ($d$): Cuerda que pasa por el centro. Su longitud es el doble del radio ($d = 2 \cdot r$).
• Cuerda: Segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
• Arco: Parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos.

• De una recta y una circunferencia:
  • Exterior: No se tocan.
  • Tangente: Se tocan en un solo punto.
  • Secante: Corta la circunferencia en dos puntos.
• De dos circunferencias: Pueden ser exteriores, tangentes (exteriores o interiores), secantes o concéntricas (mismo centro pero distinto radio).

El círculo es la figura plana formada por la circunferencia y su interior. De él podemos extraer varias partes:

1. Sector circular: Región parecida a una "porción de pizza", limitada por dos radios y un arco.
2. Segmento circular: Región limitada por una cuerda y su arco.
3. Corona circular: Región comprendida entre dos circunferencias concéntricas (forma de anillo).

Recuerda: Para calcular la longitud de la circunferencia usamos la fórmula $L = 2 \cdot \pi \cdot r$, donde $\pi \approx 3,1416$.