Fracciones y números decimales

Una fracción $\frac{a}{b}$ representa el cociente entre dos números enteros, donde $a$ es el numerador (partes que tomamos) y $b$ es el denominador (partes totales en las que dividimos la unidad).

• Propiedad fundamental: Si multiplicamos o dividimos el numerador y el denominador por un mismo número distinto de cero, obtenemos una fracción equivalente.
• Simplificación: Consiste en dividir ambos términos por sus divisores comunes hasta llegar a la fracción irreducible, aquella que ya no se puede simplificar más.
• Método de productos cruzados: Dos fracciones $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ son equivalentes si y solo si $a \cdot d = b \cdot c$.

Ejemplo: $\frac{12}{18}$ se puede simplificar dividiendo entre 6 para obtener $\frac{2}{3}$. Como $12 \cdot 3 = 18 \cdot 2 = 36$, confirmamos que son equivalentes.

Para comparar fracciones con distinto denominador, debemos transformarlas en otras equivalentes que tengan el mismo denominador.

1. Calculamos el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores.
2. Obtenemos las fracciones equivalentes con ese denominador común.
3. Comparamos los numeradores: será mayor la que tenga el numerador más grande.

Para representar fracciones en la recta numérica, dividimos cada unidad en tantas partes como indique el denominador y contamos hacia la derecha (positivos) o izquierda (negativos) lo que indique el numerador.

• Fracciones propias: El numerador es menor que el denominador ($\frac{3}{5}$). Su valor absoluto es menor que 1.
• Fracciones impropias: El numerador es mayor o igual que el denominador ($\frac{7}{4}$). Su valor absoluto es mayor o igual que 1.
• Números mixtos: Una forma de escribir fracciones impropias como la suma de un número entero y una fracción propia. Ejemplo: $\frac{7}{4} = 1 + \frac{3}{4} = 1 \frac{3}{4}$.
• Fracción como operador: Para calcular la fracción de una cantidad, multiplicamos el número por el numerador y dividimos por el denominador. Ejemplo: $\frac{2}{3}$ de $60 = (60 \cdot 2) : 3 = 40$.

Para sumar o restar, es obligatorio que las fracciones tengan el mismo denominador.

• Mismo denominador: Se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador.
• Distinto denominador: Primero reducimos a común denominador usando el m.c.m. y luego operamos.

$\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}$

Un error común es sumar directamente numeradores con numeradores y denominadores con denominadores; recuerda que esto nunca debe hacerse.

A diferencia de la suma, aquí no necesitamos buscar un denominador común.

• Multiplicación: Se realiza "en línea". Numerador por numerador y denominador por denominador. $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$
• División: Se realiza "en cruz" o multiplicando por la fracción inversa. $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Consejo: Es muy útil simplificar las fracciones antes de multiplicar para trabajar con números más pequeños.

Cuando aparecen varias operaciones juntas, debemos seguir el orden de prioridad (jerarquía):

1. Paréntesis y corchetes (de dentro hacia fuera).
2. Potencias y raíces.
3. Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha).
4. Sumas y restas.

Un número decimal consta de una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha). El valor posicional es clave:

• 1ª cifra: Décimas ($10^{-1}$)
• 2ª cifra: Centésimas ($10^{-2}$)
• 3ª cifra: Milésimas ($10^{-3}$)

Podemos clasificar los decimales según sus cifras decimales:

1. Decimal exacto: Tiene un número limitado de cifras decimales (ej. $0,75$).
2. Periódico puro: La parte decimal se repite infinitamente justo después de la coma (ej. $0,333... = 0,\widehat{3}$).
3. Periódico mixto: Tiene una parte que no se repite (anteperíodo) y luego una parte que sí (período) (ej. $0,1666... = 0,1\widehat{6}$).
4. No exactos y no periódicos: Tienen infinitas cifras sin patrón, como el número $\pi$ o $\sqrt{2}$. Estos son números irracionales.

A veces trabajamos con demasiados decimales y necesitamos simplificar:

• Redondeo: Si la primera cifra que eliminamos es 5 o mayor, sumamos uno a la última cifra que mantenemos. Si es menor que 5, la dejamos igual.
• Truncamiento: Cortamos el número directamente por la cifra deseada, eliminando el resto.

El error absoluto es la diferencia (en valor positivo) entre el valor real y la aproximación. El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real, útil para medir la precisión.

Para convertir una fracción en decimal, simplemente dividimos el numerador entre el denominador.

• Si los únicos factores primos del denominador (de la fracción irreducible) son 2 o 5, el decimal será exacto.
• Si no tiene ni al 2 ni al 5, será periódico puro.
• Si tiene al 2 o al 5 y otros factores, será periódico mixto.

Es el proceso inverso: hallar la fracción que da origen a un decimal.

• Exacto: Numerador = número sin coma; Denominador = 1 seguido de tantos ceros como decimales.
• Periódico puro: Numerador = (Número completo sin coma) - (Parte entera); Denominador = tantos nueves como cifras tenga el período.
• Periódico mixto: Numerador = (Número completo sin coma) - (Parte no periódica); Denominador = tantos nueves como cifras tenga el período seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

Cuando en un ejercicio aparecen fracciones y decimales mezclados, lo más seguro es pasar todo a fracción. Esto evita perder precisión con los decimales periódicos, ya que las fracciones mantienen el valor exacto.

Para elevar una fracción a una potencia, elevamos tanto el numerador como el denominador: $\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ Si el exponente es negativo, invertimos la fracción para pasar el exponente a positivo: $\left( \frac{a}{b} \right)^{-n} = \left( \frac{b}{a} \right)^n$

Se usa para escribir números muy grandes o muy pequeños de forma compacta, usando potencias de base 10. Tiene la forma $a \cdot 10^n$, donde $1 \le a < 10$.

• $5.000.000 = 5 \cdot 10^6$
• $0,00005 = 5 \cdot 10^{-5}$

La raíz de una fracción es igual al cociente de las raíces del numerador y del denominador: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ Si los números no son cuadrados perfectos, podemos aproximar el resultado decimal.

Las fracciones aparecen constantemente en:

• Cocina: Recetas que piden "tres cuartos de kilo".
• Compras: Descuentos (la mitad de precio es $\frac{1}{2}$).
• Depósitos: Calcular cuánto queda en un tanque si se han gastado $\frac{2}{5}$ de su capacidad.

Para resolver problemas con éxito, sigue estos pasos:

1. Lectura comprensiva: Identifica qué te piden y qué datos tienes.
2. Esquema gráfico: Dibujar un rectángulo y dividirlo en partes suele ayudar a visualizar el problema.
3. Operación: Elige si sumar, restar o multiplicar fracciones.
4. Comprobación: ¿Tiene sentido que me quede $\frac{6}{5}$ de un pastel? No, porque es más de 1. Revisa siempre la lógica del resultado.